푸리에 급수 및 변환

주파수 영역 분석의 마지막 자습서에서 신호를 주파수 영역으로 변환하는 데 푸리에 시리즈와 푸리에 변환이 사용된다는 점을 논의했습니다.

푸리에

푸리에는 1822 년 수학자였습니다. 그는 푸리에 급수와 푸리에 변환을 통해 신호를 주파수 영역으로 변환합니다.

푸리에 시리즈

푸리에 급수는 단순히 일정한 가중치를 곱하면 주기적 신호를 사인과 코사인의 합으로 표현할 수 있으며, 주기적 신호를 다음과 같은 특성을 가진 추가 신호로 나눌 수 있음을 나타냅니다.

  • 신호는 사인과 코사인입니다.
  • 신호는 서로의 고조파입니다.

그림으로 볼 수 있습니다.

위의 신호에서 마지막 신호는 실제로 위의 모든 신호의 합입니다. 이것이 푸리에의 아이디어였습니다.

계산 방법

주파수 영역에서 보았 듯이 주파수 영역에서 이미지를 처리하려면 먼저이를 사용하여 주파수 영역으로 변환하고 출력의 역을 가져와 공간 영역으로 다시 변환해야합니다. 이것이 푸리에 급수와 푸리에 변환에 두 가지 공식이있는 이유입니다. 하나는 변환 용이고 다른 하나는 다시 공간 영역으로 변환합니다.

푸리에 시리즈

푸리에 급수는이 공식으로 나타낼 수 있습니다.

역수는이 공식으로 계산할 수 있습니다.

푸리에 변환

푸리에 변환은 곡선 아래 영역이 유한 한 비주기 신호도 특정 가중치를 곱한 후 사인과 코사인의 적분으로 나타낼 수 있음을 나타냅니다.

푸리에 변환에는 이미지 압축 (예 : JPEG 압축), 필터링 및 이미지 분석을 포함하는 다양한 응용 프로그램이 있습니다.

푸리에 급수와 변환의 차이점

푸리에 급수와 푸리에 변환은 모두 푸리에로 주어 지지만 그 차이는주기 신호에는 푸리에 급수가 적용되고 비주기 신호에는 푸리에 변환이 적용된다는 것입니다.

이미지에 적용되는 항목

이제 문제는 이미지, 푸리에 시리즈 또는 푸리에 변환에 적용되는 것입니다. 글쎄,이 질문에 대한 답은 이미지가 무엇인지에 있습니다. 이미지는 비 주기적입니다. 그리고 이미지가 주기적이지 않기 때문에 푸리에 변환을 사용하여 이미지를 주파수 영역으로 변환합니다.

이산 푸리에 변환

우리는 이미지와 사실 디지털 이미지를 다루기 때문에 디지털 이미지의 경우 이산 푸리에 변환 작업을 할 것입니다.

정현파의 위 푸리에 항을 고려하십시오. 여기에는 세 가지가 포함됩니다.

  • 공간 주파수
  • Magnitude
  • Phase

공간 주파수는 이미지의 밝기와 직접적인 관련이 있습니다. 정현파의 크기는 대비와 직접 관련이 있습니다. 대비는 최대 픽셀 강도와 최소 픽셀 강도의 차이입니다. 단계에는 색상 정보가 포함됩니다.

2 차원 이산 푸리에 변환의 공식은 다음과 같습니다.

이산 푸리에 변환은 실제로 샘플링 된 푸리에 변환이므로 이미지를 나타내는 일부 샘플을 포함합니다. 위의 공식에서 f (x, y)는 이미지를 나타내고 F (u, v)는 이산 푸리에 변환을 나타냅니다. 2 차원 역 이산 푸리에 변환의 공식은 다음과 같습니다.

역 이산 푸리에 변환은 푸리에 변환을 다시 이미지로 변환합니다.

이 신호를 고려하십시오

이제 우리는 FFT 크기 스펙트럼을 계산 한 다음 이동 된 FFT 크기 스펙트럼을 계산 한 이미지를 볼 것입니다. 그러면 이동 된 스펙트럼의 로그를 가져옵니다.

원본 이미지

푸리에 변환 크기 스펙트럼

이동 푸리에 변환

이동 된 크기 스펙트럼