フーリエ級数と変換

周波数領域分析の最後のチュートリアルでは、フーリエ級数とフーリエ変換を使用して信号を周波数領域に変換する方法について説明しました。

フーリエ

フーリエは1822年に数学者でした。彼は信号を周波数領域に変換するためにフーリエ級数とフーリエ変換を行います。

フーリエ級数は、周期信号を特定の重みで乗算すると、正弦と余弦の合計に表すことができると単純に述べています。さらに、周期信号は、次の特性を持つさらなる信号に分解できると述べています。

それは絵で見ることができます

上記の信号では、最後の信号は実際には上記のすべての信号の合計です。これがフーリエのアイデアでした。

周波数領域で見たように、周波数領域で画像を処理するには、最初にを使用して周波数領域に変換する必要があり、出力の逆数を取得して空間領域に戻す必要があります。そのため、フーリエ級数とフーリエ変換の両方に2つの式があります。1つは変換用で、もう1つはそれを空間ドメインに変換し直します。

フーリエ級数はこの式で表すことができます。

逆数はこの式で計算できます。

フーリエ変換は、曲線下面積が有限である非周期信号も、特定の重みを掛けた後、正弦と余弦の積分に表すことができると単純に述べています。

フーリエ変換には、画像圧縮（JPEG圧縮など）、フィルタリング、画像分析など、さまざまな用途があります。

フーリエ級数とフーリエ変換はどちらもフーリエで与えられますが、両者の違いは、フーリエ級数が周期信号に適用され、フーリエ変換が非周期信号に適用されることです。

ここで問題となるのは、画像、フーリエ級数、またはフーリエ変換のどちらに適用されるかです。さて、この質問への答えは、画像が何であるかという事実にあります。画像は非周期的です。また、画像は非周期的であるため、フーリエ変換を使用して画像を周波数領域に変換します。

私たちは画像、実際にはデジタル画像を扱っているので、デジタル画像については離散フーリエ変換に取り組んでいます

正弦波の上記のフーリエ項を考えてみましょう。それは3つのことを含みます。

空間周波数は、画像の明るさに直接関係します。正弦波の大きさは、コントラストに直接関係します。コントラストは、最大ピクセル強度と最小ピクセル強度の差です。フェーズには色情報が含まれています。

2次元離散フーリエ変換の式を以下に示します。

離散フーリエ変換は実際にはサンプリングされたフーリエ変換であるため、画像を表すいくつかのサンプルが含まれています。上記の式で、f（x、y）は画像を示し、F（u、v）は離散フーリエ変換を示します。2次元逆離散フーリエ変換の式を以下に示します。

逆離散フーリエ変換は、フーリエ変換を画像に変換します

次に、FFTマグニチュードスペクトルを計算し、次にシフトされたFFTマグニチュードスペクトルを計算し、そのシフトされたスペクトルの対数を取得する画像を表示します。