「閉集合とFIPの空でない共通部分」の証明を理解することはコンパクトさを意味します

Dec 11 2020

私は次の定理の証明を理解しようとしていました:

「スペースXは、有限交叉性を満たすXの閉部分集合のすべてのコレクションに空でない共通部分がある場合にのみコンパクトになります。」

私が見ているこの定理の標準的な証明は、以下の質問でカバーされているものと同じです:

有限交叉性はコンパクトさを意味しますか?

上記の質問のように、有限交叉性を持つ閉集合の集合の空でない交差を意味するコンパクト性の証明は理解できましたが、他の方向の証明については明確ではありません。

上記の最初の回答で提供されている2番目の証明は次のようになります。

Kが有限交叉性を持っていると仮定します。Kがコンパクトであることを証明するために、{Ui}i∈IをKをカバーする開集合のコレクションとします。このコレクションには、Kもカバーする集合の有限部分コレクションが含まれていると主張します。

仮定 $K \neq\bigcup_{j \in J} U_j$ どこ $J\subset I$有限です。褒め言葉を取る$K^c \neq \bigcap U_j^c$、これは仮説では空ではありません-以来 $U_i$ 開いている、 $U_i^c$閉じています。以来$K$ 私たちが持っているfipを持っています

$ \emptyset \neq \bigcap_{i \in I} U_i^c = \left( \bigcup_{i \in I} U_i \right)^c$。これは矛盾します$U_i$ のオープンカバーであること $K$

ここでは、この証明の一部の有限集合の重要性を理解できません。 $ J $ に含まれています $ I $。次の部分から直接始められなかったのでしょうか?

$ \emptyset \neq \bigcap_{i \in I} U_i^c = \left( \bigcup_{i \in I} U_i \right)^c$

最も重要なことは、{Ui}i∈Iが問題のセットのオープンカバーであるという矛盾を得たことです。それがどのようにコンパクトにつながるのかわかりませんか?このセットのそのようなすべてのオープンカバーのオープンサブカバーの存在をどのように義務付けていますか?

私は次のブログで同様の証拠を見ました:

https://dantopology.wordpress.com/2009/11/30/the-finite-intersection-property-in-compact-spaces-and-countably-compact-spaces/

しかし、ここでも、矛盾がどのようにサブカバーの存在につながるのかわかりませんでした。

回答

1 BrianM.Scott Dec 11 2020 at 03:05

有限交叉性を持つ集合族は中心にある言われます; 便宜上、その用語を使用します。

ダンマの証明は矛盾によるものではありません。彼は、閉集合のすべての中心家族が$X$ 空でない交差点がある場合 $X$コンパクトです。これを行うために、彼は対偶を証明します:if$X$ コンパクトではありません $X$交差点が空である閉集合の中心ファミリーがあります。これは、論理的には望ましい意味と同等です。

議論自体は簡単です。仮定$X$コンパクトではありません。それからそれは開いたカバーを持っています$\mathscr{U}$有限のサブカバーなし。それぞれについて$U\in\mathscr{U}$ しましょう $F_U=X\setminus U$、そして $\mathscr{F}=\{F_U:U\in\mathscr{U}\}$; 明らかに$\mathscr{F}$閉集合のファミリーです。しましょう$\mathscr{F}_0$ の任意の有限サブセットである $\mathscr{F}$。有限があります$\mathscr{U}_0\subseteq\mathscr{U}$ そのような $\mathscr{F}_0=\{F_U:U\in\mathscr{U}_0\}$。次に

$$\bigcap\mathscr{F}_0=\bigcap_{U\in\mathscr{U}_0}F_U=\bigcap_{U\in\mathscr{U}_0}(X\setminus U)=X\setminus\bigcup\mathscr{U}_0\,.$$

$\mathscr{U}$ 有限のサブカバーがないので、 $\bigcup\mathscr{U}_0\ne X$、 したがって

$$\bigcap\mathscr{F}_0=X\setminus\bigcup\mathscr{U}_0\ne\varnothing\,.$$

したがって、 $\mathscr{F}$ 中央に配置されます:のすべての有限サブセット $\mathscr{F}$空でない交差点があります。だが

$$\bigcap\mathscr{F}=\bigcap_{U\in\mathscr{U}}(X\setminus U)=X\setminus\bigcup\mathscr{U}=\varnothing\,,$$

以来 $\mathscr{U}$ のカバーです $X$、 そう $\mathscr{F}$ の閉集合の中心的なファミリです $X$ その交差点は空です。

あなたがあなたの質問にコピーされていることの証明は、本質的に同じ考えを使用しますが、ない背理法として、それを整理します。もう少しわかりやすく説明します。任意のオープンカバーから始めます$\mathscr{U}=\{U_i:i\in I\}$ コンパクトな空間の $K$、そして矛盾を得るために、それは有限のサブカバーを持っていないと思います。次に、有限ごとに$J\subseteq I$ 私達はことを知っています $\bigcup_{j\in J}U_j\ne K$。今それぞれのために$i\in I$ しましょう $F_i=K\setminus U_i$; その後$\mathscr{F}=\{F_i:i\in I\}$ の閉集合のファミリーです $K$、および各有限に対して $J\subseteq I$ 我々は持っています

$$\bigcap_{j\in J}F_j=\bigcap_{j\in J}(K\setminus U_j)=K\setminus\bigcup_{j\in J}U_j\ne\varnothing\,,$$

そう $\mathscr{F}$中央に配置されます。私たちは、閉集合のすべての中心ファミリーが$K$ 空でない交差があるので、次のように結論付けます。 $\bigcap\mathscr{F}=\bigcap_{i\in I}F_i\ne\varnothing$。しかしその後

$$\bigcup\mathscr{U}=\bigcup_{i\in I}U_i=\bigcup_{i\in I}(K\setminus F_i)=K\setminus\bigcap_{i\in I}F_i\ne K\,,$$

その事実と矛盾する $\mathscr{U}$ のカバーです $K$。この矛盾は、実際には有限でなければならないことを示しています$J\subseteq I$ そのような $\bigcup\{U_j:j\in J\}=K$、すなわち、そのような $\{U_j:j\in J\}$ 有限のサブカバーです。