畳み込み定理

前回のチュートリアルでは、周波数領域の画像について説明しました。このチュートリアルでは、周波数領域と画像(空間領域)の関係を定義します。

例えば

この例を考えてみましょう。

周波数領域の同じ画像は、として表すことができます。

ここで、画像または空間ドメインと周波数ドメインの関係は何ですか。この関係は、畳み込み定理と呼ばれる定理によって説明できます。

畳み込み定理

空間領域と周波数領域の関係は、畳み込み定理によって確立できます。

畳み込み定理は次のように表すことができます。

空間領域での畳み込みは周波数領域でのフィルタリングに等しく、その逆も同様であると言えます。

周波数領域でのフィルタリングは、次のように表すことができます。

The steps in filtering are given below.

  • 最初のステップでは、空間領域で画像を前処理する必要があります。つまり、コントラストまたは明るさを上げることを意味します。

  • 次に、画像の離散フーリエ変換を行います

  • 次に、離散フーリエ変換をコーナーから中央に配置するため、離散フーリエ変換を中央に配置します。

  • 次に、フィルタリングを適用します。つまり、フーリエ変換にフィルター関数を乗算します。

  • 次に、DFTを再び中央からコーナーにシフトします

  • 最後のステップは、周波数領域から空間領域に結果を戻すために、逆離散フーリエ変換を行うことです。

  • また、後処理のこのステップは、前処理と同様にオプションであり、画像の外観を向上させるだけです。

フィルター

周波数領域でのフィルターの概念は、畳み込みでのマスクの概念と同じです。

画像を周波数領域に変換した後、フィルタリングプロセスでいくつかのフィルタを適用して、画像に対してさまざまな種類の処理を実行します。処理には、画像のぼかし、画像の鮮明化などが含まれます。

これらの目的のための一般的なタイプのフィルターは次のとおりです。

  • 理想的なハイパスフィルター
  • 理想的なローパスフィルター
  • ガウスハイパスフィルター
  • ガウスローパスフィルター

次のチュートリアルでは、フィルターについて詳しく説明します。