Problemy numeryczne 1

W poprzednim rozdziale omówiliśmy parametry używane w modulacji amplitudy. Każdy parametr ma własną formułę. Korzystając z tych formuł, możemy znaleźć odpowiednie wartości parametrów. W tym rozdziale rozwiążmy kilka problemów opartych na koncepcji modulacji amplitudy.

Zadanie 1

Sygnał modulujący $ m \ left (t \ right) = 10 \ cos \ left (2 \ pi \ times 10 ^ 3 t \ right) $ jest modulowany amplitudowo sygnałem nośnym $ c \ left (t \ right) = 50 \ cos \ left (2 \ pi \ times 10 ^ 5 t \ right) $. Znajdź wskaźnik modulacji, moc nośną i moc wymaganą do transmisji fali AM.

Rozwiązanie

Biorąc pod uwagę, równanie sygnału modulującego jako

$$ m \ left (t \ right) = 10 \ cos \ left (2 \ pi \ times 10 ^ 3 t \ right) $$

Znamy standardowe równanie sygnału modulującego jako

$$ m \ left (t \ right) = A_m \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $$

Porównując powyższe dwa równania, otrzymamy

Amplituda sygnału modulującego jako $ A_m = 10 woltów $

oraz Częstotliwość sygnału modulującego jako $$ f_m = 10 ^ 3 Hz = 1 KHz $$

Biorąc pod uwagę, równanie sygnału nośnej to

$$ c \ left (t \ right) = 50 \ cos \ left (2 \ pi \ times 10 ^ 5t \ right) $$

Standardowe równanie sygnału nośnej to

$$ c \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$

Porównując te dwa równania, otrzymamy

Amplituda sygnału nośnej jako $ A_c = 50 woltów $

oraz Częstotliwość sygnału nośnego jako $ f_c = 10 ^ 5 Hz = 100 KHz $

Znamy wzór na indeks modulacji jako

$$ \ mu = \ frac {A_m} {A_c} $$

Zastąp wartości $ A_m $ i $ A_c $ w powyższym wzorze.

$$ \ mu = \ frac {10} {50} = 0,2 $$

Dlatego wartość modulation index is 0.2 a procent modulacji wynosi 20%.

Wzór na moc nośną, $ P_c = $, to

$$ P_c = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} $$

Załóżmy, że $ R = 1 \ Omega $ i podstawiamy $ A_c $ w powyższym wzorze.

$$ P_c = \ frac {\ left (50 \ right) ^ 2} {2 \ left (1 \ right)} = 1250W $$

Dlatego też Carrier power, $ P_c $ to 1250 watts.

Znamy wzór power wymagane do transmitting AM fala jest

$$ \ Rightarrow P_t = P_c \ left (1+ \ frac {\ mu ^ 2} {2} \ right) $$

Zastąp wartości $ P_c $ i $ \ mu $ w powyższym wzorze.

$$ P_t = 1250 \ left (1+ \ frac {\ left (0.2 \ right) ^ 2} {2} \ right) = 1275W $$

Dlatego też power required for transmitting AM fala jest 1275 watts.

Problem 2

Równanie fali amplitudy jest podane przez $ s \ left (t \ right) = 20 \ left [1 + 0,8 \ cos \ left (2 \ pi \ times 10 ^ 3t \ right) \ right] \ cos \ left (4 \ pi \ times 10 ^ 5t \ right) $. Znajdź moc nośną, całkowitą moc pasma bocznego i szerokość pasma fali AM.

Rozwiązanie

Biorąc pod uwagę, równanie fali modulowanej amplitudowo to

$$ s \ left (t \ right) = 20 \ left [1 + 0,8 \ cos \ left (2 \ pi \ times 10 ^ 3t \ right) \ right] \ cos \ left (4 \ pi \ times 10 ^ 5t \ right) $$

Przepisz powyższe równanie jako

$$ s \ left (t \ right) = 20 \ left [1 + 0,8 \ cos \ left (2 \ pi \ times 10 ^ 3t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi \ times 2 \ times 10 ^ 5t \ right) $$

Wiemy, że równanie fali modulowanej amplitudowo to

$$ s \ left (t \ right) = A_c \ left [1+ \ mu \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$

Porównując powyższe dwa równania, otrzymamy

Amplituda sygnału nośnej jako $ A_c = 20 woltów $

Indeks modulacji jako $ \ mu = 0,8 $

Częstotliwość sygnału modulującego jako $ f_m = 10 ^ 3Hz = 1 KHz $

Częstotliwość sygnału nośnego jako $ f_c = 2 \ times 10 ^ 5Hz = 200KHz $

Wzór na moc nośną, $ P_c $, to

$$ P_c = \ frac {{A_ {e}} ^ {2}} {2R} $$

Załóżmy, że $ R = 1 \ Omega $ i podstawiamy $ A_c $ w powyższym wzorze.

$$ P_c = \ frac {\ left (20 \ right) ^ 2} {2 \ left (1 \ right)} = 200W $$

Dlatego też Carrier power, $ P_c $ to 200watts.

Znamy wzór na całkowitą moc wstęgi bocznej

$$ P_ {SB} = \ frac {P_c \ mu ^ 2} {2} $$

Zastąp wartości $ P_c $ i $ \ mu $ w powyższym wzorze.

$$ P_ {SB} = \ frac {200 \ times \ left (0.8 \ right) ^ 2} {2} = 64W $$

Dlatego też total side band power jest 64 watts.

Znamy wzór na szerokość pasma fali AM

$$ BW = 2f_m $$

Zastąp $ f_m $ wartość w powyższym wzorze.

$$ BW = 2 \ left (1K \ right) = 2 KHz $$

Dlatego też bandwidth fali AM jest 2 KHz.