Komunikacja analogowa - obliczenia SNR
W tym rozdziale obliczymy stosunek sygnału do szumu i współczynnik zalet różnych modulowanych fal, które są demodulowane w odbiorniku.
Stosunek sygnału do szumu
Signal-to-Noise Ratio (SNR)to stosunek mocy sygnału do mocy szumu. Im wyższa wartość SNR, tym wyższa będzie jakość odbieranego sygnału wyjściowego.
Stosunek sygnału do szumu w różnych punktach można obliczyć przy użyciu następujących wzorów.
Input SNR = $ \ left (SNR \ right) _I = \ frac {Średnia \: \: moc \: \: z \: \: modulowana \: \: sygnał} {Średnia \: \: moc \: \: z \: \: szum \: \: w \: \: wejście} $
Output SNR = $ \ left (SNR \ right) _O = \ frac {Średnia \: \: moc \: \: z \: \: demodulowana \: \: sygnał} {Średnia \: \: moc \: \: z \: \: szum \: \: w \: \: wyjście} $
Channel SNR = $ \ left (SNR \ right) _C = \ frac {Średnia \: \: moc \: \: z \: \: modulowana \: \: sygnał} {Średnia \: \: moc \: \: z \: \: szum \: \: w \: \: wiadomość \: \: przepustowość} $
Figura zasługi
Stosunek wyjściowego SNR i wejściowego SNR można określić jako Figure of Merit. Jest oznaczonyF. Opisuje wydajność urządzenia.
$$ F = \ frac {\ left (SNR \ right) _O} {\ left (SNR \ right) _I} $$
Figura merytoryczna odbiorcy to
$$ F = \ frac {\ left (SNR \ right) _O} {\ left (SNR \ right) _C} $$
Dzieje się tak, ponieważ dla odbiornika kanał jest wejściem.
Obliczenia SNR w systemie AM
Rozważ następujący model odbiornika systemu AM do analizy szumu.
Wiemy, że fala modulowana amplitudą (AM) jest
$$ s \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + k_am \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
$$ \ Rightarrow s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + A_ck_am \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Średnia moc fali AM wynosi
$$ P_s = \ left (\ frac {A_c} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {A_ck_am \ left (t \ right)} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2} + \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {k_ {a}} ^ {2} P} {2} $ $
$$ \ Rightarrow P_s = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} \ left (1+ {k_ {a}} ^ {2} P \ right)} {2} $$
Średnia moc szumu w przepustowości wiadomości wynosi
$$ P_ {nc} = WN_0 $$
Zastąp te wartości w channel SNR formuła
$$ \ left (SNR \ right) _ {C, AM} = \ frac {Średnia \: \: Moc \: \: z \: \: AM \: \: Wave} {Średnia \: \: Moc \: \: z \: \: szum \: \: w \: \: wiadomość \: \: przepustowość} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {C, AM} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} \ left (1+ {k_ {a}} ^ {2} \ right) P } {2WN_0} $$
Gdzie,
P jest mocą sygnału wiadomości = $ \ frac {{A_ {m}} ^ {2}} {2} $
W to przepustowość wiadomości
Załóżmy, że szum pasmowy jest mieszany z falą AM w kanale, jak pokazano na powyższym rysunku. Ta kombinacja jest stosowana na wejściu demodulatora AM. Stąd wejście demodulatora AM jest.
$$ v \ left (t \ right) = s \ left (t \ right) + n \ left (t \ right) $$
$ \ Rightarrow v \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + k_am \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + $
$ \ left [n_1 \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) - n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ right] $
$ \ Rightarrow v \ left (t \ right) = \ left [A_c + A_ck_am \ left (t \ right) + n_1 \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) - n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) $
Gdzie $ n_I \ left (t \ right) $ i $ n_Q \ left (t \ right) $ są w fazowych i kwadraturowych składowych szumu.
Wyjście demodulatora AM to nic innego jak obwiednia powyższego sygnału.
$$ d \ left (t \ right) = \ sqrt {\ left [A_c + A_cK_am \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] ^ 2 + \ left (n_Q \ left (t \ right) \ right) ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow d \ left (t \ right) \ około A_c + A_ck_am \ left (t \ right) + n_1 \ left (t \ right) $$
Średnia moc zdemodulowanego sygnału wynosi
$$ P_m = \ left (\ frac {A_ck_am \ left (t \ right)} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {k_ {a} } ^ {2} P} {2} $$
Średnia moc szumów na wyjściu wynosi
$$ P_no = WN_0 $$
Zastąp te wartości w output SNR formuła.
$$ \ left (SNR \ right) _ {O, AM} = \ frac {Średnia \: \: Moc \: \: z \: \: demodulowana \: \: sygnał} {Średnia \: \: Moc \: \: of \: \: noise \: \: at \: \: Output} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {O, AM} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {k_ {a}} ^ {2} P} {2WN_0} $$
Zastąp wartości w Figure of merit formuły odbiornika AM.
$$ F = \ frac {\ left (SNR \ right) _ {O, AM}} {\ left (SNR \ right) _ {C, AM}} $$
$$ \ Rightarrow F = \ left (\ frac {{A_ {c} ^ {2}} {k_ {a} ^ {2}} P} {2WN_0} \ right) / \ left (\ frac {{A_ { c}} ^ {2} \ left (1+ {k_ {a}} ^ {2} \ right) P} {2WN_0} \ right) $$
$$ \ Rightarrow F = \ frac {{K_ {a}} ^ {2} P} {1+ {K_ {a}} ^ {2} P} $$
Dlatego wartość zalet odbiornika AM jest mniejsza niż jeden.
Obliczenia SNR w systemie DSBSC
Rozważ następujący model odbiornika systemu DSBSC do analizy szumu.
Wiemy, że fala modulowana DSBSC jest
$$ s \ left (t \ right) = A_cm \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Średnia moc fali modulowanej DSBSC wynosi
$$ P_s = \ left (\ frac {A_cm \ left (t \ right)} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2} $$
Średnia moc szumu w przepustowości wiadomości wynosi
$$ P_ {nc} = WN_0 $$
Zastąp te wartości w channel SNR formuła.
$$ \ left (SNR \ right) _ {C, DSBSC} = \ frac {Średnia \: \: Moc \: \: z \: \: DSBSC \: \: modulowana \: \: wave} {Średnia \: \: Moc \: \: z \: \: szum \: \: w \: \: wiadomość \: \: przepustowość} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {C, DSBSC} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2WN_0} $$
Załóżmy, że szum pasmowy jest mieszany z falą modulowaną DSBSC w kanale, jak pokazano na powyższym rysunku. Ta kombinacja jest stosowana jako jedno z wejść modulatora produktu. Stąd wejście tego modulatora produktu to
$$ v_1 \ left (t \ right) = s \ left (t \ right) + n \ left (t \ right) $$
$$ \ Rightarrow v_1 \ left (t \ right) = A_cm \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ left [n_I \ left (t \ right) \ cos \ left ( 2 \ pi f_ct \ right) - n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ right] $$
$$ \ Rightarrow v_1 \ left (t \ right) = \ left [A_cm \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) -n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Lokalny oscylator generuje sygnał nośny $ c \ left (t \ right) = \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $. Sygnał ten jest podawany jako kolejne wejście do modulatora produktu. W związku z tym modulator iloczynu daje wynik, który jest iloczynem $ v_1 \ left (t \ right) $ i $ c \ left (t \ right) $.
$$ v_2 \ left (t \ right) = v_1 \ left (t \ right) c \ left (t \ right) $$
Zastąp wartości $ v_1 \ left (t \ right) $ i $ c \ left (t \ right) $ w powyższym równaniu.
$$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ left (\ left [A_cm \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) ) - n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
$$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ left [A_c m \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ right) ) -n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
$$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ left [A_c m \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] \ left (\ frac {1+ \ cos \ left ( 4 \ pi f_ct \ right)} {2} \ right) -n_Q \ left (t \ right) \ frac {\ sin \ left (4 \ pi f_ct \ right)} {2} $$
Gdy powyższy sygnał zostanie zastosowany jako wejście do filtra dolnoprzepustowego, uzyskamy wyjście filtra dolnoprzepustowego jako
$$ d \ left (t \ right) = \ frac {\ left [A_c m \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right]} {2} $$
Średnia moc zdemodulowanego sygnału wynosi
$$ P_m = \ left (\ frac {A_cm \ left (t \ right)} {2 \ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {8 } $$
Średnia moc szumów na wyjściu wynosi
$$ P_ {no} = \ frac {WN_0} {4} $$
Zastąp te wartości w output SNR formuła.
$$ \ left (SNR \ right) _ {O, DSBSC} = \ frac {Średnia \: \: Moc \: \: z \: \: demodulowana \: \: sygnał} {Średnia \: \: Moc \: \: of \: \: noise \: \: at \: \: Output} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {O, DSBSC} = \ left (\ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {8} \ right) / \ left (\ frac {WN_0 } {4} \ right) = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2WN_0} $$
Zastąp wartości w Figure of merit formuły odbiornika DSBSC.
$$ F = \ frac {\ left (SNR \ right) _ {O, DSBSC}} {\ left (SNR \ right) _ {C, DSBSC}} $$
$$ \ Rightarrow F = \ left (\ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2WN_0} \ right) / \ left (\ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} { 2WN_0} \ right) $$
$$ \ Rightarrow F = 1 $$
Dlatego wartość zalet odbiornika DSBSC wynosi 1.
Obliczenia SNR w systemie SSBSC
Rozważ następujący model odbiornika systemu SSBSC do analizy szumu.
Wiemy, że modulowana fala SSBSC o niższym paśmie bocznym jest
$$ s \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] $$
Średnia moc fali modulowanej SSBSC wynosi
$$ P_s = \ left (\ frac {A_mA_c} {2 \ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8} $$
Średnia moc szumu w przepustowości wiadomości wynosi
$$ P_ {nc} = WN_0 $$
Zastąp te wartości w channel SNR formuła.
$$ \ left (SNR \ right) _ {C, SSBSC} = \ frac {Średnia \: \: Moc \: \: z \: \: SSBSC \: \: modulowana \: \: wave} {Średnia \: \: Moc \: \: z \: \: szum \: \: w \: \: wiadomość \: \: przepustowość} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {C, SSBSC} = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} $$
Załóżmy, że szum pasmowy jest mieszany z falą modulowaną SSBSC w kanale, jak pokazano na powyższym rysunku. Ta kombinacja jest stosowana jako jedno z wejść modulatora produktu. Stąd wejście tego modulatora produktu to
$$ v_1 \ left (t \ right) = s \ left (t \ right) + n \ left (t \ right) $$
$$ v_1 \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] + n_I \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) -n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Lokalny oscylator generuje sygnał nośny $ c \ left (t \ right) = \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $. Sygnał ten jest podawany jako kolejne wejście do modulatora produktu. W związku z tym modulator iloczynu daje wynik, który jest iloczynem $ v_1 \ left (t \ right) $ i $ c \ left (t \ right) $.
$$ v_2 \ left (t \ right) = v_1 \ left (t \ right) c \ left (t \ right) $$
Zastąp wartości $ v_1 \ left (t \ right) $ i $ c \ left (t \ right) $ w powyższym równaniu.
$ \ Rightarrow v_2 (t) = (\ frac {A_mA_c} {2} \ cos [2 \ pi (f_c-f_m) t] + n_I (t) \ cos (2 \ pi f_ct) - $
$ n_Q (t) \ sin (2 \ pi f_ct)) \ cos (2 \ pi f_ct) $
$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + $
$ n_I \ left (t \ right) \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ right) -n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $
$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {4} \ left \ {\ cos \ left [2 \ pi \ left (2f_c-f_m \ right) t \ right] + \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) \ right \} + $
$ n_I \ left (t \ right) \ left (\ frac {1+ \ cos \ left (4 \ pi f_ct \ right)} {2} \ right) - n_Q \ left (t \ right) \ frac {\ sin \ left (4 \ pi f_ct \ right)} {2} $
Gdy powyższy sygnał zostanie zastosowany jako wejście do filtra dolnoprzepustowego, uzyskamy wyjście filtra dolnoprzepustowego jako
$$ d \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) + \ frac {n_I \ left (t \ right)} {2} $$
Średnia moc zdemodulowanego sygnału wynosi
$$ P_m = \ left (\ frac {A_mA_c} {4 \ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {32} $$
Średnia moc szumów na wyjściu wynosi
$$ P_ {no} = \ frac {WN_0} {4} $$
Zastąp te wartości w output SNR formuła
$$ \ left (SNR \ right) _ {O, SSBSC} = \ frac {Średnia \: \: Moc \: \: of \: \: demodulowana \: \: signal} {Średnia \: \: Moc \: \: z \: \: szum \: \: o \: \: wyjście} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {O, SSBSC} = \ left (\ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {32} \ right ) / \ left (\ frac {WN_0} {4} \ right) = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} $$
Zastąp wartości w Figure of merit formuły odbiornika SSBSC
$$ F = \ frac {\ left (SNR \ right) _ {O, SSBSC}} {\ left (SNR \ right) _ {C, SSBSC}} $$
$$ F = \ left (\ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} \ right) / \ left (\ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} \ right) $$
$$ F = 1 $$
Dlatego wartość zalet odbiornika SSBSC wynosi 1.