Ragionamento - Disuguaglianza

La combinazione di due problemi elementari è coinvolta nei problemi basati sulla disuguaglianza e sulla disuguaglianza codificata.

In questo tipo di problemi, lo schema di codifica è raccontato interamente nella domanda stessa. Decodificare le disuguaglianze in un dato problema non significherebbe più mal di testa di un paio di secondi in più.

In sostanza, è un problema di disuguaglianze ed è questo aspetto che dovrebbe essere dominato. Quindi impariamo prima le basi delle disuguaglianze.

Conosciamo il risultato della moltiplicazione tra 5 e 3 e il numero 15 lo sono equal. Dal momento che lo sonoequal, è l'uguaglianza ma nel caso 5 × 5 ≠ 15, il prodotto di 5 e 5 è not equal al numero 15, è una disuguaglianza.

Greater than- È indicato con>. Ad esempio, 5 × 5> 15

Less than- È indicato con <. Ad esempio, 5 × 2 <15

Greater than or equal to- È indicato con ≥. Quando non conosciamo l'esatta condizione di disuguaglianza tra due numeri, usiamo questo simbolo. Ad esempio, considera due numerix e q. Lo sappiamox is not less than q. In questo caso x può essere uguale a q o maggiore di q Quindi usiamo il segno ≥.

Less than or equal to- È indicato con ≤. Quando un numero è minore di un altro o uguale a quel numero, viene utilizzato questo simbolo. Ad esempio, considera due numeriX e B dove X is not greater than B. In questo caso X è minore o uguale a B. Quindi può essere rappresentato comeX ≤ B.

Due regole d'oro per combinare le disuguaglianze sono le seguenti:

A common term can combine two inequalities.

Example 1

Inequality - A> B, C> D

Qui vengono utilizzati quattro termini ma non esiste un termine comune. Quindi queste due disuguaglianze non possono essere combinate.

Example 2

Inequality - A ≤ B, X ≥ Y

Quindi anche qui manca il termine comune. Quindi non possono essere combinati.

If the common term is higher than one and less than the other, both the inequalities can be combined.

Example 1

Inequality - P> X, X> C.

Qui, il termine comune è X. X è maggiore di C ma minore di P. Quindi la combinazione sarà così - P> X> C o C <X <P.

Example 2

Inequality - X <P, X ≥ C

Qui X è minore di P e maggiore o uguale al termine C. Poiché X è comune, la combinazione è possibile. Cioè - P> X ≥ C o C ≤ X <P.

Derivare una conclusione da una disuguaglianza combinata -

Un'altra regola, the third golden rule, viene utilizzato per derivare una conclusione da una disuguaglianza combinata come segue:

Aggiungi due disuguaglianze e ottieni una conclusione lasciando che il termine medio svanisca. La conclusione che la disuguaglianza ha ≥ segno se e solo se entrambi i segni nella disuguaglianza combinata erano ≥ e viceversa.

Quindi la conclusione normalmente avrà strettamente un segno>, a meno che il segno ≥ non compaia due volte nella disuguaglianza combinata.

Example 1 - Deriva una conclusione dalle seguenti disuguaglianze combinate.

i. x> y> z

ii. x <y <z

Solution -

i. x> z

ii. x <z

Strategia per risolvere i problemi sulla disuguaglianza e sulla disuguaglianza codificata

I passaggi necessari per risolvere i problemi sono i seguenti:

Step 1 - Decodifica in modo ordinato e veloce il simbolo che fa riferimento all'operazione aritmetica.

Example- Dato che P α Q. Significa P> Q. Quindi sostituire α con>. Dovresti prendere un codice alla volta e sostituirlo con il suo simbolo matematico originale prima di passare al codice successivo e dovresti farlo rapidamente.

Step 2 - Prendi una conclusione alla volta e decidi quali dichiarazioni sono rilevanti per valutare la conclusione.

Ora, questo richiede un po 'di riflessione. Cosa intendi per dichiarazione pertinente? Qui si intende l'affermazione che non è inutile per trarre una conclusione. Se c'è una conclusione, dì x> y allora un'istruzione come a> b è inutile perché non contiene né x né y. Pertanto nessuna analisi non può dirci nulla su questa conclusione. Le dichiarazioni rilevanti sono quelle che possono essere combinate per provare o confutare tale conclusione. Quindi questa affermazione non è rilevante per x> y.

Per decidere quale affermazione è rilevante per una conclusione, prendi due termini di una data conclusione e vedi se ciascuno di essi appare separatamente con un singolo termine comune. Queste dichiarazioni saranno dichiarazioni rilevanti.

Example - Supponiamo che dopo aver eseguito il passaggio 1, abbiamo la seguente dichiarazione;

M> N, L = M, O> N, L ≤ K

Conclusion -

a) M <K, b) L> N

Step 3- Usa tre regole d'oro per combinare affermazioni rilevanti e trarne una conclusione. Le regole d'oro sono;

Rule 1 - Ci deve essere un termine comune.

Rule 2 - Il termine comune deve essere minore o uguale a un termine e maggiore o uguale a un altro.

Rule 3- La conclusione è che la disuguaglianza si ottiene lasciando che il termine comune scompaia e ha un segno ≤ o ≥ se e solo se entrambe le disuguaglianze nella seconda fase avevano un segno ≤ o un segno ≥. In tutti gli altri casi, nella conclusione sarà presente un segno <o un>.

Per la conclusione a (M <K) le affermazioni rilevanti sono

M = L e L ≤ K.

Combinando otteniamo M = L <K

Quindi, M ≤ K (secondo il passaggio 3)

Ora M ≤ K non implica che M <K perché M ≤ K consente a M di essere minore o uguale a K, il che non è vero nel caso di M <K.

Per la conclusione b, le dichiarazioni rilevanti sono

M> N e L = M

Dopo la combinazione otteniamo, L = M> N L> N

Quindi la conclusione è verificata, bene e bene. Quindi L> N. In caso contrario, eseguire i seguenti controlli.

Check 1 - Verificare se la conclusione deriva direttamente da una sola affermazione data.

A volte l'affermazione può essere nella forma di A ≥ B e una conclusione può essere nella forma di B ≤ A. Ovviamente entrambe sono completamente identiche, ma a volte siamo inclini a ignorare questi piccoli trucchi dell'esaminatore.

Example - Considera quanto segue: (Sia α significa>, β significa ≥, γ significa =, δ significa <, η significa ≤)

Sia, data affermazione: E γ F, C δ D, F δ g, D β F

Conclusion - 1. G η F.

Qui la conclusione è G η F o G ≤ F ed è identica a F β G o F ≥ G. Quindi segue direttamente da una singola affermazione.

Check 2 - La conclusione che raggiungi dopo il terzo passaggio potrebbe essere identica alla conclusione data, sebbene a prima vista potrebbe non sembrare così.

Check 3 - Se dopo il terzo passaggio si ottiene una conclusione che ha un segno ≥ e due date conclusioni hanno un segno> e un segno = tra gli stessi termini, la scelta 1 o 2 è corretta.

For Example- Supponiamo di raggiungere A ≥ B dopo aver eseguito il terzo passaggio. Supponiamo ora che le conclusioni date siano - I) A> B e II) A = B. Quindi la scelta "segue I o II" è corretta.

Allo stesso modo, se si conclude che M ≤ N e le conclusioni date sono I) M <N e II) M = N, segue ancora la stessa risposta.

Check 4 - Se due date conclusioni hanno i segni indicati di seguito tra gli stessi termini

a) segni ≤ e>, o

b) segni <e>, o

c) segni> e ≤, o

d) segni ≥ e <

e se nessuna delle conclusioni è stata accettata in nessuno dei passaggi precedenti; la scelta di uno dei due seguenti è corretta.

Supponiamo che in una data domanda le conclusioni siano

a) A ≥ B b) A <B

Supponiamo ora che nessuna delle due sia stata dimostrata vera in virtù di eventuali passaggi precedenti. Poiché hanno la stessa coppia (A e B) ei segni sono ≥ e <; la scelta che segue è corretta.

Note- Il controllo 4 indica semplicemente che un numero può avere solo tre posizioni rispetto a un altro numero. Può essere minore o uguale o maggiore dell'altro.

Questo è vero universalmente per due numeri qualsiasi. Cioè, [A ≤ B o A> B] è un'affermazione universalmente corretta, perché A può essere (minore o uguale a) o (maggiore di) B.

Pertanto, per due numeri A e B, i seguenti sono sempre corretti:

I. A ≤ B o A <B

II. A <B o A> B

III. A> B o A ≤ B

IV. A ≥ B o A <B

Queste quattro coppie sono chiamate complementary pairs. In questi casi, una dichiarazione su due sarà sempre vera. Scegliamo "o segue" come risposta. Ma ricorda, scegliamo questa come nostra risposta solo se nessuna delle due affermazioni è stata provata diversamente in qualsiasi passaggio precedente.