Komunikacja analogowa - modulatory AM
W tym rozdziale omówimy modulatory, które generują falę modulowaną amplitudowo. Następujące dwa modulatory generują falę AM.
- Modulator prawa kwadratowego
- Modulator przełączający
Modulator prawa kwadratowego
Poniżej znajduje się schemat blokowy modulatora prawa kwadratowego
Niech sygnały modulujące i nośne będą oznaczone odpowiednio jako $ m \ left (t \ right) $ i $ A \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $. Te dwa sygnały są stosowane jako wejścia do bloku letniego (sumatora). Ten letni blok wytwarza wyjście, które jest sumą sygnału modulującego i nośnego. Matematycznie możemy to zapisać jako
$$ V_1t = m \ left (t \ right) + A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Ten sygnał $ V_1t $ jest stosowany jako wejście do urządzenia nieliniowego, takiego jak dioda. Charakterystyka diody jest ściśle związana z prawem kwadratu.
$ V_2t = k_1V_1 \ left (t \ right) + k_2V_1 ^ 2 \ left (t \ right) $ (Równanie 1)
Gdzie $ k_1 $ i $ k_2 $ są stałymi.
Podstaw $ V_1 \ left (t \ right) $ w równaniu 1
$$ V_2 \ left (t \ right) = k_1 \ left [m \ left (t \ right) + A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ right] + k_2 \ left [m \ left (t \ right) + A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ right] ^ 2 $$
$ \ Rightarrow V_2 \ left (t \ right) = k_1 m \ left (t \ right) + k_1 A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + k_2 m ^ 2 \ left (t \ right) + $
$ k_2A_c ^ 2 \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ right) + 2k_2m \ left (t \ right) A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $
$ \ Rightarrow V_2 \ left (t \ right) = k_1 m \ left (t \ right) + k_2 m ^ 2 \ left (t \ right) + k_2 A ^ 2_c \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ po prawej) + $
$ k_1A_c \ left [1+ \ left (\ frac {2k_2} {k_1} \ right) m \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $
Ostatni człon powyższego równania reprezentuje żądaną falę AM, a pierwsze trzy składniki powyższego równania są niepożądane. Tak więc za pomocą filtru pasmowego możemy przepuścić tylko falę AM i wyeliminować pierwsze trzy składniki.
Dlatego wyjście modulatora prawa kwadratowego wynosi
$$ s \ left (t \ right) = k_1A_c \ left [1+ \ left (\ frac {2k_2} {k_1} \ right) m \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Standardowe równanie fali AM to
$$ s \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + k_am \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Gdzie $ K_a $ to czułość amplitudy
Porównując wyjście modulatora prawa kwadratu ze standardowym równaniem fali AM, otrzymamy współczynnik skalowania jako $ k_1 $, a czułość amplitudy $ k_a $ jako $ \ frac {2k_2} {k1} $.
Modulator przełączający
Poniżej przedstawiono schemat blokowy modulatora przełączającego.
Modulator przełączający jest podobny do modulatora prawa kwadratu. Jedyna różnica polega na tym, że w modulatorze prawa kwadratowego dioda pracuje w trybie nieliniowym, podczas gdy w modulatorze przełączającym dioda musi działać jak przełącznik idealny.
Niech sygnały modulujące i nośne będą oznaczone odpowiednio jako $ m \ left (t \ right) $ i $ c \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $. Te dwa sygnały są stosowane jako wejścia do bloku letniego (sumatora). Blok letni wytwarza wyjście, które jest sumą sygnałów modulujących i nośnych. Matematycznie możemy to zapisać jako
$$ V_1 \ left (t \ right) = m \ left (t \ right) + c \ left (t \ right) = m \ left (t \ right) + A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right ) $$
Ten sygnał $ V_1 \ left (t \ right) $ jest stosowany jako wejście diody. Załóżmy, że wielkość sygnału modulującego jest bardzo mała w porównaniu z amplitudą sygnału nośnej $ A_c $. Tak więc działanie diody ON i OFF jest kontrolowane przez sygnał nośny $ c \ left (t \ right) $. Oznacza to, że dioda będzie spolaryzowana do przodu, gdy $ c \ left (t \ right)> 0 $ i będzie spolaryzowana do tyłu, gdy $ c \ left (t \ right) <0 $.
Dlatego wyjście diody jest
$$ V_2 \ left (t \ right) = \ left \ {\ begin {matrix} V_1 \ left (t \ right) & if & c \ left (t \ right)> 0 \\ 0 & if & c \ left (t \ right) <0 \ end {matrix} \ right. $$
Możemy to przybliżyć jako
$ V_2 \ left (t \ right) = V_1 \ left (t \ right) x \ left (t \ right) $ (Równanie 2)
Gdzie, $ x \ left (t \ right) $ jest okresowym ciągiem impulsów z okresem $ T = \ frac {1} {f_c} $
Szereg Fouriera tego okresowego ciągu impulsów to
$$ x \ left (t \ right) = \ frac {1} {2} + \ frac {2} {\ pi} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (-1 \ po prawej) ^ n-1} {2n-1} \ cos \ left (2 \ pi \ left (2n-1 \ right) f_ct \ right) $$
$$ \ Rightarrow x \ left (t \ right) = \ frac {1} {2} + \ frac {2} {\ pi} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) - \ frac {2} { 3 \ pi} \ cos \ left (6 \ pi f_ct \ right) + .... $$
Zastąp wartości $ V_1 \ left (t \ right) $ i $ x \ left (t \ right) $ w równaniu 2.
$ V_2 \ left (t \ right) = \ left [m \ left (t \ right) + A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ right] \ left [\ frac {1} {2} + \ frac {2} {\ pi} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) - \ frac {2} {3 \ pi} \ cos \ left (6 \ pi f_ct \ right) + ..... \ right] $
$ V_2 \ left (t \ right) = \ frac {m \ left (t \ right)} {2} + \ frac {A_c} {2} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac { 2m \ left (t \ right)} {\ pi} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac {2A_c} {\ pi} \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ right) - $
$ \ frac {2m \ left (t \ right)} {3 \ pi} \ cos \ left (6 \ pi f_ct \ right) - \ frac {2A_c} {3 \ pi} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ cos \ left (6 \ pi f_ct \ right) + ..... $
$ V_2 \ left (t \ right) = \ frac {A_c} {2} \ left (1+ \ left (\ frac {4} {\ pi A_c} \ right) m \ left (t \ right) \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac {m \ left (t \ right)} {2} + \ frac {2A_c} {\ pi} \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ po prawej) - $
$ \ frac {2m \ left (t \ right)} {3 \ pi} \ cos \ left (6 \ pi f_ct \ right) - \ frac {2A_c} {3 \ pi} \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ cos \ left (6 \ pi f_ct \ right) + ..... $
Pierwszy człon powyższego równania reprezentuje żądaną falę AM, a pozostałe składniki są terminami niepożądanymi. Tak więc za pomocą filtra pasmowego możemy przepuścić tylko falę AM i wyeliminować pozostałe składniki.
Dlatego wyjście modulatora przełączającego jest
$$ s \ left (t \ right) = \ frac {A_c} {2} \ left (1+ \ left (\ frac {4} {\ pi A_c} \ right) m \ left (t \ right) \ right ) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Wiemy, że standardowe równanie fali AM to
$$ s \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + k_am \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Gdzie $ k_a $ to czułość amplitudy.
Porównując wyjście modulatora przełączającego ze standardowym równaniem fali AM, otrzymamy współczynnik skalowania równy 0,5, a czułość amplitudy $ k_a $ jako $ \ frac {4} {\ pi A_c} $.