Modulacja amplitudy
Fala ciągła trwa w sposób ciągły bez przerw i jest to sygnał wiadomości pasma podstawowego, który zawiera informacje. Fala ta musi być modulowana.
Zgodnie ze standardową definicją: „Amplituda sygnału nośnego zmienia się zgodnie z chwilową amplitudą sygnału modulującego”. Co oznacza, że amplituda sygnału nośnego nie zawierającego informacji zmienia się zgodnie z amplitudą sygnału zawierającego informacje w każdej chwili. Można to dobrze wyjaśnić na poniższych rysunkach.
Pierwsza ilustracja przedstawia falę modulującą, która jest sygnałem wiadomości. Następna to fala nośna, która jest sygnałem o wysokiej częstotliwości i nie zawiera żadnych informacji. Natomiast ostatnia jest wypadkową modulowaną falą.
Można zauważyć, że dodatnie i ujemne szczyty fali nośnej są połączone wyimaginowaną linią. Ta linia pomaga odtworzyć dokładny kształt sygnału modulującego. Ta wyimaginowana linia na fali nośnej nosi nazwęEnvelope. To jest to samo, co sygnał wiadomości.
Wyrażenia matematyczne
Poniżej znajdują się wyrażenia matematyczne dla tych fal.
Reprezentacja fal w dziedzinie czasu
Niech sygnał modulujący będzie,
$$ m \ left (t \ right) = A_m \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $$
a sygnałem nośnym jest,
$$ c \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Gdzie,
$ A_m $ i $ A_c $ to odpowiednio amplituda sygnału modulującego i sygnału nośnej.
$ f_m $ i $ f_c $ to odpowiednio częstotliwość sygnału modulującego i sygnału nośnej.
Wtedy powstanie równanie fali modulowanej amplitudowo
$ s (t) = \ left [A_c + A_m \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $ (Równanie 1)
Indeks modulacji
Fala nośna po zmodulowaniu, jeśli wyliczany jest poziom zmodulowany, wówczas taka próba nosi nazwę Modulation Index lub Modulation Depth. Określa poziom modulacji, któremu podlega fala nośna.
Zmień układ równania 1, jak poniżej.
$ s (t) = A_c \ left [1+ \ left (\ frac {A_m} {A_c} \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $
$ \ Rightarrow s \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + \ mu \ cos \ left (2 \ pi f_m t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $ ( Równanie 2)
Gdzie $ \ mu $ jest indeksem modulacji i jest równe stosunkowi $ A_m $ do $ A_c $. Matematycznie możemy to zapisać jako
$ \ mu = \ frac {A_m} {A_c} $ (Równanie 3)
Stąd możemy obliczyć wartość wskaźnika modulacji korzystając z powyższego wzoru, gdy znane są amplitudy sygnału komunikatu i nośnej.
Teraz wyprowadźmy jeszcze jeden wzór na wskaźnik modulacji, biorąc pod uwagę Równanie 1. Możemy użyć tego wzoru do obliczenia wartości wskaźnika modulacji, gdy znane są maksymalne i minimalne amplitudy modulowanej fali.
Niech $ A_ \ max $ i $ A_ \ min $ będą maksymalnymi i minimalnymi amplitudami modulowanej fali.
Otrzymamy maksymalną amplitudę modulowanej fali, gdy $ \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $ wynosi 1.
$ \ Rightarrow A_ \ max = A_c + A_m $ (Równanie 4)
Otrzymamy minimalną amplitudę modulowanej fali, gdy $ \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $ wynosi -1.
$ \ Rightarrow A_ \ min = A_c - A_m $ (Równanie 5)
Dodaj równanie 4 i równanie 5.
$$ A_ \ max + A_ \ min = A_c + A_m + A_c-A_m = 2A_c $$
$ \ Rightarrow A_c = \ frac {A_ \ max + A_ \ min} {2} $ (Równanie 6)
Odejmij równanie 5 od równania 4.
$$ A_ \ max - A_ \ min = A_c + A_m - \ left (A_c -A_m \ right) = 2A_m $$
$ \ Rightarrow A_m = \ frac {A_ \ max - A_ \ min} {2} $ (Równanie 7)
Stosunek równania 7 do równania 6 będzie następujący.
$$ \ frac {A_m} {A_c} = \ frac {\ left (A_ {max} - A_ {min} \ right) / 2} {\ left (A_ {max} + A_ {min} \ right) / 2 } $$
$ \ Rightarrow \ mu = \ frac {A_ \ max - A_ \ min} {A_ \ max + A_ \ min} $ (Równanie 8)
Dlatego równanie 3 i równanie 8 to dwie formuły na wskaźnik modulacji. Wskaźnik modulacji lub głębokość modulacji jest często określana w procentach zwanych procentami modulacji. Otrzymamypercentage of modulation, po prostu mnożąc wartość indeksu modulacji przez 100.
Aby uzyskać idealną modulację, wartość wskaźnika modulacji powinna wynosić 1, co oznacza, że procent modulacji powinien wynosić 100%.
Na przykład, jeśli ta wartość jest mniejsza niż 1, tj. Wskaźnik modulacji wynosi 0,5, wówczas modulowane wyjście będzie wyglądać jak na poniższym rysunku. Nazywa się asUnder-modulation. Taka fala nazywana jestunder-modulated wave.
Jeśli wartość wskaźnika modulacji jest większa niż 1, tj. 1,5 lub więcej, wówczas fala będzie miała wartość over-modulated wave. Wyglądałoby to tak, jak na poniższym rysunku.
Wraz ze wzrostem wartości wskaźnika modulacji nośna doświadcza odwrócenia fazy o 180 o , co powoduje dodatkowe wstęgi boczne, a tym samym zniekształcenie fali. Taka nadmiernie zmodulowana fala powoduje zakłócenia, których nie można wyeliminować.
Przepustowość fali AM
Bandwidth(BW) to różnica między najwyższą i najniższą częstotliwością sygnału. Matematycznie możemy to zapisać jako
$$ BW = f_ {max} - f_ {min} $$
Rozważmy następujące równanie fali modulowanej amplitudowo.
$$ s \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + \ mu \ cos \ left (2 \ pi f_m t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
$$ \ Rightarrow s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + A_c \ mu \ cos (2 \ pi f_ct) \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $$
$ \ Rightarrow s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c + f_m \ right) t \ right] + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] $
Stąd fala modulowana amplitudowo ma trzy częstotliwości. Są to częstotliwość nośna $ f_c $, górna częstotliwość pasma bocznego $ f_c + f_m $ i dolna częstotliwość pasma bocznego $ f_c-f_m $
Tutaj,
$ f_ {max} = f_c + f_m $ i $ f_ {min} = f_c-f_m $
Zastępuje wartości $ f_ {max} $ i $ f_ {min} $ we wzorze na przepustowość.
$$ BW = f_c + f_m- \ left (f_c-f_m \ right) $$
$$ \ Rightarrow BW = 2f_m $$
Można zatem powiedzieć, że szerokość pasma wymagana dla fali modulowanej amplitudowo jest dwukrotnie większa niż częstotliwość sygnału modulującego.
Obliczenia mocy fali AM
Rozważmy następujące równanie fali modulowanej amplitudowo.
$ \ s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c + f_m \ po prawej) t \ right] + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] $
Moc fali AM jest równa sumie mocy składowych częstotliwości nośnej, górnej i dolnej wstęgi bocznej.
$$ P_t = P_c + P_ {USB} + P_ {LSB} $$
Wiemy, że standardowy wzór na moc sygnału cos to
$$ P = \ frac {{v_ {rms}} ^ {2}} {R} = \ frac {\ left (v_m / \ sqrt {2} \ right) ^ 2} {2} $$
Gdzie,
$ v_ {rms} $ to wartość skuteczna sygnału cos.
$ v_m $ to szczytowa wartość sygnału cos.
Najpierw znajdźmy moc nośną, górną i dolną wstęgę boczną po kolei.
Moc nośna
$$ P_c = \ frac {\ left (A_c / \ sqrt {2} \ right) ^ 2} {R} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} $$
Moc górnej wstęgi bocznej
$$ P_ {USB} = \ frac {\ left (A_c \ mu / 2 \ sqrt {2} \ right) ^ 2} {R} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} $$
Podobnie, otrzymamy moc dolnej wstęgi bocznej taką samą, jak moc górnej wstęgi bocznej.
$$ P_ {LSB} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} $$
Teraz dodajmy te trzy potęgi, aby otrzymać moc fali AM.
$$ P_t = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} + \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} + \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} $$
$$ \ Rightarrow P_t = \ left (\ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} \ right) \ left (1+ \ frac {\ mu ^ 2} {4} + \ frac {\ mu ^ 2} {4} \ right) $$
$$ \ Rightarrow P_t = P_c \ left (1+ \ frac {\ mu ^ 2} {2} \ right) $$
Możemy wykorzystać powyższy wzór do obliczenia mocy fali AM, gdy znana jest moc nośna i wskaźnik modulacji.
Jeśli indeks modulacji $ \ mu = 1 $, to moc fali AM jest równa 1,5 mocy nośnej. Tak więc moc wymagana do transmisji fali AM jest 1,5 razy większa od mocy nośnej dla idealnej modulacji.