Teoria da Rede - Guia Rápido

Network theoryé o estudo da resolução de problemas de circuitos elétricos ou redes elétricas. Neste capítulo introdutório, vamos primeiro discutir a terminologia básica de circuitos elétricos e os tipos de elementos de rede.

Terminologia Básica

Na Teoria de Rede, frequentemente encontramos os seguintes termos -

• Circuito elétrico
• Rede Elétrica
• Current
• Voltage
• Power

Portanto, é imperativo reunir algum conhecimento básico sobre esses termos antes de prosseguirmos. Vamos começar com o circuito elétrico.

Circuito elétrico

Um circuito elétrico contém um caminho fechado para fornecer um fluxo de elétrons de uma fonte de tensão ou fonte de corrente. Os elementos presentes em um circuito elétrico estarão emseries connection, parallel connection, ou em qualquer combinação de conexões em série e paralelas.

Rede Elétrica

Uma rede elétrica não precisa conter um caminho fechado para fornecer um fluxo de elétrons de uma fonte de tensão ou fonte de corrente. Portanto, podemos concluir que "todos os circuitos elétricos são redes elétricas", mas o inverso não precisa ser verdade.

Atual

O atual "I"fluindo através de um condutor nada mais é do que a taxa de tempo do fluxo de carga. Matematicamente, pode ser escrito como

$$I = \frac{dQ}{dt}$$

Onde,

• Q é a carga e sua unidade é Coloumb.

• t é o tempo e sua unidade é a segunda.

Como analogia, a corrente elétrica pode ser considerada o fluxo de água por um cano. A corrente é medida em termos deAmpere.

Em geral, Electron current flui do terminal negativo da fonte para o terminal positivo, enquanto, Conventional current flui do terminal positivo da fonte para o terminal negativo.

Electron current é obtido devido ao movimento dos elétrons livres, ao passo que, Conventional currenté obtido devido ao movimento de cargas positivas livres. Ambos são chamados deelectric current.

Voltagem

A voltagem "V"nada mais é do que uma força eletromotriz que faz com que a carga (elétrons) flua. Matematicamente, pode ser escrito como

$$V = \frac{dW}{dQ}$$

Onde,

• W é a energia potencial e sua unidade é Joule.

• Q é a carga e sua unidade é Coloumb.

Como uma analogia, a tensão pode ser considerada como a pressão da água que faz com que ela flua por um cano. É medido em termos deVolt.

Poder

O poder "P"nada mais é do que a taxa de fluxo de energia elétrica no tempo. Matematicamente, pode ser escrito como

$$P = \frac{dW}{dt}$$

Onde,

• W é a energia elétrica e é medida em termos de Joule.

• t é o tempo e é medido em segundos.

Podemos reescrever a equação acima a

$$P = \frac{dW}{dt} = \frac{dW}{dQ} \times \frac{dQ}{dt} = VI$$

Portanto, power nada mais é do que product de voltagem V e atual I. Sua unidade éWatt.

Tipos de elementos de rede

Podemos classificar os elementos da rede em vários tipos com base em alguns parâmetros. A seguir estão os tipos de elementos de rede -

• Elementos ativos e passivos

• Elementos lineares e elementos não lineares

• Elementos Bilaterais e Elementos Unilaterais

Elementos ativos e passivos

Podemos classificar os elementos da rede em qualquer active ou passive com base na capacidade de fornecer energia.

• Active Elementsfornecem energia para outros elementos, que estão presentes em um circuito elétrico. Às vezes, eles podem absorver o poder como elementos passivos. Isso significa que os elementos ativos têm a capacidade de fornecer e absorver energia.Examples: Fontes de tensão e fontes de corrente.

• Passive Elementsnão pode fornecer potência (energia) para outros elementos, no entanto, eles podem absorver potência. Isso significa que esses elementos dissipam energia na forma de calor ou armazenam energia na forma de campo magnético ou elétrico.Examples: Resistores, indutores e capacitores.

Elementos Lineares e Elementos Não Lineares

Podemos classificar os elementos da rede como linear ou non-linear com base em sua característica de obedecer à propriedade de linearidade.

• Linear Elements são os elementos que mostram uma relação linear entre tensão e corrente. Examples: Resistores, indutores e capacitores.

• Non-Linear Elements são aqueles que não apresentam relação linear entre tensão e corrente. Examples: Fontes de tensão e fontes de corrente.

Elementos Bilaterais e Elementos Unilaterais

Os elementos da rede também podem ser classificados como bilateral ou unilateral com base na direção dos fluxos de corrente através dos elementos da rede.

Bilateral Elements são os elementos que permitem a corrente em ambas as direções e oferecem a mesma impedância em qualquer direção do fluxo da corrente. Examples: Resistores, indutores e capacitores.

O conceito de elementos bilaterais é ilustrado nas figuras a seguir.

Na figura acima, a corrente (I) está fluindo dos terminais A para B através de um elemento passivo com impedância de Z Ω. É a relação da tensão (V) nesse elemento entre os terminais A e B e a corrente (I).

Na figura acima, a corrente (I) está fluindo dos terminais B para A através de um elemento passivo com impedância de Z Ω. Isso significa que a corrente (–I) está fluindo dos terminais A para B. Também neste caso, obteremos o mesmo valor de impedância, uma vez que a corrente e a tensão têm sinais negativos em relação aos terminais A e B.

Unilateral Elementssão aqueles que permitem a corrente em apenas uma direção. Portanto, eles oferecem impedâncias diferentes em ambas as direções.

Discutimos os tipos de elementos de rede no capítulo anterior. Agora, vamos identificar onature of network elements das características VI fornecidas nos exemplos a seguir.

Exemplo 1

o V-I characteristics de um elemento de rede é mostrado abaixo.

Step 1 - Verificando o elemento de rede como linear ou non-linear.

Da figura acima, as características de VI de um elemento de rede é uma linha reta passando pela origem. Portanto, é umLinear element.

Step 2 - Verificando o elemento de rede como active ou passive.

As características VI fornecidas de um elemento de rede encontram-se no primeiro e terceiro quadrantes.

• No first quadrant, os valores de tensão (V) e corrente (I) são positivos. Portanto, as relações de tensão (V) e corrente (I) fornecem valores de impedância positivos.

• Da mesma forma, no third quadrant, os valores de tensão (V) e corrente (I) têm valores negativos. Portanto, as relações de tensão (V) e corrente (I) produzem valores de impedância positivos.

Uma vez que as características VI fornecidas oferecem valores de impedância positivos, o elemento de rede é um Passive element.

Step 3 - Verificando o elemento de rede como bilateral ou unilateral.

Para cada ponto (I, V) nas características, existe um ponto correspondente (-I, -V) nas características dadas. Portanto, o elemento de rede é umBilateral element.

Portanto, as características VI fornecidas mostram que o elemento de rede é um Linear, Passive, e Bilateral element.

Exemplo 2

o V-I characteristics de um elemento de rede é mostrado abaixo.

Step 1 - Verificando o elemento de rede como linear ou non-linear.

Da figura acima, as características VI de um elemento de rede é uma linha reta apenas entre os pontos (-3A, -3V) e (5A, 5V). Além desses pontos, as características do VI não seguem a relação linear. Portanto, é umNon-linear element.

Step 2 - Verificando o elemento de rede como active ou passive.

As características VI fornecidas de um elemento de rede encontram-se no primeiro e terceiro quadrantes. Nestes dois quadrantes, as relações de tensão (V) e corrente (I) produzem valores de impedância positivos. Portanto, o elemento de rede é umPassive element.

Step 3 - Verificando o elemento de rede como bilateral or unilateral.

Considere o ponto (5A, 5V) nas características. O ponto correspondente (-5A, -3V) existe nas características dadas em vez de (-5A, -5V). Portanto, o elemento de rede é umUnilateral element.

Portanto, as características VI fornecidas mostram que o elemento de rede é um Non-linear, Passive, e Unilateral element.

Active Elementssão os elementos da rede que fornecem energia para outros elementos presentes em um circuito elétrico. Assim, os elementos ativos também são chamados de fontes de tensão ou tipo de corrente. Podemos classificar essas fontes nas duas categorias a seguir -

• Fontes Independentes
• Fontes Dependentes

Fontes Independentes

Como o nome sugere, as fontes independentes produzem valores fixos de tensão ou corrente e não dependem de nenhum outro parâmetro. Fontes independentes podem ser divididas nas duas categorias a seguir -

• Fontes de tensão independentes
• Fontes atuais independentes

Fontes de tensão independentes

Uma fonte de tensão independente produz uma tensão constante em seus dois terminais. Essa tensão é independente da quantidade de corrente que flui através dos dois terminais da fonte de tensão.

Independente ideal voltage source e suas características VI são mostradas na figura a seguir.

o V-I characteristicsde uma fonte de tensão ideal independente é uma linha constante, que é sempre igual à tensão da fonte (VS), independentemente do valor da corrente (I). Portanto, a resistência interna de uma fonte de tensão ideal independente é zero Ohms.

Portanto, as fontes de tensão ideais independentes do not exist practically, porque haverá alguma resistência interna.

Independente practical voltage source e suas características VI são mostradas na figura a seguir.

Há um desvio nas características de VI de uma fonte de tensão prática independente das características de VI de uma fonte de tensão ideal independente. Isso se deve à queda de tensão na resistência interna (R _S ) de uma fonte de tensão prática independente.

Fontes atuais independentes

Uma fonte de corrente independente produz uma corrente constante. Esta corrente é independente da tensão em seus dois terminais. Independenteideal current source e suas características VI são mostradas na figura a seguir.

o V-I characteristicsde uma fonte de corrente ideal independente é uma linha constante, que é sempre igual à corrente da fonte (I _S ), independentemente do valor da tensão (V). Portanto, a resistência interna de uma fonte de corrente ideal independente é de ohms infinitos.

Portanto, as fontes de corrente ideais independentes do not exist practically, porque haverá alguma resistência interna.

Independente practical current source e suas características VI são mostradas na figura a seguir.

Há um desvio nas características de VI de uma fonte de corrente prática independente das características de VI de uma fonte de corrente ideal independente. Isso se deve à quantidade de corrente que flui através da resistência shunt interna (R _S ) de uma fonte de corrente prática independente.

Fontes Dependentes

Como o nome sugere, as fontes dependentes produzem a quantidade de voltagem ou corrente que depende de alguma outra voltagem ou corrente. Fontes dependentes também são chamadas decontrolled sources. As fontes dependentes podem ser divididas nas duas categorias a seguir -

• Fontes de tensão dependentes
• Fontes de corrente dependentes

Fontes de tensão dependentes

Uma fonte de tensão dependente produz uma tensão em seus dois terminais. A quantidade desta tensão depende de alguma outra tensão ou corrente. Portanto, as fontes de tensão dependentes podem ser classificadas nas duas categorias a seguir -

• Fonte de Tensão Dependente de Tensão (VDVS)
• Fonte de tensão dependente de corrente (CDVS)

Fontes de tensão dependentes são representadas com os sinais '+' e '-' dentro de uma forma de diamante. A magnitude da fonte de tensão pode ser representada fora da forma de diamante.

Fontes de corrente dependentes

Uma fonte de corrente dependente produz uma corrente. A quantidade desta corrente depende de alguma outra tensão ou corrente. Portanto, as fontes de corrente dependentes podem ser classificadas nas duas categorias a seguir -

• Fonte de corrente dependente de tensão (VDCS)
• Fonte de corrente dependente de corrente (CDCS)

As fontes de corrente dependentes são representadas por uma seta dentro de uma forma de diamante. A magnitude da fonte de corrente pode ser representada fora da forma de diamante.

Podemos observar essas fontes dependentes ou controladas em modelos equivalentes de transistores.

Técnica de transformação da fonte

Sabemos que existem duas fontes práticas, a saber, voltage source e current source. Podemos transformar (converter) uma fonte em outra com base no requisito, enquanto resolvemos problemas de rede.

A técnica de transformar uma fonte na outra é chamada de source transformation technique. A seguir estão as duas transformações de origem possíveis -

• Fonte de tensão prática em uma fonte de corrente prática
• Fonte de corrente prática em uma fonte de tensão prática

Fonte de tensão prática em uma fonte de corrente prática

A transformação da fonte de tensão prática em uma fonte de corrente prática é mostrada na figura a seguir

Practical voltage sourceconsiste em uma fonte de tensão (V _S ) em série com um resistor (R _S ). Isso pode ser convertido em uma fonte de corrente prática, conforme mostrado na figura. Consiste em uma fonte de corrente (I _S ) em paralelo com um resistor (R _S ).

O valor de IS será igual à razão de V _S e R _S . Matematicamente, pode ser representado como

$$I_S = \frac{V_S}{R_S}$$

Fonte de corrente prática em uma fonte de tensão prática

A transformação da fonte de corrente prática em uma fonte de tensão prática é mostrada na figura a seguir.

A fonte de corrente prática consiste em uma fonte de corrente (I _S ) em paralelo com um resistor (R _S ). Isso pode ser convertido em uma fonte de tensão prática, conforme mostrado na figura. Consiste em uma fonte de tensão (V _S ) em série com um resistor (R _S ).

O valor de V _S será igual ao produto da I _S e R _S . Matematicamente, pode ser representado como

$$V_S = I_S R_S$$

Neste capítulo, discutiremos em detalhes sobre os elementos passivos, como resistor, indutor e capacitor. Vamos começar com os resistores.

Resistor

A principal funcionalidade do resistor é opor ou restringir o fluxo de corrente elétrica. Conseqüentemente, os resistores são usados ​​para limitar a quantidade de fluxo de corrente e / ou dividir (compartilhar) a tensão.

Deixe que a corrente fluindo através do resistor seja de 1 amperes e a voltagem através dele seja de V volts. osymbol do resistor junto com a corrente, I e a tensão, V são mostrados na figura a seguir.

De acordo com Ohm’s law, a tensão no resistor é o produto da corrente que flui através dele e a resistência desse resistor. Mathematically, pode ser representado como

$V = IR$ Equation 1

$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$Equation 2

Onde, R é a resistência de um resistor.

Da Equação 2, podemos concluir que a corrente que flui através do resistor é diretamente proporcional à tensão aplicada no resistor e inversamente proporcional à resistência do resistor.

Power em um elemento de circuito elétrico pode ser representado como

$P = VI$Equation 3

Substitua, Equação 1 na Equação 3.

$P = (IR)I$

$\Rightarrow P = I^2 R$ Equation 4

Substitua, Equação 2 na Equação 3.

$P = V \lgroup \frac{V}{R} \rgroup$

$\Rightarrow P = \frac{V^2}{R}$ Equation 5

Portanto, podemos calcular a quantidade de potência dissipada no resistor usando uma das fórmulas mencionadas nas Equações 3 a 5.

Indutor

Em geral, os indutores terão número de voltas. Conseqüentemente, eles produzem fluxo magnético quando a corrente flui através deles. Então, a quantidade de fluxo magnético total produzido por um indutor depende da corrente, eu fluindo por ele e eles têm relação linear.

Mathematically, pode ser escrito como

$$\Psi \: \alpha \: I$$

$$\Rightarrow \Psi = LI$$

Onde,

• Ψ é o fluxo magnético total

• L é a indutância de um indutor

Deixe a corrente fluindo através do indutor é de l amperes e a voltagem através dele é de V volts. osymboldo indutor junto com a corrente I e a tensão V são mostrados na figura a seguir.

De acordo com Faraday’s law, a tensão através do indutor pode ser escrita como

$$V = \frac{d\Psi}{dt}$$

Substitua Ψ = LI na equação acima.

$$V = \frac{d(LI)}{dt}$$

$$\Rightarrow V = L \frac{dI}{dt}$$

$$\Rightarrow I = \frac{1}{L} \int V dt$$

A partir das equações acima, podemos concluir que existe um linear relationship entre a tensão no indutor e a corrente fluindo por ele.

Nós sabemos isso power em um elemento de circuito elétrico pode ser representado como

$$P = VI$$

Substituto $V = L \frac{dI}{dt}$ na equação acima.

$$P = \lgroup L \frac{dI}{dt}\rgroup I$$

$$\Rightarrow P = LI \frac{dI}{dt}$$

Ao integrar a equação acima, obteremos o energy armazenado em um indutor como

$$W = \frac{1}{2} LI^2$$

Assim, o indutor armazena a energia na forma de campo magnético.

Capacitor

Em geral, um capacitor possui duas placas condutoras, separadas por um meio dielétrico. Se a tensão positiva for aplicada ao capacitor, ele armazenará carga positiva. Da mesma forma, se a tensão negativa for aplicada ao capacitor, ele armazenará carga negativa.

Portanto, a quantidade de carga armazenada no capacitor depende da tensão aplicada Vatravés dele e eles têm relacionamento linear. Matematicamente, pode ser escrito como

$$Q \: \alpha \: V$$

$$\Rightarrow Q = CV$$

Onde,

• Q é a carga armazenada no capacitor.

• C é a capacitância de um capacitor.

Deixe a corrente fluindo através do capacitor é de 1 amperes e a voltagem através dele é de V volts. O símbolo do capacitor junto com a corrente I e a tensão V são mostrados na figura a seguir.

Nós sabemos que o current nada mais é do que time rate of flow of charge. Matematicamente, pode ser representado como

$$I = \frac{dQ}{dt}$$

Substituto $Q = CV$ na equação acima.

$$I = \frac{d(CV)}{dt}$$

$$\Rightarrow I = C \frac{dV}{dt}$$

$$\Rightarrow V = \frac{1}{C} \int I dt$$

A partir das equações acima, podemos concluir que existe um linear relationship entre a tensão no capacitor e a corrente fluindo por ele.

Nós sabemos isso power em um elemento de circuito elétrico pode ser representado como

$$P = VI$$

Substituto $I = C \frac{dV}{dt}$ na equação acima.

$$P = V \lgroup C \frac{dV}{dt} \rgroup$$

$$\Rightarrow P = CV \frac{dV}{dt}$$

Ao integrar a equação acima, obteremos o energy armazenado no capacitor como

$$W = \frac{1}{2}CV^2$$

Assim, o capacitor armazena a energia na forma de campo elétrico.

Os elementos da rede podem ser active ou passivetipo. Qualquer circuito elétrico ou rede contém um desses dois tipos de elementos de rede ou uma combinação de ambos.

Agora, vamos discutir sobre as duas leis a seguir, que são conhecidas popularmente como Kirchhoff’s laws.

• Lei Atual de Kirchhoff
• Lei de tensão de Kirchhoff

Lei Atual de Kirchhoff

A Lei Atual de Kirchhoff (KCL) afirma que a soma algébrica das correntes que saem (ou entram) em um nó é igual a zero.

UMA Nodeé um ponto onde dois ou mais elementos de circuito estão conectados a ele. Se apenas dois elementos de circuito estiverem conectados a um nó, então será considerado um nó simples. Se três ou mais elementos de circuito estão conectados a um nó, então é dito que éPrincipal Node.

Mathematically, KCL pode ser representado como

$$\displaystyle\sum\limits_{m=1}^M I_m = 0$$

Onde,

• I_mé a m- ^ésima corrente de ramificação que sai do nó.

• M é o número de ramificações conectadas a um nó.

A declaração acima de KCLtambém pode ser expresso como "a soma algébrica das correntes que entram em um nó é igual à soma algébrica das correntes que saem de um nó". Vamos verificar essa afirmação por meio do exemplo a seguir.

Exemplo

Escreva KCL equation no nó P da figura a seguir.

• Na figura acima, as correntes do ramal I ₁ , I ₂ e I ₃ sãoentering no nó P. Portanto, considere sinais negativos para essas três correntes.

• Na figura acima, as correntes do ramal I ₄ e I ₅ sãoleaving do nó P. Portanto, considere sinais positivos para essas duas correntes.

o KCL equation no nó P será

$$- I_1 - I_2 - I_3 + I_4 + I_5 = 0$$

$$\Rightarrow I_1 + I_2 + I_3 = I_4 + I_5$$

Na equação acima, o lado esquerdo representa a soma das correntes de entrada, enquanto o lado direito representa a soma das correntes de saída.

Neste tutorial, vamos considerar o sinal positivo quando a corrente sai de um nó e o sinal negativo quando entra em um nó. Da mesma forma, você pode considerar sinal negativo quando a corrente deixa um nó e sinal positivo quando entra em um nó. Em ambos os casos, oresult will be same.

Note - KCL é independente da natureza dos elementos da rede que estão conectados a um nó.

Lei de tensão de Kirchhoff

A Lei da Tensão de Kirchhoff (KVL) afirma que a soma algébrica das tensões em torno de um loop ou malha é igual a zero.

UMA Loopé um caminho que termina no mesmo nó de onde começou. Em contraste, umMesh é um loop que não contém nenhum outro loop dentro dele.

Matematicamente, KVL pode ser representado como

$$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^N V_n = 0$$

Onde,

• V_né a tensão do ^enésimo elemento em um loop (malha).

• N é o número de elementos de rede no loop (malha).

A declaração acima de KVLtambém pode ser expressa como "a soma algébrica das fontes de tensão é igual à soma algébrica das quedas de tensão que estão presentes em um loop." Vamos verificar essa afirmação com a ajuda do exemplo a seguir.

Exemplo

Escreva KVL equation em torno da volta do circuito seguinte.

O diagrama de circuito acima consiste em uma fonte de tensão, V _S em série com dois resistores R ₁ e R ₂ . As quedas de tensão nos resistores R ₁ e R ₂ são V ₁ e V _2, respectivamente.

Aplique KVL em torno do loop.

$$V_S - V_1 - V_2 = 0$$

$$\Rightarrow V_S = V_1 + V_2$$

Na equação acima, o termo do lado esquerdo representa uma única fonte de tensão VS. Considerando que, o lado direito representa osum of voltage drops. Neste exemplo, consideramos apenas uma fonte de tensão. É por isso que o lado esquerdo contém apenas um termo. Se considerarmos várias fontes de tensão, o lado esquerdo contém a soma das fontes de tensão.

Neste tutorial, consideramos o sinal da tensão de cada elemento como a polaridade do segundo terminal que está presente ao percorrer o loop. Da mesma forma, você pode considerar o sinal de cada voltagem como a polaridade do primeiro terminal que está presente enquanto viaja ao redor do loop. Em ambos os casos, oresult will be same.

Note - KVL é independente da natureza dos elementos de rede que estão presentes em um loop.

Neste capítulo, vamos discutir sobre os dois princípios de divisão de grandezas elétricas a seguir.

• Princípio da Divisão Atual
• Princípio de divisão de tensão

Princípio da Divisão Atual

Quando dois ou mais elementos passivos são conectados em paralelo, a quantidade de corrente que flui através de cada elemento fica divided (compartilhados) entre si da corrente que está entrando no nó.

Considere o seguinte circuit diagram.

O diagrama de circuito acima consiste em uma fonte de corrente de entrada I_S em paralelo com dois resistores R₁ e R₂. A tensão em cada elemento éV_S. As correntes fluindo através dos resistoresR₁ e R₂ está I₁ e I₂ respectivamente.

o KCL equation no nó P será

$$I_S = I_1 + I_2$$

• Substituto $I_1 = \frac{V_S}{R_1}$ e $I_2 = \frac{V_S}{R_2}$ na equação acima.

$$I_S = \frac{V_S}{R_1} + \frac{V_S}{R_2} = V_S \lgroup \frac {R_2 + R_1 }{R_1 R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow V_S = I_S \lgroup \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

• Substitua o valor de V _S em$I_1 = \frac{V_S}{R_1}$.

$$I_1 = \frac{I_S}{R_1}\lgroup \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow I_1 = I_S\lgroup \frac{R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

• Substitua o valor de V _S em$I_2 = \frac{V_S}{R_2}$.

$$I_2 = \frac{I_S}{R_2} \lgroup \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow I_2 = I_S \lgroup \frac{R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

A partir das equações de I ₁ e I ₂ , podemos generalizar que a corrente que flui por qualquer elemento passivo pode ser encontrada usando a seguinte fórmula.

$$I_N = I_S \lgroup \frac{Z_1\rVert Z_2 \rVert...\rVert Z_{N-1}}{Z_1 + Z_2 + ... + Z_N}\rgroup$$

Isso é conhecido como current division principle e é aplicável, quando dois ou mais elementos passivos são conectados em paralelo e apenas uma corrente entra no nó.

Onde,

• I _N é a corrente fluindo através do elemento passivo do N- ^ésimo ramo.

• I _S é a corrente de entrada que entra no nó.

• Z ₁ , Z ₂ , ..., Z _N são as impedâncias de um ^r ramo, 2 ^nd ramo, ..., N ^th ramo respectivamente.

Princípio de divisão de tensão

Quando dois ou mais elementos passivos são conectados em série, a quantidade de tensão presente em cada elemento fica divided (compartilhada) entre si a partir da tensão que está disponível em toda a combinação.

Considere o seguinte circuit diagram.

O diagrama de circuito acima consiste em uma fonte de tensão, V _S em série com dois resistores R ₁ e R ₂ . A corrente que flui através desses elementos é I _S . As quedas de tensão nos resistores R ₁ e R ₂ são V ₁ e V _2, respectivamente.

o KVL equation em torno do loop será

$$V_S = V_1 + V_2$$

• Substitua V ₁ = I _S R ₁ e V ₂ = I _S R ₂ na equação acima

$$V_S = I_S R_1 + I_S R_2 = I_S(R_1 + R_2)$$

$$I_S = \frac{V_S}{R_1 + R_2}$$

• Substitua o valor de I _S em V ₁ = I _S R ₁ .

$$V_1 = \lgroup \frac {V_S}{R_1 + R_2} \rgroup R_1$$

$$\Rightarrow V_1 = V_S \lgroup \frac {R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

• Substitua o valor de I _S em V ₂ = I _S R ₂ .

$$V_2 = \lgroup \frac {V_S}{R_1 + R_2} \rgroup R_2$$

$$\Rightarrow V_2 = V_S \lgroup \frac {R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

A partir das equações de V ₁ e V ₂ , podemos generalizar que a tensão em qualquer elemento passivo pode ser encontrada usando a seguinte fórmula.

$$V_N = V_S \lgroup \frac {Z_N}{Z_1 + Z_2 +....+ Z_N}\rgroup$$

Isso é conhecido como voltage division principle e é aplicável quando dois ou mais elementos passivos são conectados em série e apenas uma tensão disponível em toda a combinação.

Onde,

• V _N é a tensão no N- ^ésimo elemento passivo.

• V _S é a tensão de entrada, que está presente em toda a combinação de elementos passivos em série.

• Z ₁ , Z ₂ , ..., Z ₃ são as impedâncias de um ^r elemento passivo, 2 ^nd elemento passivo, ..., N- ^th elemento passivo, respectivamente.

Existem dois métodos básicos que são usados ​​para resolver qualquer rede elétrica: Nodal analysis e Mesh analysis. Neste capítulo, vamos discutir sobre oNodal analysis método.

Na análise nodal, consideraremos as tensões dos nós em relação ao terra. Portanto, a análise nodal também é chamada deNode-voltage method.

Procedimento de Análise Nodal

Siga estas etapas ao resolver qualquer rede elétrica ou circuito usando a análise Nodal.

• Step 1 - Identifique o principal nodes e escolha um deles como reference node. Trataremos esse nó de referência como o Ground.

• Step 2 - Identifique o node voltages com respeito ao solo de todos os nós principais, exceto o nó de referência.

• Step 3 - escrever nodal equationsem todos os nós principais, exceto o nó de referência. A equação nodal é obtida aplicando primeiro KCL e depois a lei de Ohm.

• Step 4 - Resolva as equações nodais obtidas no Passo 3 para obter as tensões dos nós.

Agora, podemos encontrar a corrente fluindo através de qualquer elemento e a tensão em qualquer elemento que esteja presente na rede dada usando tensões de nó.

Exemplo

Encontre a corrente fluindo através do resistor de 20 Ω do seguinte circuito usando Nodal analysis.

Step 1 - Existem three principle nodesno circuito acima. Esses são identificados como 1, 2 e 3 na figura a seguir.

Na figura acima, considere node 3 como nó de referência (Ground).

Step 2- As tensões dos nós, V ₁ e V ₂ , são rotuladas na figura a seguir.

Na figura acima, V ₁ é a tensão do nó 1 em relação ao terra e V ₂ é a tensão do nó 2 em relação ao terra.

Step 3 - Nesse caso, vamos conseguir two nodal equations, uma vez que existem dois nós principais, 1 e 2, além do solo. Quando escrevemos as equações nodais em um nó, suponha que todas as correntes estão saindo do nó para o qual a direção da corrente não é mencionada e a tensão desse nó como maior do que outras tensões do nó no circuito.

o nodal equation no nó 1 é

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} + \frac{V_1 - V_2}{10} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{2 V_1 - 40 + V_1 + V_1 - V_2}{10} = 0$$

$$\Rightarrow 4V_1 - 40 - V_2 = 0$$

$\Rightarrow V_2 = 4V_1 - 40$ Equation 1

o nodal equation no nó 2 é

$$-4 + \frac{V_2}{20} + \frac{V_2 - V_1}{10} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{-80 + V_2 + 2V_2 - 2V_2}{20} = 0$$

$\Rightarrow 3V_2 − 2V_1 = 80$ Equation 2

Step 4- Encontrar as tensões de nó, V ₁ e V ₂ , resolvendo a Equação 1 e a Equação 2.

Substitua a Equação 1 na Equação 2.

$$3(4 V_1 - 40) - 2 V_1 = 80$$

$$\Rightarrow 12 V_1 - 120 - 2V_1 =80$$

$$\Rightarrow 10 V_1 = 200$$

$$\Rightarrow V_1 = 20V$$

Substitua V ₁ = 20 V na Equação 1.

$$V_2 = 4(20) - 40$$

$$\Rightarrow V_2 = 40V$$

Então, temos as tensões de nó V ₁ e V ₂ como20 V e 40 V respectivamente.

Step 5- A tensão através do resistor de 20 is nada mais é do que a tensão do nó V ₂ e é igual a 40 V. Agora, podemos encontrar a corrente fluindo através do resistor de 20 Ω usando a lei de Ohm.

$$I_{20 \Omega} = \frac{V_2}{R}$$

Substitua os valores de V ₂ e R na equação acima.

$$I_{20 \Omega} = \frac{40}{20}$$

$$\Rightarrow I_{20 \Omega} = 2A$$

Portanto, a corrente que flui através do resistor de 20 Ω de determinado circuito é 2 A.

Note- Do exemplo acima, podemos concluir que temos que resolver 'n' equações nodais, se o circuito elétrico tiver 'n' nós principais (exceto o nó de referência). Portanto, podemos escolher a análise nodal quando onumber of principal nodes (exceto o nó de referência) é menor que o número de malhas de qualquer circuito elétrico.

Na análise de malha, consideraremos as correntes que fluem através de cada malha. Portanto, a análise de malha também é chamada deMesh-current method.

UMA branché um caminho que une dois nós e contém um elemento de circuito. Se uma ramificação pertencer a apenas uma malha, a corrente da ramificação será igual à corrente da malha.

Se uma ramificação for comum a duas malhas, a corrente da ramificação será igual à soma (ou diferença) de duas correntes da malha, quando estiverem na mesma (ou oposta) direção.

Procedimento de Análise de Malha

Siga estas etapas enquanto resolve qualquer rede elétrica ou circuito usando a análise de malha.

• Step 1 - Identifique o meshes e rotule as correntes da malha no sentido horário ou anti-horário.

• Step 2 - Observe a quantidade de corrente que flui através de cada elemento em termos de correntes de malha.

• Step 3 - escrever mesh equationspara todas as malhas. A equação de malha é obtida aplicando primeiro KVL e depois a lei de Ohm.

• Step 4 - Resolva as equações da malha obtidas na Etapa 3, a fim de obter o mesh currents.

Agora, podemos encontrar a corrente fluindo através de qualquer elemento e a tensão em qualquer elemento que esteja presente na rede dada usando correntes de malha.

Exemplo

Encontre a tensão através do resistor de 30 Ω usando Mesh analysis.

Step 1- Existem duas malhas no circuito acima. omesh currentsI ₁ e I ₂ são considerados no sentido horário. Essas correntes de malha são mostradas na figura a seguir.

Step 2- A corrente de malha I ₁ flui através da fonte de tensão de 20 V e resistor de 5 Ω. Da mesma forma, a corrente de malha I ₂ flui através do resistor de 30 Ω e fonte de tensão de -80 V. Mas, a diferença de duas correntes de malha, I ₁ e I ₂ , flui através do resistor de 10 Ω, uma vez que é o ramo comum de duas malhas.

Step 3 - Nesse caso, vamos conseguir two mesh equationsuma vez que existem duas malhas no circuito fornecido. Quando escrevemos as equações da malha, suponha que a corrente da malha dessa malha particular seja maior do que todas as outras correntes da malha do circuito.

o mesh equation da primeira malha é

$$20 - 5I_1 -10(I_1 - I_2) = 0$$

$$\Rightarrow 20 - 15I_1 + 10I_2 = 0$$

$$\Rightarrow 10I_2 = 15I_1 - 20$$

Divida a equação acima com 5.

$$2I_2 = 3I_1 - 4$$

Multiplique a equação acima por 2.

$4I_2 = 6I_1 - 8$ Equation 1

o mesh equation da segunda malha é

$$-10(I_2 - I_1) - 30I_2 + 80 = 0$$

Divida a equação acima com 10.

$$-(I_2 - I_1) - 3I_2 + 8 = 0$$

$$\Rightarrow -4I_2 + I_1 + 8 = 0$$

$4I_2 = I_1 + 8$ Equation 2

Step 4- Encontrar as correntes de malha I ₁ e I ₂ resolvendo a Equação 1 e a Equação 2.

Os termos do lado esquerdo da Equação 1 e Equação 2 são iguais. Portanto, iguale os termos do lado direito da Equação 1 e da Equação 2 para encontrar o valor de I ₁ .

$$6I_1 - 8 = I_1 + 8$$

$$\Rightarrow 5I_1 = 16$$

$$\Rightarrow I_1 = \frac{16}{5} A$$

Substitua o valor I ₁ na Equação 2.

$$4I_2 = \frac{16}{5} + 8$$

$$\Rightarrow 4I_2 = \frac{56}{5}$$

$$\Rightarrow I_2 = \frac{14}{5} A$$

Então, temos as correntes de malha I ₁ e I ₂ como$\mathbf{\frac{16}{5}}$ A e $\mathbf{\frac{14}{5}}$ A respectivamente.

Step 5- A corrente fluindo através do resistor de 30 Ω nada mais é do que a corrente de malha I ₂ e é igual a$\frac{14}{5}$ A. Agora, podemos encontrar a tensão no resistor de 30 Ω usando a lei de Ohm.

$$V_{30 \Omega} = I_2 R$$

Substitua os valores de I ₂ e R na equação acima.

$$V_{30 \Omega} = \lgroup \frac{14}{5} \rgroup 30$$

$$\Rightarrow V_{30 \Omega} = 84V$$

Portanto, a tensão através do resistor de 30 Ω do circuito dado é 84 V.

Note 1- Do exemplo acima, podemos concluir que temos que resolver 'm' malhas de malha, se o circuito elétrico está tendo 'm' malhas. É por isso que podemos escolher a análise de malha quando o número de malhas é menor que o número de nós principais (exceto o nó de referência) de qualquer circuito elétrico.

Note 2 - Podemos escolher entre análise nodal ou análise de malha, quando o número de malhas é igual ao número de nós principais (exceto o nó de referência) em qualquer circuito elétrico.

Se um circuito consiste em dois ou mais elementos passivos semelhantes e são conectados exclusivamente do tipo série ou tipo paralelo, então podemos substituí-los por um único elemento passivo equivalente. Portanto, este circuito é chamado deequivalent circuit.

Neste capítulo, vamos discutir sobre os dois circuitos equivalentes a seguir.

• Circuito Equivalente em Série
• Circuito Equivalente Paralelo

Circuito Equivalente em Série

Se elementos passivos semelhantes estiverem conectados em series, então a mesma corrente fluirá por todos esses elementos. Mas, a voltagem é dividida em cada elemento.

Considere o seguinte circuit diagram.

Possui uma única fonte de voltagem (V _S ) e três resistências com resistências de R ₁ , R ₂ e R ₃ . Todos esses elementos estão conectados em série. O IS atual flui por todos esses elementos.

O circuito acima possui apenas uma malha. oKVL equation em torno desta malha é

$$V_S = V_1 + V_2 + V_3$$

Substituto $V_1 = I_S R_1, \: V_2 = I_S R_2$ e $V_3 = I_S R_3$ na equação acima.

$$V_S = I_S R_1 + I_S R_2 + I_S R_3$$

$$\Rightarrow V_S = I_S(R_1 + R_2 + R_3)$$

A equação acima está na forma de $V_S = I_S R_{Eq}$ Onde,

$$R_{Eq} = R_1 + R_2 + R_3$$

o equivalent circuit diagram do circuito fornecido é mostrado na figura a seguir.

Isso significa que, se vários resistores estiverem conectados em série, podemos substituí-los por um equivalent resistor. A resistência desse resistor equivalente é igual à soma das resistências de todos aqueles resistores múltiplos.

Note 1- Se indutores 'N' tendo indutâncias de L ₁ , L ₂ , ..., L _N estiverem conectados em série, então oequivalent inductance será

$$L_{Eq} = L_1 + L_2 + ... + L_N$$

Note 2- Se 'N' capacitores com capacitâncias de C ₁ , C ₂ , ..., C _N estiverem conectados em série, então oequivalent capacitance será

$$\frac{1}{C_{Eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_N}$$

Circuito Equivalente Paralelo

Se elementos passivos semelhantes estiverem conectados em parallel, então a mesma tensão será mantida em cada elemento. Mas, a corrente que flui através de cada elemento é dividida.

Considere o seguinte circuit diagram.

Ele tem uma única fonte de corrente (I _S ) e três resistores com resistências de R ₁ , R ₂ e R ₃ . Todos esses elementos estão conectados em paralelo. A tensão (V _S ) está disponível em todos esses elementos.

O circuito acima tem apenas um nó principal (P), exceto o nó Terra. oKCL equation neste nó principal (P) é

$$I_S = I_1 + I_2 + I_3$$

Substituto $I_1 = \frac{V_S}{R_1}, \: I_2 = \frac{V_S}{R_2}$ e $I_3 = \frac{V_S}{R_3}$ na equação acima.

$$I_S = \frac{V_S}{R_1} + \frac{V_S}{R_2} + \frac{V_S}{R_3}$$

$$\Rightarrow I_S = V_S \lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup$$

$$\Rightarrow V_S = I_S\left [ \frac{1}{\lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup} \right ]$$

A equação acima está na forma de V _S = I _S R _Eq , onde,

$$R_{Eq} = \frac{1}{\lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup}$$

$$\frac{1}{R_{Eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$$

o equivalent circuit diagram do circuito fornecido é mostrado na figura a seguir.

Isso significa que, se vários resistores estiverem conectados em paralelo, podemos substituí-los por um resistor equivalente. A resistência desteequivalent resistor é igual ao recíproco da soma do recíproco de cada resistência de todas aquelas resistências múltiplas.

Note 1- Se indutores 'N' com indutâncias de L ₁ , L ₂ , ..., L _N estiverem conectados em paralelo, então oequivalent inductance será

$$\frac{1}{L_{Eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + ... + \frac{1}{L_N}$$

Note 2- Se 'N' capacitores com capacitâncias de C ₁ , C ₂ , ..., C _N estiverem conectados em paralelo, então oequivalent capacitance será

$$C_{Eq} = C_1 + C_2 + ... + C_N$$

No capítulo anterior, discutimos sobre os circuitos equivalentes de combinação em série e combinação paralela individualmente. Neste capítulo, vamos resolver um problema de exemplo considerando as combinações em série e paralelas de elementos passivos semelhantes.

Exemplo

Deixe-nos encontrar o equivalent resistance através dos terminais A e B da seguinte rede elétrica.

Obteremos a resistência equivalente nos terminais A e B minimizando a rede acima em um único resistor entre esses dois terminais. Para isso, temos queidentify the combination of resistors que são conectados em forma de série e forma paralela e, em seguida, encontram a resistência equivalente da respectiva forma em cada etapa.

A rede elétrica fornecida é modified no seguinte formato, conforme mostrado na figura a seguir.

Na figura acima, as letras, C a G, são usadas para rotular vários terminais.

Step 1 - Na rede acima, dois 6 Ω resistors estão conectados em parallel. Portanto, a resistência equivalente entre D e E será de 3 Ω. Isso pode ser obtido fazendo a seguinte simplificação.

$$R_{DE} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3 \Omega$$

Na rede acima, os resistores 4 Ω e 8 Ω estão conectados em series. Portanto, a resistência equivalente entre F e G será de 12 Ω. Isso pode ser obtido fazendo a seguinte simplificação.

$$R_{FG} = 4 + 8 = 12 \Omega$$

Step 2 - O elétrico simplificado network after Step 1 é mostrado na figura a seguir.

Na rede acima, dois 3 Ω resistors estão conectados em series. Portanto, a resistência equivalente entre C e E será6 Ω. Isso pode ser obtido fazendo a seguinte simplificação.

$$R_{CE} = 3 + 3 = 6 \Omega$$

Step 3 - O elétrico simplificado network after Step 2 é mostrado na figura a seguir.

Na rede acima, os resistores 6 Ω e 12 Ω estão conectados em parallel. Portanto, a resistência equivalente entre C e B será de 4 Ω. Isso pode ser obtido fazendo a seguinte simplificação.

$$R_{CB} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \Omega$$

Step 4 - O elétrico simplificado network after Step 3 é mostrado na figura a seguir.

Na rede acima, os resistores 2 Ω e 4 Ω estão conectados em seriesentre os terminais A e B. Portanto, a resistência equivalente entre A e B será de 6 Ω. Isso pode ser obtido fazendo a seguinte simplificação.

$$R_{AB} = 2 + 4 = 6 \Omega$$

Portanto, a resistência equivalente entre os terminais A e B da rede elétrica dada é 6 Ω.

No capítulo anterior, discutimos um exemplo de resistência equivalente relacionada a um problema. Lá, nós calculamos oequivalent resistanceentre os terminais A e B da rede elétrica fornecida facilmente. Porque, em cada etapa, temos a combinação de resistores que são conectados tanto em série quanto em paralelo.

No entanto, em algumas situações, é difícil simplificar a rede seguindo a abordagem anterior. Por exemplo, os resistores conectados na forma delta (δ) ou na forma de estrela. Em tais situações, temos queconverta rede de uma forma para a outra, a fim de simplificá-la ainda mais usando combinação em série ou combinação paralela. Neste capítulo, vamos discutir sobre oDelta to Star Conversion.

Delta Network

Considere o seguinte delta network conforme mostrado na figura a seguir.

As seguintes equações representam o equivalent resistance entre dois terminais da rede delta, quando o terceiro terminal é mantido aberto.

$$R_{AB} = \frac{(R_1 + R_3)R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_{BC} = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_{CA} = \frac{(R_2 + R_3)R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Star Network

A figura a seguir mostra o equivalent star network correspondente à rede delta acima.

As seguintes equações representam o equivalent resistance entre dois terminais da rede estrela, quando o terceiro terminal é mantido aberto.

$$R_{AB} = R_A + R_B$$

$$R_{BC} = R_B + R_C$$

$$R_{CA} = R_C + R_A$$

Resistências de Rede Star em termos de Resistências de Rede Delta

Obteremos as seguintes equações igualando os termos do lado direito das equações acima para as quais os termos do lado esquerdo são iguais.

$R_A + R_B = \frac{(R_1 + R_3)R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 1

$R_B + R_C = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 2

$R_C + R_A = \frac{(R_2 + R_3)R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 3

Adicionando as três equações acima, obteremos

$$2(R_A + R_B + R_C) = \frac{2(R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$\Rightarrow R_A + R_B + R_C = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 4

Subtraia a Equação 2 da Equação 4.

$R_A + R_B + R_C - (R_B + R_C) = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3} - \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$

$$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Subtraindo a Equação 3 da Equação 4, obteremos

$$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Subtraindo a Equação 1 da Equação 4, obteremos

$$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Usando as relações acima, podemos encontrar as resistências da rede em estrela a partir das resistências da rede delta. Desta forma, podemos converter umdelta network dentro de star network.

Exemplo

Vamos calcular o resistances of star network, que são equivalentes aos da rede delta, conforme mostrado na figura a seguir.

Considerando a resistances of delta networkcomo R ₁ = 10 Ω, R ₂ = 60 Ω e R ₃ = 30 Ω.

Conhecemos as seguintes relações das resistências da rede estelar em termos de resistências da rede delta.

$$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Substitua os valores de R ₁ , R ₂ e R ₃ nas equações acima.

$$R_A = \frac{10 \times 60}{10 +60+30} = \frac{600}{100} = 6\Omega$$

$$R_B = \frac{60 \times 30}{10 +60+30} = \frac{1800}{100} = 18\Omega$$

$$R_C = \frac{30 \times 10}{10 +60+30} = \frac{300}{100} = 3\Omega$$

Então, nós temos as resistências da rede estelar como R_A = 6 Ω, R_B = 18 Ω e R_C = 3 Ω, que são equivalentes às resistências da rede delta dada.

No capítulo anterior, discutimos sobre a conversão da rede delta em uma rede estrela equivalente. Agora, vamos discutir sobre a conversão de uma rede em estrela em uma rede delta equivalente. Esta conversão é chamada deStar to Delta Conversion.

No capítulo anterior, obtivemos o resistances of star network da rede delta como

$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 1

$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 2

$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 3

Resistências Delta Network em termos de Resistências Star Network

Vamos manipular as equações acima para obter as resistências da rede delta em termos de resistências da rede estelar.

• Multiply cada conjunto de duas equações e então add.

$$R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2^2 R_3 + R_2 R_3^2 R_1 + R_3 R_1^2 R_2}{(R_1 + R_2 + R_3)^2}$$

$$\Rightarrow R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2 R_3(R_1 + R_2 + R_3)}{(R_1 + R_2 + R_3)^2}$$

$\Rightarrow R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 4

• Ao dividir a Equação 4 com a Equação 2, obteremos

$$\frac{R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A}{R_B} = R_1$$

$$\Rightarrow R_1 = R_C + R_A + \frac{R_C R_A}{R_B}$$

• Ao dividir a Equação 4 com a Equação 3, obteremos

$$R_2 = R_A + R_B + \frac{R_A R_B}{R_C}$$

• Ao dividir a Equação 4 com a Equação 1, obteremos

$$R_3 = R_B + R_C + \frac{R_B R_C}{R_A}$$

Usando as relações acima, podemos encontrar as resistências da rede delta a partir das resistências da rede estelar. Desta forma, podemos converterstar network into delta network.

Exemplo

Vamos calcular o resistances of delta network, que são equivalentes à rede em estrela, conforme mostrado na figura a seguir.

Considerando a resistances of star networkcomo R _A = 6 Ω, R _B = 18 Ω e R _C = 3 Ω .

Nós conhecemos as seguintes relações do resistances of delta network em termos de resistências da rede estelar.

$$R_1 = R_C + R_A + \frac{R_C R_A}{R_B}$$

$$R_2 = R_A + R_B + \frac{R_A R_B}{R_C}$$

$$R_3 = R_B + R_C + \frac{R_B R_C}{R_A}$$

Substitua os valores de R _A , R _B e R _C nas equações acima.

$$R_1 = 3 + 6 + \frac{3 \times 6}{18} = 9 + 1 = 10 \Omega$$

$$R_2 = 6 + 18 + \frac{6 \times 18}{3} = 24 + 36 = 60 \Omega$$

$$R_3 = 18 + 3 + \frac{18 \times 3}{6} = 21 + 9 = 30 \Omega$$

Então, temos as resistências da rede delta como R₁ = 10 Ω, R₂ = 60 Ω e R₃ = 30 Ω, que são equivalentes às resistências da rede em estrela dada.

A topologia de rede é uma representação gráfica de circuitos elétricos. É útil para analisar circuitos elétricos complexos, convertendo-os em gráficos de rede. A topologia de rede também é chamada deGraph theory.

Terminologia Básica da Topologia de Rede

Agora, vamos discutir sobre a terminologia básica envolvida nesta topologia de rede.

Gráfico

O gráfico da rede é simplesmente chamado de graph. Ele consiste em um conjunto de nós conectados por ramos. Nos gráficos, um nó é um ponto comum de dois ou mais ramos. Às vezes, apenas uma única ramificação pode se conectar ao nó. Uma ramificação é um segmento de linha que conecta dois nós.

Qualquer circuito elétrico ou rede pode ser convertido em seu equivalente graphsubstituindo os elementos passivos e as fontes de tensão por curto-circuitos e as fontes de corrente por circuitos abertos. Isso significa que os segmentos de linha no gráfico representam os ramos correspondentes a elementos passivos ou fontes de tensão do circuito elétrico.

Exemplo

Vamos considerar o seguinte electric circuit.

No circuito acima, existem four principal nodes e aqueles são rotulados com 1, 2, 3 e 4. Existem seven branches no circuito acima, entre os quais uma ramificação contém uma fonte de tensão de 20 V, outra ramificação contém uma fonte de corrente de 4 A e as cinco ramificações restantes contêm resistências com resistências de 30 Ω, 5 Ω, 10 Ω, 10 Ω e 20 Ω respectivamente.

Um equivalente graph correspondente ao circuito elétrico acima é mostrado na figura a seguir.

No gráfico acima, existem four nodese aqueles são rotulados com 1, 2, 3 e 4 respectivamente. Estes são os mesmos dos nós principais do circuito elétrico. temsix branches no gráfico acima e aqueles são rotulados com a, b, c, d, e e f respectivamente.

Neste caso, temos one branch less no gráfico porque a fonte de corrente de 4 A é feita como circuito aberto, enquanto converte o circuito elétrico em seu gráfico equivalente.

A partir deste exemplo, podemos concluir os seguintes pontos -

• o number of nodes presente em um grafo será igual ao número de nós principais presentes em um circuito elétrico.

• o number of branches presente em um gráfico será menor ou igual ao número de ramos presentes em um circuito elétrico.

Tipos de gráficos

A seguir estão os tipos de gráficos -

• Gráfico Conectado
• Gráfico Desconectado
• Gráfico Direcionado
• Gráfico não direcionado

Agora, vamos discutir esses gráficos um por um.

Gráfico Conectado

Se houver pelo menos um ramo entre qualquer um dos dois nós de um gráfico, ele é chamado de connected graph. Isso significa que cada nó do grafo conectado terá uma ou mais ramificações conectadas a ele. Portanto, nenhum nó será apresentado como isolado ou separado.

O gráfico mostrado no exemplo anterior é um connected graph. Aqui, todos os nós são conectados por três ramos.

Gráfico Desconectado

Se houver pelo menos um nó no gráfico que permanece desconectado mesmo por um único ramo, ele é chamado de unconnected graph. Portanto, haverá um ou mais nós isolados em um grafo não conectado.

Considere o gráfico mostrado na figura a seguir.

Neste gráfico, os nós 2, 3 e 4 são conectados por dois ramos cada. Mas, nem mesmo um único ramo foi conectado aonode 1. Então, o nó 1 se torna umisolated node. Portanto, o gráfico acima é umunconnected graph.

Gráfico Direcionado

Se todos os ramos de um gráfico são representados com setas, então esse gráfico é chamado de directed graph. Essas setas indicam a direção do fluxo de corrente em cada ramo. Portanto, este gráfico também é chamado deoriented graph.

Considere o gráfico mostrado na figura a seguir.

No gráfico acima, a direção do fluxo da corrente é representada por uma seta em cada ramo. Portanto, é umdirected graph.

Gráfico não direcionado

Se os ramos de um gráfico não são representados com setas, então esse gráfico é chamado de undirected graph. Uma vez que não há direções de fluxo de corrente, este gráfico também é chamado deunoriented graph.

O gráfico que foi mostrado no primeiro exemplo deste capítulo é um unoriented graph, porque não há setas nas ramificações desse gráfico.

Subgrafo e seus tipos

Uma parte do gráfico é chamada de subgraph. Obtemos subgráficos removendo alguns nós e / ou ramos de um determinado gráfico. Portanto, o número de ramos e / ou nós de um subgráfico será menor do que o do gráfico original. Portanto, podemos concluir que um subgráfico é um subconjunto de um gráfico.

A seguir estão os two types de subgráficos.

• Tree
• Co-Tree

Árvore

Árvore é um subgráfico conectado de um determinado gráfico, que contém todos os nós de um gráfico. Mas, não deve haver nenhum loop nesse subgráfico. Os ramos de uma árvore são chamados detwigs.

Considere o seguinte connected subgraph do gráfico, que é mostrado no Exemplo do início deste capítulo.

Este subgrafo conectado contém todos os quatro nós do gráfico dado e não há nenhum loop. Portanto, é umTree.

Esta Árvore tem apenas três ramos de seis ramos de determinado gráfico. Porque, se considerarmos até mesmo um único ramo dos ramos restantes do gráfico, então haverá um loop no subgrafo conectado acima. Então, o subgrafo conectado resultante não será uma Árvore.

A partir da árvore acima, podemos concluir que o number of branches que estão presentes em uma árvore devem ser iguais a n - 1 onde 'n' é o número de nós do grafo fornecido.

Co-Tree

Co-Tree é um subgrafo, que é formado com os ramos que são removidos durante a formação de uma Árvore. Portanto, é chamado deComplementde uma árvore. Para cada árvore, haverá uma co-árvore correspondente e seus ramos são chamados delinksou acordes. Em geral, os links são representados por linhas pontilhadas.

o Co-Tree correspondente à Árvore acima é mostrada na figura a seguir.

Esta co-árvore tem apenas três nós em vez de quatro nós do gráfico fornecido, porque o nó 4 está isolado da co-árvore acima. Portanto, a Co-Tree não precisa ser um subgrafo conectado. Esta co-árvore tem três ramos e eles formam um loop.

o number of branchesque estão presentes em uma co-árvore será igual à diferença entre o número de ramos de um determinado gráfico e o número de ramos. Matematicamente, pode ser escrito como

$$l = b - (n - 1)$$

$$l = b - n + 1$$

Onde,

• l é o número de links.
• b é o número de ramos presentes em um determinado gráfico.
• n é o número de nós presentes em um determinado gráfico.

Se combinarmos uma árvore e sua co-árvore correspondente, obteremos o original graph como mostrado abaixo.

Os ramos da árvore d, e e f são representados por linhas sólidas. Os ramos da Co-Tree a, b e c são representados por linhas tracejadas.

No capítulo anterior, discutimos como converter um circuito elétrico em um gráfico equivalente. Agora, vamos discutir as matrizes de topologia de rede que são úteis para resolver qualquer circuito elétrico ou problema de rede usando seus gráficos equivalentes.

Matrizes associadas a gráficos de rede

A seguir estão as três matrizes que são usadas na teoria de grafos.

• Matriz de Incidência
• Matriz de Loop Fundamental
• Matriz de conjunto de corte fundamental

Matriz de Incidência

Uma matriz de incidência representa o gráfico de um determinado circuito elétrico ou rede. Assim, é possível desenhar o gráfico desse mesmo circuito elétrico ou rede a partir doincidence matrix.

Sabemos que o grafo consiste em um conjunto de nós e estes são conectados por alguns ramos. Portanto, a conexão de ramos a um nó é chamada de incidência. A matriz de incidência é representada pela letra A. Também é chamada de nó para ramificar a matriz de incidência ounode incidence matrix.

Se houver 'n' nós e 'b' ramos estão presentes em um directed graph, então a matriz de incidência terá 'n' linhas e 'b' colunas. Aqui, as linhas e colunas correspondem aos nós e ramos de um gráfico direcionado. Portanto, oorder da matriz de incidência será n × b.

o elements of incidence matrix terá um destes três valores, +1, -1 e 0.

• Se a corrente do ramal está saindo de um nó selecionado, então o valor do elemento será +1.

• Se a corrente do ramo está entrando em direção a um nó selecionado, então o valor do elemento será -1.

• Se a ramificação atual não entrar em um nó selecionado nem sair de um nó selecionado, o valor do elemento será 0.

Procedimento para encontrar a matriz de incidência

Siga estas etapas para encontrar a matriz de incidência do gráfico direcionado.

• Selecione um nó por vez do gráfico direcionado dado e preencha os valores dos elementos da matriz de incidência correspondentes a esse nó em uma linha.

• Repita a etapa acima para todos os nós do gráfico direcionado fornecido.

Exemplo

Considere o seguinte directed graph.

o incidence matrix correspondente ao gráfico direcionado acima será

$$A = \begin{bmatrix}-1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$$

As linhas e colunas da matriz acima representam os nós e ramos de determinado gráfico direcionado. A ordem dessa matriz de incidência é 4 × 6.

Ao observar a matriz de incidência acima, podemos concluir que o summationde elementos de coluna da matriz de incidência é igual a zero. Isso significa que uma corrente de ramificação sai de um nó e entra apenas em outro nó.

Note- Se o gráfico fornecido for um tipo não direcionado, converta-o em um gráfico direcionado, representando as setas em cada ramo dele. Podemos considerar a direção arbitrária do fluxo de corrente em cada ramo.

Matriz de Loop Fundamental

Loop fundamental ou f-loopé um loop, que contém apenas um link e um ou mais galhos. Portanto, o número de loops f será igual ao número de links. A matriz de loop fundamental é representada pela letra B. Também é chamada defundamental circuit matrixe matriz de tie-set. Esta matriz fornece a relação entre as correntes do ramal e as correntes do link.

Se houver 'n' nós e 'b' ramos estão presentes em um directed graph, então o número de links presentes em uma co-árvore, que é correspondente à árvore selecionada de determinado gráfico, será b-n + 1.

Portanto, a matriz de loop fundamental terá linhas 'b-n + 1' e colunas 'b'. Aqui, as linhas e colunas correspondem às ligações da co-árvore e das ramificações de determinado gráfico. Portanto, a ordem da matriz de loop fundamental será(b - n + 1) × b.

o elements of fundamental loop matrix terá um destes três valores, +1, -1 e 0.

• O valor do elemento será +1 para o link do f-loop selecionado.

• O valor dos elementos será 0 para os links e galhos restantes, que não fazem parte do loop f selecionado.

• Se a direção da corrente do ramo do f-loop selecionado for igual à da corrente do link do f-loop, então o valor do elemento será +1.

• Se a direção da corrente do galho do laço f selecionado for oposta à da corrente do link do laço f, então o valor do elemento será -1.

Procedimento para encontrar a Matriz de Loop Fundamental

Siga estas etapas para encontrar a matriz de loop fundamental de determinado gráfico direcionado.

• Selecione uma árvore de determinado gráfico direcionado.

• Incluindo um link de cada vez, obteremos um f-loop. Preencha os valores dos elementos correspondentes a este f-loop em uma linha da matriz de loop fundamental.

• Repita a etapa acima para todos os links.

Exemplo

Dê uma olhada na seguinte Árvore de directed graph, que é considerado para a matriz de incidência.

A Árvore acima contém três ramos d, e e f. Portanto, os ramos a, b & c serão os links da Co-Árvore correspondente à Árvore acima. Incluindo um link de cada vez para a Árvore acima, obteremos umf-loop. Então, haverá trêsf-loops, uma vez que existem três links. Esses três f-loops são mostrados na figura a seguir.

Na figura acima, os ramos, que são representados com linhas coloridas, formam loops em f. Obteremos os valores dos elementos das linhas da matriz do conjunto de tie-set de cada loop f. Então oTieset matrix da árvore acima considerada será

$$B = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$$

As linhas e colunas da matriz acima representam os links e ramos de determinado gráfico direcionado. A ordem dessa matriz de incidência é 3 × 6.

o number of Fundamental loop matricesde um gráfico direcionado será igual ao número de Árvores desse gráfico direcionado. Porque, cada árvore terá uma matriz de loop fundamental.

Matriz de conjunto de corte fundamental

Conjunto de corte fundamental ou f-cut seté o número mínimo de ramos que são removidos de um gráfico de forma que o gráfico original se torne dois subgráficos isolados. O conjunto f-cut contém apenasone twige um ou mais links. Portanto, o número de conjuntos de corte em f será igual ao número de galhos.

Fundamental cut set matrix é representado com a letra C. Esta matriz fornece a relação entre tensões de ramificação e tensões de ramificação.

Se houver 'n' nós e 'b' ramos estão presentes em um directed graph, então o número de galhos presentes em uma Árvore selecionada de determinado gráfico será n-1. Portanto, a matriz do conjunto de corte fundamental terá 'n-1' linhas e colunas 'b'. Aqui, as linhas e colunas correspondem aos galhos da árvore selecionada e aos galhos de determinado gráfico. Portanto, oorder da matriz de conjunto de corte fundamental será (n-1) × b.

o elements of fundamental cut set matrix terá um destes três valores, +1, -1 e 0.

• O valor do elemento será +1 para o galho do f-cutset selecionado.

• O valor dos elementos será 0 para os galhos e links restantes, que não fazem parte do conjunto de corte f selecionado.

• Se a direção da corrente do link do conjunto de corte f selecionado for a mesma da corrente do ramo do conjunto de corte f, então o valor do elemento será +1.

• Se a direção da corrente do link do conjunto de corte f selecionado for oposta à da corrente do galho do conjunto de corte f, então o valor do elemento será -1.

Procedimento para encontrar a matriz de conjunto de corte fundamental

Siga estas etapas para encontrar a matriz de conjunto de corte fundamental de determinado gráfico direcionado.

• Selecione uma Árvore de determinado gráfico direcionado e represente os links com as linhas pontilhadas.

• Ao remover um galho e os links necessários de cada vez, teremos um conjunto f-cut. Preencha os valores dos elementos correspondentes a este conjunto de corte f em uma linha da matriz de conjunto de corte fundamental.

• Repita a etapa acima para todos os galhos.

Exemplo

Considere o mesmo directed graph , que discutimos na seção da matriz de incidência. Selecione os ramos d, e e f deste gráfico direcionado como galhos. Assim, os ramos restantes a, b & c deste gráfico direcionado serão os links.

o twigs d, e e f são representados com linhas sólidas e links a, b e c são representados com linhas pontilhadas na figura a seguir.

Ao remover um galho e os links necessários de cada vez, teremos um conjunto f-cut. Portanto, haverá três conjuntos de corte em f, uma vez que são três galhos. Estes trêsf-cut sets são mostrados na figura a seguir.

Teremos três conjuntos de corte em f removendo um conjunto de galhos e elos de C ₁ , C ₂ e C ₃ . Obteremos os valores dos elementos da linha da matriz do conjunto de corte fundamental de cada conjunto de corte f. Então ofundamental cut set matrix da árvore acima considerada será

$$C = \begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

As linhas e colunas da matriz acima representam os galhos e ramos de determinado gráfico direcionado. A ordem dessa matriz de conjunto de corte fundamental é 3 × 6.

o number of Fundamental cut set matricesde um gráfico direcionado será igual ao número de Árvores desse gráfico direcionado. Porque, cada árvore terá uma matriz de conjunto de corte fundamental.

Superposition theorembaseia-se no conceito de linearidade entre a resposta e a excitação de um circuito elétrico. Ele afirma que a resposta em um determinado ramo de um circuito linear quando várias fontes independentes estão agindo ao mesmo tempo é equivalente à soma das respostas devido a cada fonte independente agindo em um momento.

Neste método, vamos considerar apenas one independent sourcede uma vez. Portanto, temos que eliminar as fontes independentes restantes do circuito. Podemos eliminar as fontes de tensão colocando em curto seus dois terminais e, da mesma forma, as fontes de corrente abrindo seus dois terminais.

Portanto, precisamos encontrar a resposta em um determinado ramo ‘n’ timesse houver 'n' fontes independentes. A resposta em uma ramificação específica pode ser corrente fluindo através dessa ramificação ou voltagem através dessa ramificação.

Procedimento do Teorema da Superposição

Siga estas etapas para encontrar a resposta em um determinado ramo usando o teorema da superposição.

Step 1 - Encontre a resposta em um determinado ramo, considerando uma fonte independente e eliminando as fontes independentes restantes presentes na rede.

Step 2 - Repita a Etapa 1 para todas as fontes independentes presentes na rede.

Step 3 - Adicione todas as respostas para obter a resposta geral em um determinado ramo quando todas as fontes independentes estiverem presentes na rede.

Exemplo

Encontre a corrente fluindo através do resistor de 20 Ω do seguinte circuito usando superposition theorem.

Step 1 - Vamos encontrar a corrente fluindo através do resistor de 20 Ω, considerando apenas 20 V voltage source. Neste caso, podemos eliminar a fonte de corrente de 4 A abrindo-a em circuito. O diagrama de circuito modificado é mostrado na figura a seguir.

Há apenas um nó principal, exceto aterramento no circuito acima. Então, podemos usarnodal analysismétodo. A tensão do nó V ₁ é rotulada na figura a seguir. Aqui, V ₁ é a tensão do nó 1 em relação ao terra.

o nodal equation no nó 1 é

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} + \frac{V_1}{10 + 20} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{6V_1 - 120 + 3V_1 + V_1}{30} = 0$$

$$\Rightarrow 10V_1 = 120$$

$$\Rightarrow V_1 = 12V$$

o current flowing through 20 Ω resistor pode ser encontrado fazendo a seguinte simplificação.

$$I_1 = \frac{V_1}{10 + 20}$$

Substitua o valor de V ₁ na equação acima.

$$I_1 = \frac{12}{10 + 20} = \frac{12}{30} = 0.4 A$$

Portanto, a corrente que flui através do resistor de 20 Ω é 0.4 A, quando apenas a fonte de tensão de 20 V é considerada.

Step 2 - Vamos encontrar a corrente fluindo através do resistor de 20 Ω, considerando apenas 4 A current source. Neste caso, podemos eliminar a fonte de tensão de 20 V fazendo um curto-circuito dela. O diagrama de circuito modificado é mostrado na figura a seguir.

No circuito acima, existem três resistores à esquerda dos terminais A e B. Podemos substituir esses resistores por um único equivalent resistor. Aqui, os resistores de 5 Ω e 10 Ω são conectados em paralelo e toda a combinação está em série com o resistor de 10 Ω.

o equivalent resistance à esquerda dos terminais A e B estará

$$R_{AB} = \lgroup \frac{5 \times 10}{5 + 10} \rgroup + 10 = \frac{10}{3} + 10 = \frac{40}{3} \Omega$$

O diagrama de circuito simplificado é mostrado na figura a seguir.

Podemos encontrar a corrente fluindo através do resistor de 20 Ω, usando current division principle.

$$I_2 = I_S \lgroup \frac{R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

Substituto $I_S = 4A,\: R_1 = \frac{40}{3} \Omega$ e $R_2 = 20 \Omega$ na equação acima.

$$I_2 = 4 \lgroup \frac{\frac{40}{3}}{\frac{40}{3} + 20} \rgroup = 4 \lgroup \frac{40}{100} \rgroup = 1.6 A$$

Portanto, a corrente que flui através do resistor de 20 Ω é 1.6 A, quando apenas 4 A fonte de corrente é considerada.

Step 3 - Obteremos a corrente fluindo através do resistor de 20 Ω do circuito dado, fazendo o addition of two currents que obtivemos na etapa 1 e etapa 2. Matematicamente, pode ser escrito como

$$I = I_1 + I_2$$

Substitua os valores de I ₁ e I ₂ na equação acima.

$$I = 0.4 + 1.6 = 2 A$$

Portanto, a corrente que flui através do resistor de 20 Ω de determinado circuito é 2 A.

Note - Não podemos aplicar o teorema da superposição diretamente para encontrar a quantidade de powerentregue a qualquer resistor que esteja presente em um circuito linear, bastando adicionar as potências entregues a esse resistor em função de cada fonte independente. Em vez disso, podemos calcular a corrente total fluindo ou a tensão através desse resistor usando o teorema da superposição e, a partir disso, podemos calcular a quantidade de energia fornecida a esse resistor usando$I^2 R$ ou $\frac{V^2}{R}$.

Thevenin’s theoremafirma que qualquer rede ou circuito linear de dois terminais pode ser representado com uma rede ou circuito equivalente, que consiste em uma fonte de tensão em série com um resistor. É conhecido como circuito equivalente de Thevenin. Um circuito linear pode conter fontes independentes, fontes dependentes e resistores.

Se o circuito contém várias fontes independentes, fontes dependentes e resistores, a resposta em um elemento pode ser facilmente encontrada substituindo toda a rede à esquerda desse elemento por um Thevenin’s equivalent circuit.

o response in an element pode ser a tensão nesse elemento, a corrente fluindo por esse elemento ou a energia dissipada por esse elemento.

Este conceito é ilustrado nas figuras a seguir.

Thevenin’s equivalent circuitassemelha-se a uma fonte de tensão prática. Portanto, ele tem uma fonte de tensão em série com um resistor.

• A fonte de tensão presente no circuito equivalente de Thévenin é chamada de tensão equivalente de Thévenin ou simplesmente Thevenin’s voltage, V_Th.

• O resistor presente no circuito equivalente de Thévenin é chamado de resistor equivalente de Thévenin ou simplesmente Thevenin’s resistor, R_Th.

Métodos para encontrar o circuito equivalente de Thévenin

Existem três métodos para encontrar um circuito equivalente de Thevenin. Com base notype of sourcesque estão presentes na rede, podemos escolher um destes três métodos. Agora, vamos discutir dois métodos, um por um. Discutiremos o terceiro método no próximo capítulo.

Método 1

Siga estas etapas para encontrar o circuito equivalente de Thevenin, quando apenas o sources of independent type estão presentes.

• Step 1 - Considere o diagrama de circuito abrindo os terminais em relação aos quais o circuito equivalente de Thevenin deve ser encontrado.

• Step 2 - Encontre a voltagem de Thevenin V_Th através dos terminais abertos do circuito acima.

• Step 3 - Encontre a resistência de Thevenin R_Th através dos terminais abertos do circuito acima, eliminando as fontes independentes presentes nele.

• Step 4 - Desenhe o Thevenin’s equivalent circuitconectando uma voltagem de Thévenin V _Th em série com uma resistência de Thévenin R _Th .

Agora, podemos encontrar a resposta em um elemento que fica do lado direito do circuito equivalente de Thévenin.

Exemplo

Encontre a corrente fluindo através do resistor de 20 Ω encontrando primeiro um Thevenin’s equivalent circuit à esquerda dos terminais A e B.

Step 1 - Para encontrar o circuito equivalente de Thévenin ao lado esquerdo dos terminais A e B, devemos remover o resistor de 20 Ω da rede por opening the terminals A & B. O diagrama de circuito modificado é mostrado na figura a seguir.

Step 2 - Cálculo de Thevenin’s voltage V_Th.

Há apenas um nó principal, exceto aterramento no circuito acima. Então, podemos usarnodal analysismétodo. A tensão V _{1 do} nó e a tensão V _{Th de} Thévenin são rotuladas na figura acima. Aqui, V ₁ é a tensão do nó 1 em relação ao Terra e V _Th é a tensão na fonte de corrente 4 A.

• o nodal equation no nó 1 é

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} - 4 = 0$$

$$\Rightarrow \frac{2V_1 - 40 + V_1 - 40}{10} = 0$$

$$\Rightarrow 3V_1 - 80 = 0$$

$$\Rightarrow V_1 = \frac{80}{3}V$$

• A tensão em toda a ramificação em série do resistor 10 Ω é

$$V_{10 \Omega} = (-4)(10) = -40V$$

• Existem duas malhas no circuito acima. oKVL equation em torno da segunda malha é

$$V_1 - V_{10 \Omega} - V_{Th} = 0$$

• Substitua os valores de $V_1$ e $V_{10 \Omega}$ na equação acima.

$$\frac{80}{3} - (-40) - V_{Th} = 0$$

$$V_{Th} = \frac{80 + 120}{3} = \frac{200}{3}V$$

• Portanto, a voltagem de Thevenin é $V_{Th} = \frac{200}{3}V$

Step 3 - Cálculo de Thevenin’s resistance R_Th.

Faça um curto-circuito na fonte de tensão e abra a fonte de corrente do circuito acima, a fim de calcular a resistência de Thévenin R _Th entre os terminais A e B. Omodified circuit diagram é mostrado na figura a seguir.

A resistência de Thevenin nos terminais A e B será

$$R_{Th} = \lgroup \frac{5 \times 10}{5 + 10} \rgroup + 10 = \frac{10}{3} + 10 = \frac{40}{3} \Omega$$

Portanto, a resistência de Thevenin é $\mathbf {R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega}$.

Step 4- O circuito equivalente do Thevenin é colocado à esquerda dos terminais A e B no circuito fornecido. Este diagrama de circuito é mostrado na figura a seguir.

A corrente fluindo através do resistor de 20 Ω pode ser encontrada substituindo os valores de V _Th , R _Th e R na seguinte equação.

$$l = \frac{V_{Th}}{R_{Th} + R}$$

$$l = \frac{\frac{200}{3}}{\frac{40}{3} + 20} = \frac{200}{100} = 2A$$

Portanto, a corrente que flui através do resistor de 20 Ω é 2 A.

Método 2

Siga estas etapas para encontrar o circuito equivalente de Thevenin, quando o sources of both independent type and dependent type estão presentes.

• Step 1 - Considere o diagrama do circuito abrindo os terminais em relação aos quais o circuito equivalente de Thevenin deve ser encontrado.

• Step 2 - Encontre a voltagem de Thevenin V_Th através dos terminais abertos do circuito acima.

• Step 3 - Encontre a corrente de curto-circuito I_SC colocando em curto os dois terminais abertos do circuito acima.

• Step 4 - Encontre a resistência de Thevenin R_Th usando a seguinte fórmula.

$$R_{Th} = \frac{V_{Th}}{I_{SC}}$$

Step 5 - Desenhe o Thevenin’s equivalent circuitconectando uma voltagem de Thévenin V _Th em série com uma resistência de Thévenin R _Th .

Agora, podemos encontrar a resposta em um elemento que fica do lado direito do circuito equivalente de Thevenin.

Norton’s theoremé semelhante ao teorema de Thevenin. Ele afirma que qualquer rede ou circuito linear de dois terminais pode ser representado por uma rede ou circuito equivalente, que consiste em uma fonte de corrente em paralelo com um resistor. É conhecido comoNorton’s equivalent circuit. Um circuito linear pode conter fontes independentes, fontes dependentes e resistores.

Se um circuito tiver várias fontes independentes, fontes dependentes e resistores, a resposta em um elemento pode ser facilmente encontrada substituindo toda a rede à esquerda desse elemento por um Norton’s equivalent circuit.

o response in an element pode ser a tensão nesse elemento, a corrente fluindo por esse elemento ou a energia dissipada por esse elemento.

Este conceito é ilustrado nas figuras a seguir.

Norton’s equivalent circuitassemelha-se a uma fonte de corrente prática. Portanto, ele está tendo uma fonte de corrente em paralelo com um resistor.

• A fonte de corrente presente no circuito equivalente do Norton é chamada de corrente equivalente do Norton ou simplesmente Norton’s current I_N.

• O resistor presente no circuito equivalente do Norton é chamado de resistor equivalente do Norton ou simplesmente Norton’s resistor R_N.

Métodos para encontrar o circuito equivalente de Norton

tem three methodspara encontrar o circuito equivalente de um Norton. Com base no tipo de fontes que estão presentes na rede, podemos escolher um destes três métodos. Agora, vamos discutir esses três métodos um por um.

Método 1

Siga estas etapas para encontrar o circuito equivalente do Norton, quando apenas o sources of independent type estão presentes.

• Step 1 - Considere o diagrama de circuito abrindo os terminais em relação aos quais o circuito equivalente do Norton deve ser encontrado.

• Step 2 - Encontre a corrente do Norton I_N colocando em curto os dois terminais abertos do circuito acima.

• Step 3 - Encontre a resistência do Norton R_Natravés dos terminais abertos do circuito considerado na Etapa 1, eliminando as fontes independentes presentes nele. Resistência de NortonR_N será o mesmo da resistência de Thévenin R_Th.

• Step 4 - Desenhe o Norton’s equivalent circuitconectando uma IN atual do Norton em paralelo com a resistência R _N do Norton .

Agora, podemos encontrar a resposta em um elemento que fica do lado direito do circuito equivalente de Norton.

Método 2

Siga estas etapas para encontrar o circuito equivalente do Norton, quando o sources of both independent type and dependent type estão presentes.

• Step 1 - Considere o diagrama de circuito abrindo os terminais em relação aos quais o circuito equivalente do Norton deve ser encontrado.

• Step 2 - Encontre a tensão de circuito aberto V_OC através dos terminais abertos do circuito acima.

• Step 3 - Encontre a corrente do Norton I_N colocando em curto os dois terminais abertos do circuito acima.

• Step 4 - Encontre a resistência de Norton R_N usando a seguinte fórmula.

$$R_N = \frac{V_{OC}}{I_N}$$

• Step 5- Desenhe o circuito equivalente do Norton conectando a corrente I _{N do} Norton em paralelo com a resistência R _N do Norton .

Agora, podemos encontrar a resposta em um elemento que fica do lado direito do circuito equivalente de Norton.

Método 3

Este é um método alternativo para encontrar o circuito equivalente de um Norton.

• Step 1 - Encontre um Thevenin’s equivalent circuitentre os dois terminais desejados. Sabemos que consiste em uma fonte de tensão de Thévenin, V _Th e um resistor de Thévenin, R _Th .

• Step 2 - Aplicar source transformation techniqueao circuito equivalente de Thevenin acima. Obteremos o circuito equivalente do Norton. Aqui,

Atual de Norton,

$$I_N = \frac{V_{Th}}{R_{Th}}$$

A resistência de Norton,

$$R_N = R_{Th}$$

Esse conceito é ilustrado na figura a seguir.

Agora, podemos encontrar a resposta em um elemento, colocando o circuito equivalente de Norton à esquerda desse elemento.

Note- Da mesma forma, podemos encontrar o circuito equivalente de Thevenin encontrando primeiro um circuito equivalente de Norton e, em seguida, aplicar a técnica de transformação de fonte a ele. Esse conceito é ilustrado na figura a seguir.

Este é o Método 3 para encontrar um circuito equivalente de Thévenin.

Exemplo

Encontre a corrente fluindo através do resistor de 20 Ω encontrando primeiro um Norton’s equivalent circuit à esquerda dos terminais A e B.

Vamos resolver este problema usando Method 3.

Step 1- No capítulo anterior, calculamos o circuito equivalente de Thevenin para o lado esquerdo dos terminais A e B. Podemos usar este circuito agora. Isso é mostrado na figura a seguir.

Aqui, a voltagem de Thevenin, $V_{Th} = \frac{200}{3} V$ e a resistência de Thévenin, $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$

Step 2 - Aplicar source transformation techniqueao circuito equivalente de Thevenin acima. Substitua os valores de V _Th e R _Th na seguinte fórmula deNorton’s current.

$$I_N = \frac{V_{Th}}{R_{Th}}$$

$$I_N = \frac{\frac{200}{3}}{\frac{40}{3}} = 5A$$

Portanto, o I _N atual de Norton é5 A.

Sabemos que a resistência de Norton, R _N é a mesma da resistência de Thévenin R _Th .

$$\mathbf {R_N = \frac{40}{3} \Omega}$$

O circuito equivalente de Norton correspondente ao circuito equivalente de Thevenin acima é mostrado na figura a seguir.

Agora, coloque o circuito equivalente do Norton à esquerda dos terminais A e B do circuito fornecido.

Usando current division principle, a corrente fluindo através do resistor de 20 Ω será

$$I_{20 \Omega} = 5 \lgroup \frac{\frac{40}{3}}{\frac{40}{3} + 20} \rgroup$$

$$I_{20 \Omega} = 5 \lgroup \frac{40}{100} \rgroup = 2A$$

Portanto, a corrente que flui através do resistor de 20 Ω é 2 A.

A quantidade de energia recebida por uma carga é um parâmetro importante em aplicações elétricas e eletrônicas. Em circuitos DC, podemos representar a carga com um resistor com resistência de R _L ohms. Da mesma forma, em circuitos CA, podemos representá-lo com uma carga complexa com uma impedância de Z _L ohms.

Maximum power transfer theorem afirma que a fonte de tensão DC fornecerá potência máxima ao resistor de carga variável apenas quando a resistência da carga for igual à resistência da fonte.

Similarmente, Maximum power transfer theorem afirma que a fonte de tensão CA fornecerá potência máxima para a carga complexa variável apenas quando a impedância da carga for igual ao conjugado complexo da impedância da fonte.

Neste capítulo, vamos discutir sobre o teorema de transferência de potência máxima para circuitos CC.

Prova do Teorema de Transferência Máxima de Potência

Substituir qualquer rede linear terminal de duas ou circuito para o lado esquerdo da resistência de carga variável tendo resistência de R _L ohms com circuito equivalente de Thevenin de um. Sabemos que o circuito equivalente de Thevenin se assemelha a uma fonte de voltagem prática.

Este conceito é ilustrado nas figuras a seguir.

A quantidade de energia dissipada pelo resistor de carga é

$$P_L = I^2 R_L$$

Substituto $I = \frac{V_{Th}}{R_{Th} + R_L}$ na equação acima.

$$P_L = \lgroup \frac{V_{Th}}{(R_{Th} + R_L)} \rgroup ^2 R_L$$

$\Rightarrow P_L = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_L}{(R_{Th} + R_L)^2} \rbrace$ Equation 1

Condição para transferência máxima de energia

Para máximo ou mínimo, a primeira derivada será zero. Portanto, diferencie a Equação 1 em relação a R _L e torne-a igual a zero.

$$\frac{dP_L}{dR_L} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{(R_{Th} + R_L)^2 \times 1 - R_L \times 2(R_{Th} + R_L)}{(R_{Th} + R_L)^4} \rbrace = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} + R_L)^2 -2R_L(R_{Th} + R_L) = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} + R_L)(R_{Th} + R_L - 2R_L) = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} - R_L) = 0$$

$$\Rightarrow R_{Th} = R_L\:or\:R_L = R_{Th}$$

Portanto, o condition for maximum power dissipação através da carga é $R_L = R_{Th}$. Isso significa que, se o valor da resistência da carga for igual ao valor da resistência da fonte, isto é, a resistência de Thévenin, então a potência dissipada pela carga terá o valor máximo.

O valor da transferência máxima de potência

Substituto $R_L = R_{Th}\:\&\:P_L = P_{L, Max}$ na Equação 1.

$$P_{L, Max} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_{Th}}{(R_{Th} + R_{Th})^2} \rbrace$$

$$P_{L, Max} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_{Th}}{4 {R_{Th}}^2} \rbrace$$

$$\Rightarrow P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{Th}}$$

$$\Rightarrow P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{L}}, \: since \: R_{L} = R_{Th}$$

Portanto, o maximum amount of power transferido para a carga é

$$P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{L}} = \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{Th}}$$

Eficiência da transferência máxima de energia

Podemos calcular a eficiência da transferência de potência máxima, $\eta_{Max}$ usando a seguinte fórmula.

$\eta_{Max} = \frac{P_{L, Max}}{P_S}$ Equation 2

Onde,

• $P_{L, Max}$ é a quantidade máxima de energia transferida para a carga.

• $P_S$ é a quantidade de energia gerada pela fonte.

o amount of power generated pela fonte é

$$P_S = I^2 R_{Th} + I^2 R_L$$

$$\Rightarrow P_S = 2 I^2 R_{Th},\:since\:R_{L} = R_{Th}$$

• Substituto $I = \frac{V_{Th}}{2 R_{Th}}$ na equação acima.

$$P_S = 2\lgroup \frac{V_{Th}}{2 R_{Th}} \rgroup ^2 R_{Th}$$

$$\Rightarrow P_S = 2\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{4 {R_{Th}}^2} \rgroup R_{Th}$$

$$\Rightarrow P_S = \frac{{V_{Th}}^2}{2 R_{Th}}$$

• Substitua os valores de $P_{L, Max}$ e $P_S$ na Equação 2.

$$\eta_{Max} = \frac{\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{Th}} \rgroup}{\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{2R_{Th}}\rgroup}$$

$$\Rightarrow \eta_{Max} = \frac{1}{2}$$

Podemos representar a eficiência da transferência de potência máxima em termos de percentage como segue -

$$\% \eta_{Max} = \eta_{Max} \times 100\%$$

$$\Rightarrow \% \eta_{Max} = \lgroup \frac{1}{2} \rgroup \times 100\%$$

$$\Rightarrow \% \eta_{Max} = 50\%$$

Portanto, a eficiência da transferência de potência máxima é 50 %.

Exemplo

Encontre o maximum powerque pode ser entregue ao resistor de carga R _L do circuito mostrado na figura a seguir.

Step 1- No capítulo do Teorema de Thevenin, calculamos o circuito equivalente de Thevenin ao lado esquerdo dos terminais A e B. Podemos usar este circuito agora. Isso é mostrado na figura a seguir.

Aqui, a voltagem de Thevenin $V_{Th} = \frac{200}{3}V$ e a resistência de Thévenin $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$

Step 2- Substitua a parte do circuito, que fica do lado esquerdo dos terminais A e B do circuito fornecido pelo circuito equivalente de Thevenin acima. O diagrama de circuito resultante é mostrado na figura a seguir.

Step 3- Podemos encontrar a potência máxima que será fornecida ao resistor de carga, R _L , usando a seguinte fórmula.

$$P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{Th}}$$

Substituto $V_{Th} = \frac{200}{3}V$ e $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$ na fórmula acima.

$$P_{L, Max} = \frac{\lgroup \frac{200}{3} \rgroup ^ 2}{4 \lgroup \frac{40}{3}\rgroup } $$

$$P_{L, Max} = \frac{250}{3} W$$

Portanto, o maximum power que será entregue ao resistor de carga RL do circuito dado é $\mathbf {\frac{250}{3}}$ W

Se a saída de um circuito elétrico para uma entrada varia com relação ao tempo, é chamada de time response. O tempo de resposta consiste em duas partes.

• Resposta transitória
• Resposta de estado estacionário

Neste capítulo, primeiro vamos discutir sobre essas duas respostas e, em seguida, observar essas duas respostas em um circuito RL série, quando é excitado por uma fonte de tensão CC.

Resposta transitória

Depois de aplicar uma entrada a um circuito elétrico, a saída leva certo tempo para atingir o estado estacionário. Portanto, a saída estará em estado transiente até que vá para um estado estável. Portanto, a resposta do circuito elétrico durante o estado transiente é conhecida comotransient response.

A resposta transitória será zero para grandes valores de 't'. Idealmente, esse valor de 't' deve ser infinito. Mas, praticamentefive time constants são suficientes.

Presença ou Ausência de Transientes

Transientes ocorrem na resposta devido a sudden changenas fontes que são aplicadas ao circuito elétrico e / ou por ação de chaveamento. Existem duas ações de comutação possíveis. Essas são a chave de abertura e a chave de fechamento.

• o transient parte vai not presentna resposta de um circuito elétrico ou rede, se contiver apenas resistências. Porqueresistor é ter a capacidade de ajustar qualquer quantidade de tensão e corrente.

• o transient part occurs na resposta de um circuito elétrico ou rede devido à presença de elementos de armazenamento de energia, como inductor and capacitor. Porque eles não podem alterar a energia armazenada nesses elementos instantaneamente.

Comportamento do Indutor

Suponha que a ação de comutação ocorra em t = 0.Inductor currentnão muda instantaneamente, quando a ação de comutação ocorre. Isso significa que o valor da corrente do indutor logo após a ação de comutação será o mesmo que antes da ação de comutação.

Matematicamente, pode ser representado como

$$i_L (0^+) = i_L (0^-)$$

Comportamento do capacitor

o capacitor voltagenão muda instantaneamente de forma semelhante à corrente do indutor, quando ocorre a ação de comutação. Isso significa que o valor da tensão do capacitor logo após a ação de comutação será o mesmo que antes da ação de comutação.

Matematicamente, pode ser representado como

$$v_c (0^+) = v_c (0^-)$$

Resposta de estado estacionário

A parte da resposta de tempo que permanece mesmo depois que a resposta transitória tornou-se o valor zero para grandes valores de 't' é conhecida como steady state response. Isso significa que não haverá nenhuma parte transitória na resposta durante o estado estacionário.

Comportamento do Indutor

Se a fonte independente for conectada ao circuito elétrico ou rede tendo um ou mais indutores e resistores (opcional) por um longo tempo, então esse circuito elétrico ou rede é dito estar em estado estacionário. Portanto, a energia armazenada no (s) indutor (es) desse circuito elétrico é de máxima e constante.

Matematicamente, pode ser representado como

$W_L = \frac{L {i_L}^2}{2} = $ Máximo e constante

$\Rightarrow i_L = $ Máximo e constante

Portanto, o indutor atua como um constant current source em estado estacionário.

A tensão no indutor será

$$V_L = L \frac{di_{L}}{dt} = 0V$$

Então, o indutor atua como um short circuit em estado estacionário.

Comportamento do capacitor

Se a fonte independente for conectada ao circuito elétrico ou rede tendo um ou mais capacitores e resistores (opcional) por um longo tempo, então esse circuito elétrico ou rede é dito estar em estado estacionário. Portanto, a energia armazenada no (s) capacitor (es) desse circuito elétrico é de máxima e constante.

Matematicamente, pode ser representado como

$W_c = \frac{C{v_c}^2}{2} = $ Máximo e constante

$\Rightarrow v_c = $Máximo e constante

Portanto, o capacitor atua como um constant voltage source em estado estacionário.

A corrente que flui através do capacitor será

$$i_c = C\frac{dv_c}{dt} = 0A$$

Então, o capacitor atua como um open circuit em estado estacionário.

Encontrando a Resposta do Circuito Série RL

Considere o seguinte series RL circuit diagrama.

No circuito acima, o switch foi mantido openaté t = 0 e foi fechado em t = 0. Assim, a fonte de tensão DC com V volts não está conectada ao circuito em série RL até este momento. Portanto, existeno initial current flui através do indutor.

O diagrama de circuito, quando o switch é em closed posição é mostrada na figura a seguir.

Agora, o atual i flui em todo o circuito, uma vez que a fonte de tensão DC tendo V volts está conectado ao circuito série RL.

Agora, aplique KVL em torno do loop.

$$V = Ri + L \frac{di}{dt}$$

$\frac{di}{dt} + \lgroup \frac{R}{L} \rgroup i = \frac{V}{L}$Equation 1

A equação acima é uma equação diferencial de primeira ordem e está na forma de

$\frac{dy}{dt} + Py = Q$Equation 2

De comparing Equação 1 e Equação 2, obteremos as seguintes relações.

$$x = t$$

$$y = i$$

$$P = \frac{R}{L}$$

$$Q = \frac{V}{L}$$

o solution da Equação 2 será

$ye^{\int p dx} = \int Q e^{\int p dx} dx + k$Equation 3

Onde, k é a constante.

Substitua os valores de x, y, P e Q na Equação 3.

$ie^{\int {\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}dt} = \int (\frac{V}{L}) \lgroup e^{\int {\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}dt} \rgroup dt + k$

$\Rightarrow ie^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} = \frac{V}{L} \int e^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} dt + k$

$\Rightarrow ie^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} = \frac{V}{L} \lbrace \frac{e^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}t}{\frac{R}{L}} \rbrace + k$

$\Rightarrow i = \frac{V}{R} + k e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}t$Equation 4

Sabemos que não há corrente inicial no circuito. Portanto, substitua, t = 0 e = 0 na Equação 4 para encontrar o valor da constante k.

$$0 = \frac{V}{R} + ke^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup(0)}$$

$$0 = \frac{V}{R} + k(1)$$

$$k = - \frac{V}{R}$$

Substitua, o valor de k na Equação 4.

$$i = \frac{V}{R} + \lgroup - \frac{V}{R} \rgroup e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$$

$$i = \frac{V}{R} - \frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$$

Portanto, o current fluindo através do circuito é

$i = - \frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} + \frac{V}{R}$Equation 5

Portanto, a resposta do circuito em série RL, quando excitado por uma fonte de tensão CC, possui os dois termos a seguir.

• O primeiro termo $-\frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$ corresponde com o transient response.

• O segundo mandato $\frac{V}{R}$ corresponde com o steady state response. Essas duas respostas são mostradas na figura a seguir.

Podemos reescrever a Equação 5 da seguinte forma -

$i = \frac{V}{R} \lgroup 1 - e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} \rgroup$

$\Rightarrow i = \frac{V}{R} \lgroup 1 - e^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} \rgroup$Equation 6

Onde, τ é o time constant e seu valor é igual a $\frac{L}{R}$.

A Equação 5 e a Equação 6 são iguais. Mas, podemos compreender facilmente a forma de onda acima da corrente fluindo através do circuito da Equação 6, substituindo alguns valores det como 0, τ, 2τ, 5τ, etc.

Na forma de onda da corrente fluindo através do circuito acima, a resposta transitória apresentará até cinco constantes de tempo a partir de zero, enquanto a resposta em regime permanente apresentará a partir de cinco constantes de tempo.

No capítulo anterior, discutimos a resposta transiente e a resposta de estado estacionário do circuito CC. Neste capítulo, vamos discutir oresponse of AC circuit. Os conceitos de resposta transiente e resposta de estado estacionário, que discutimos no capítulo anterior, também serão úteis aqui.

Encontrando a Resposta do Circuito Série RL

Considere o seguinte series RL circuit diagrama.

No circuito acima, o switch foi mantido openaté t = 0 e foi fechado em t = 0 . Portanto, a fonte de tensão CA com uma tensão de pico de V _m volts não está conectada ao circuito em série RL até este momento. Portanto, existeno initial current flui através do indutor.

O diagrama de circuito, quando o switch é em closed posição, é mostrado na figura a seguir.

Agora, a corrente i (t) flui em todo o circuito, uma vez que a fonte de tensão CA com uma tensão de pico de V _m volts está conectada ao circuito em série RL.

Sabemos que a corrente i (t) fluindo através do circuito acima terá dois termos, um que representa a parte transitória e outro termo representa o estado estacionário.

Matematicamente, pode ser representado como

$i(t) = i_{Tr}(t) + i_{ss}(t)$Equation 1

Onde,

• $i_{Tr}(t)$ é a resposta transitória da corrente fluindo através do circuito.

• $i_{ss}(t)$ é a resposta em regime permanente da corrente fluindo através do circuito.

No capítulo anterior, obtivemos a resposta transitória da corrente fluindo através do circuito da série RL. Está na forma de$Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup}$.

Substituto $i_{Tr}(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup}$ na Equação 1.

$i(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + i_{ss}(t)$Equation 2

Cálculo da corrente em estado estacionário

Se um sinal senoidal é aplicado como entrada a um circuito elétrico linear, ele produz uma saída de estado estacionário, que também é um sinusoidal signal. Os sinais senoidais de entrada e saída terão a mesma frequência, mas diferentes amplitudes e ângulos de fase.

Podemos calcular a resposta de estado estacionário de um circuito elétrico, quando ele é excitado por uma fonte de tensão senoidal usando Laplace Transform approach.

O diagrama de circuito do domínio s, quando o switch é em closed posição, é mostrado na figura a seguir.

No circuito acima, todas as quantidades e parâmetros são representados em s-domain. Essas são as transformadas de Laplace de parâmetros e quantidades no domínio do tempo.

o Transfer function do circuito acima é

$$H(s) = \frac{I(s)}{V(s)}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{Z(s)}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{R + sL}$$

Substituto $s = j \omega$ na equação acima.

$$H(j \omega) = \frac{1}{R + j \omega L}$$

Magnitude of $\mathbf{\mathit{H(j \omega)}}$ é

$$|H(j \omega)| = \frac{1}{\sqrt{R^2 + {\omega}^2}L^2}$$

Phase angle of $\mathbf{\mathit{H(j \omega)}}$ é

$$\angle H(j \omega) = -tan^{-1} \lgroup \frac{\omega L}{R} \rgroup$$

Vamos pegar o steady state current $i_{ss}(t)$ seguindo as duas etapas a seguir -

• Multiplique a tensão de pico da tensão sinusoidal de entrada e a magnitude de $H(j \omega)$.

• Adicione os ângulos de fase da tensão sinusoidal de entrada e $H(j \omega)$.

o steady state current $i_{ss}(t)$ será

$$i_{ss}(t) = \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

Substitua o valor de $i_{ss}(t)$ na Equação 2.

$i(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$Equation 3

Sabemos que não há corrente inicial no circuito. Portanto, substitua t = 0 & i (t) = 0 na Equação 3 a fim de encontrar o valor da constante, K.

$$0 = Ke^{-\lgroup \frac{0}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega (0) + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

$$\Rightarrow 0 = K + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

$$\Rightarrow K = - \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

Substitua o valor de K na Equação 3.

$i(t) = - \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup e^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$Equation 4

A Equação 4 representa a corrente que flui através do circuito em série RL, quando é excitada por uma fonte de tensão senoidal. É ter dois mandatos. O primeiro e o segundo termos representam a resposta transitória e a resposta de estado estacionário da corrente, respectivamente.

Podemos neglect the first termda Equação 4 porque seu valor será muito menor que um. Então, a corrente resultante fluindo através do circuito será

$$i(t) = \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

Contém apenas o steady state term. Portanto, podemos encontrar apenas a resposta de estado estacionário dos circuitos CA e negligenciar a resposta transitória dela.

Resonanceocorre em circuitos elétricos devido à presença de elementos de armazenamento de energia como indutor e capacitor. É o conceito fundamental com base no qual os receptores de rádio e TV são projetados de tal forma que devem ser capazes de selecionar apenas a freqüência da estação desejada.

tem two typesde ressonâncias, nomeadamente ressonância em série e ressonância paralela. Eles são classificados com base nos elementos da rede que estão conectados em série ou em paralelo. Neste capítulo, vamos discutir sobre a ressonância em série.

Diagrama de circuito de ressonância em série

Se a ressonância ocorre no circuito RLC em série, é chamada de Series Resonance. Considere o seguinteseries RLC circuit, que é representado no domínio fasorial.

Aqui, os elementos passivos como resistor, indutor e capacitor são conectados em série. Esta combinação inteira está emseries com a fonte de tensão sinusoidal de entrada.

Aplique KVL em torno do loop.

$$V - V_R - V_L - V_C = 0$$

$$\Rightarrow V - IR - I(j X_L) - I(-j X_C) = 0$$

$$\Rightarrow V = IR + I(j X_L) + I(-j X_C)$$

$\Rightarrow V = I[R + j(X_L - X_C)]$Equation 1

A equação acima está na forma de V = IZ.

Portanto, o impedance Z da série RLC circuito será

$$Z = R + j(X_L - X_C)$$

Parâmetros e quantidades elétricas na ressonância

Agora, vamos derivar os valores dos parâmetros e grandezas elétricas na ressonância do circuito RLC em série, um por um.

Frequência de ressonância

A frequência em que ocorre a ressonância é chamada de resonant frequency f_r. Em série ocorre a ressonância do circuito RLC, quando o termo imaginário da impedância Z é zero, ou seja, o valor de$X_L - X_C$ deve ser igual a zero.

$$\Rightarrow X_L = X_C$$

Substituto $X_L = 2 \pi f L$ e $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ na equação acima.

$$2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$$

$$\Rightarrow f^2 = \frac{1}{(2 \pi)^2 L C}$$

$$\Rightarrow f = \frac{1}{(2 \pi) \sqrt{LC}}$$

Portanto, o resonant frequency f_r da série RLC circuito é

$$f_r = \frac{1}{(2 \pi) \sqrt{LC}}$$

Onde, L é a indutância de um indutor e C é a capacitância de um capacitor.

o resonant frequency f_r do circuito RLC série depende apenas da indutância L e capacitância C. Mas, é independente de resistênciaR.

Impedância

Nós temos o impedance Z do circuito RLC série como

$$Z = R + j(X_L - X_C)$$

Substituto $X_L = X_C$ na equação acima.

$$Z = R + j(X_C - X_C)$$

$$\Rightarrow Z = R + j(0)$$

$$\Rightarrow Z = R$$

Na ressonância, o impedance Z da série RLC circuito é igual ao valor da resistência R, ou seja, Z = R.

Corrente fluindo através do circuito

Substituto $X_L - X_C = 0$ na Equação 1.

$$V = I[R + j(0)]$$

$$\Rightarrow V = IR$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$$

Portanto, current fluindo através do circuito RLC série em ressonância é $\mathbf{\mathit{I = \frac{V}{R}}}$.

Na ressonância, a impedância do circuito RLC em série atinge o valor mínimo. Portanto, omaximum current flui através deste circuito em ressonância.

Tensão no resistor

A tensão no resistor é

$$V_R = IR$$

Substitua o valor de I na equação acima.

$$V_R = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup R$$

$$\Rightarrow V_R = V$$

Portanto, o voltage across resistor em ressonância é V_R = V.

Tensão através do indutor

A tensão no indutor é

$$V_L = I(jX_L)$$

Substitua o valor de I na equação acima.

$$V_L = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup (jX_L)$$

$$\Rightarrow V_L = j \lgroup \frac{X_L}{R} \rgroup V$$

$$\Rightarrow V_L = j QV$$

Portanto, o voltage across inductor em ressonância é $V_L = j QV$.

Então o magnitude de tensão através do indutor na ressonância será

$$|V_L| = QV$$

Onde Q é o Quality factor e seu valor é igual a $\frac{X_L}{R}$

Tensão através do capacitor

A tensão no capacitor é

$$V_C = I(-j X_C)$$

Substitua o valor de I na equação acima.

$$V_C = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup (-j X_C)$$

$$\Rightarrow V_C = -j \lgroup \frac{X_C}{R} \rgroup V$$

$$\Rightarrow V_C = -jQV$$

Portanto, o voltage across capacitor em ressonância é $\mathbf{\mathit{V_C = -jQV}}$.

Então o magnitude de tensão através do capacitor na ressonância será

$$|V_C| = QV$$

Onde Q é o Quality factor e seu valor é igual a $\frac{X_{C}}{R}$

Note - O circuito RLC de ressonância em série é chamado de voltage magnificationcircuito, porque a magnitude da tensão através do indutor e o capacitor é igual a Q vezes a entrada de tensão sinusoidal V .

No capítulo anterior, discutimos a importância da ressonância em série. Agora, vamos discutir a ressonância paralela em circuitos RLC.

Diagrama de Circuito de Ressonância Paralela

Se a ressonância ocorre em circuito RLC paralelo, é chamada de Parallel Resonance. Considere o seguinteparallel RLC circuit, que é representado no domínio fasorial.

Aqui, os elementos passivos, como resistor, indutor e capacitor são conectados em paralelo. Esta combinação inteira está emparallel com a fonte de corrente senoidal de entrada.

Escreva nodal equation no nó P.

$$- I + I_R + I_L + I_C = 0$$

$$\Rightarrow - I + \frac{V}{R} + \frac{V}{j X_L} + \frac{V}{-j X_C} = 0$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R} - \frac{jV}{X_L} + \frac{jV}{X_C}$$

$\Rightarrow I = V[\frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup]$Equation 1

A equação acima está na forma de I = VY.

Portanto, o admittance Y do circuito RLC paralelo será

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup$$

Parâmetros e quantidades elétricas na ressonância

Agora, vamos derivar os valores dos parâmetros e grandezas elétricas na ressonância do circuito RLC paralelo, um por um.

Frequência de ressonância

Nós sabemos que o resonant frequency, f_ré a frequência com que ocorre a ressonância. Em paralelo ocorre a ressonância do circuito RLC, quando o termo imaginário de admitância, Y é zero. ou seja, o valor de$\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L}$ deve ser igual a zero

$$\Rightarrow \frac{1}{X_C} = \frac{1}{X_L}$$

$$\Rightarrow X_L = X_C$$

A condição de ressonância acima é a mesma do circuito RLC em série. Então oresonant frequency, f_r será o mesmo no circuito RLC em série e no circuito RLC paralelo.

Portanto, o resonant frequency, f_r do circuito RLC paralelo é

$$f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$$

Onde,

• L é a indutância de um indutor.
• C é a capacitância de um capacitor.

o resonant frequency, f_r do circuito RLC paralelo depende apenas da indutância L e capacitância C. Mas, é independente de resistênciaR.

Admissão

Nós temos o admittance Y de circuito RLC paralelo como

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup$$

Substituto, $X_L = X_C$ na equação acima.

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_C} \rgroup$$

$$\Rightarrow Y = \frac{1}{R} + j(0)$$

$$\Rightarrow Y = \frac{1}{R}$$

Na ressonância, o admittance, Y do circuito RLC paralelo é igual ao recíproco da resistência, R. ie, $\mathbf{\mathit{Y = \frac{1}{R}}}$

Tensão em cada elemento

Substituto, $\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} = 0$ na Equação 1

$$I = V [\frac{1}{R} + j(0)]$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$$

$$\Rightarrow V = IR$$

Portanto, o voltage em todos os elementos do circuito RLC paralelo em ressonância é V = IR.

Na ressonância, a admitância do circuito RLC paralelo atinge o valor mínimo. Conseqüentemente,maximum voltage está presente em cada elemento deste circuito na ressonância.

Corrente fluindo através do resistor

A corrente fluindo através do resistor é

$$I_R = \frac{V}{R}$$

Substitua o valor de V na equação acima.

$$I_R = \frac{IR}{R}$$

$$\Rightarrow I_R = I$$

Portanto, o current flowing through resistor em ressonância é $\mathbf{\mathit{I_R = I}}$.

Corrente fluindo através do indutor

A corrente fluindo através do indutor é

$$I_L = \frac{V}{j X_L}$$

Substitua o valor de V na equação acima.

$$I_L = \frac{IR}{j X_L}$$

$$\Rightarrow I_L = -j \lgroup \frac{R}{X_L} \rgroup I$$

$$\Rightarrow I_L = -jQI$$

Portanto, o current flowing through inductor em ressonância é $I_L = -jQI$.

Então o magnitude da corrente fluindo através do indutor na ressonância será

$$|I_L| = QI$$

Onde, Q é o Quality factor e seu valor é igual a $\frac{R}{X_L}$

Corrente fluindo através do capacitor

A corrente fluindo através do capacitor é

$$I_C = \frac{V}{-j X_C}$$

Substitua o valor de V na equação acima.

$$I_C = \frac{IR}{-j X_C}$$

$$\Rightarrow I_C = j \lgroup \frac{R}{X_C} \rgroup I$$

$$\Rightarrow I_C = jQI$$

Portanto, o current flowing through capacitor em ressonância é $I_C = jQI$

Então o magnitude da corrente fluindo através do capacitor na ressonância será

$$|I_C| = QI$$

Onde, Q é o Quality factor e seu valor é igual a $\frac{R}{X_C}$

Note - O circuito RLC de ressonância paralela é chamado de current magnificationo circuito. Porque, a magnitude da corrente que flui através do indutor e capacitor é igual a Q vezes a entrada de corrente sinusoidal I .

Um circuito elétrico é considerado um coupled circuit, quando existe uma indutância mútua entre as bobinas (ou indutores) presentes naquele circuito. A bobina nada mais é do que a combinação em série de resistor e indutor. Na ausência de resistor, a bobina se torna indutora. Às vezes, os termos bobina e indutor são usados ​​alternadamente.

Neste capítulo, primeiro vamos discutir sobre a convenção de pontos e, em seguida, discutiremos sobre a classificação de acoplamento.

Convenção Dot

A convenção de pontos é uma técnica que fornece os detalhes sobre a polaridade da tensão no terminal pontilhado. Esta informação é útil ao escrever equações KVL.

• Se a corrente entrar no terminal pontilhado de uma bobina (ou indutor), então ela induz uma tensão em outra bobina (ou indutor), que está tendo positive polarity no terminal pontilhado.

• Se a corrente sai do terminal pontilhado de uma bobina (ou indutor), ela induz uma tensão em outra bobina (ou indutor), que está tendo negative polarity no terminal pontilhado.

Classificação de acoplamento

Podemos classificar coupling nas duas categorias a seguir.

• Acoplamento Elétrico
• Acoplamento Magnético

Agora, vamos discutir sobre cada tipo de acoplamento, um por um.

Acoplamento Elétrico

O acoplamento elétrico ocorre, quando existe um physical connectionentre duas bobinas (ou indutores). Este acoplamento pode ser do tipo auxiliar ou oposto. Baseia-se em se a corrente entra no terminal pontilhado ou sai do terminal pontilhado.

Acoplamento do tipo auxiliar

Considere o seguinte circuito elétrico, que tem dois indutores conectados em series.

Uma vez que os dois indutores estão conectados em série, o same current Iflua através de ambos os indutores tendo auto-indutâncias L ₁ e L ₂ .

Neste caso, a corrente, eu entro no terminal pontilhado de cada indutor. Assim, a tensão induzida em cada indutor terápositive polarity no terminal pontilhado devido à corrente fluindo em outra bobina.

Aplique KVL em torno do circuito da rede ou circuito elétrico acima.

$$V - L_1 \frac{dI}{dt} - M \frac{dI}{dt} - L_2 \frac{dI}{dt} - M \frac{dI}{dt} = 0$$

$$V = L_1 \frac{dI}{dt} + L_2 \frac{dI}{dt} + 2M \frac{dI}{dt}$$

$$V = (L_1 + L_2 + 2M)\frac{dI}{dt}$$

A equação acima está na forma de $\mathbf{\mathit{V = L_{Eq} \frac{dI}{dt}}}$

Portanto, o equivalent inductance da combinação em série de indutores mostrada na figura acima é

$$L_{Eq} = L_1 + L_2 + 2M$$

Neste caso, a indutância equivalente foi aumentada em 2M. Portanto, o circuito elétrico acima é um exemplo deelectrical acoplamento que é de aiding tipo.

Acoplamento de tipo oposto

Considere o seguinte circuito elétrico, que tem dois indutores conectados em series.

No circuito acima, a corrente I entra no terminal pontilhado do indutor tendo uma indutância de L₁. Portanto, ele induz uma tensão no outro indutor com uma indutância deL₂. Então,positive polarity da tensão induzida está presente no terminal pontilhado deste indutor.

No circuito acima, a corrente I folhas do terminal pontilhado do indutor com uma indutância de L₂. Portanto, ele induz uma tensão no outro indutor com uma indutância deL₁. Então,negative polarity da tensão induzida está presente no terminal pontilhado deste indutor.

Aplique KVL em torno do circuito da rede ou circuito elétrico acima.

$$V - L_1 \frac{dI}{dt} + M \frac{dI}{dt} - L_2 \frac{dI}{dt} + M \frac{dI}{dt} = 0$$

$$\Rightarrow V = L_1 \frac{dI}{dt} + L_2 \frac{dI}{dt} - 2M \frac{dI}{dt}$$

$$\Rightarrow V = (L_1 + L_2 - 2M)\frac{dI}{dt}$$

A equação acima está na forma de $\mathbf{\mathit{V = L_{Eq} \frac{dI}{dt}}}$

Portanto, o equivalent inductance da combinação em série de indutores mostrada na figura acima é

$$L_{Eq} = L_1 + L_2 - 2M$$

Neste caso, a indutância equivalente foi diminuída em 2M. Portanto, o circuito elétrico acima é um exemplo deelectrical acoplamento que é de opposing tipo.

Acoplamento Magnético

O acoplamento magnético ocorre, quando há no physical connectionentre duas bobinas (ou indutores). Este acoplamento pode ser do tipo auxiliar ou oposto. Baseia-se em se a corrente entra no terminal pontilhado ou sai do terminal pontilhado.

Acoplamento do tipo auxiliar

Considere o seguinte equivalente elétrico circuit of transformer. Ele tem duas bobinas e essas são chamadas de bobinas primárias e secundárias.

As correntes que fluem pelas bobinas primária e secundária são i ₁ e i _2, respectivamente. Neste caso, essas correntesenterno terminal pontilhado da respectiva bobina. Portanto, a tensão induzida em cada bobina terá polaridade positiva no terminal pontilhado devido à corrente que flui em outra bobina.

Aplique KVL em torno da bobina primária.

$$v_1 - L_1 \frac{d i_1}{dt} - M \frac{d i_2}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_1 = L_1 \frac{d i_1}{dt} + M \frac{d i_2}{dt}$Equation 1

Aplique KVL em torno da bobina secundária.

$$v_2 - L_2 \frac{d i_2}{dt} - M \frac{d i_1}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_2 = L_2 \frac{d i_2}{dt} + M \frac{d i_1}{dt}$Equation 2

Na Equação 1 e na Equação 2, a tensão auto-induzida e a tensão induzida mutuamente têm a mesma polaridade. Portanto, o circuito do transformador acima é um exemplo demagnetic coupling, que é de aiding tipo.

Acoplamento de tipo oposto

Considere o seguinte equivalente elétrico circuit of transformer.

As correntes que fluem pelas bobinas primária e secundária são i ₁ e i _2, respectivamente. Neste caso, a corrente, i ₁ entra no terminal pontilhado da bobina primária. Conseqüentemente, ele induz uma tensão na bobina secundária. Então,positive polarity da tensão induzida está presente no terminal pontilhado desta bobina secundária.

No circuito acima, a corrente i ₂ sai do terminal pontilhado da bobina secundária. Conseqüentemente, ele induz uma tensão na bobina primária. Então,negative polarity da tensão induzida está presente no terminal pontilhado desta bobina primária.

Aplique KVL em torno da bobina primária.

$$v_1 - L_1 \frac{d i_1}{dt} + M \frac{d i_2}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_1 = L_1 \frac{d i_1}{dt} - M \frac{d i_2}{dt}$Equation 3

Aplique KVL em torno da bobina secundária.

$$v_2 - L_2 \frac{d i_2}{dt} + M \frac{d i_1}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_2 = L_2 \frac{d i_2}{dt} - M \frac{d i_1}{dt}$Equation 4

Na Equação 3 e na Equação 4, a voltagem auto-induzida e a voltagem induzida mutuamente têm polaridade oposta. Portanto, o circuito do transformador acima é um exemplo demagnetic coupling, que é de opposing tipo.

Em geral, é fácil analisar qualquer rede elétrica, se ela for representada com um modelo equivalente, que fornece a relação entre as variáveis ​​de entrada e saída. Para isso, podemos usartwo port networkrepresentações. Como o nome sugere, duas redes de portas contêm duas portas. Entre as quais, uma porta é usada como porta de entrada e a outra porta é usada como porta de saída. A primeira e a segunda portas são chamadas de porta1 e porta2, respectivamente.

One port networké uma rede elétrica de dois terminais em que a corrente entra por um terminal e sai por outro terminal. Resistores, indutores e capacitores são exemplos de uma rede de portas, pois cada um possui dois terminais. Uma representação da rede de portas é mostrada na figura a seguir.

Aqui, o par de terminais, 1 e 1 'representa uma porta. Nesse caso, estamos tendo apenas uma porta, pois é uma rede de uma porta.

Similarmente, two port networké um par de rede elétrica de dois terminais em que a corrente entra por um terminal e sai por outro terminal de cada porta. A representação da rede de duas portas é mostrada na figura a seguir.

Aqui, um par de terminais, 1 e 1 'representa uma porta, que é chamada de port1 e o outro par de terminais, 2 e 2 'representa outra porta, que é chamada de port2.

tem four variablesV ₁ , V ₂ , I ₁ e I ₂ em uma rede de duas portas, conforme mostrado na figura. Dentre as quais, podemos escolher duas variáveis ​​como independentes e outras duas variáveis ​​como dependentes. Portanto, obteremos seis pares possíveis de equações. Essas equações representam as variáveis ​​dependentes em termos de variáveis ​​independentes. Os coeficientes das variáveis ​​independentes são chamados deparameters. Portanto, cada par de equações fornecerá um conjunto de quatro parâmetros.

Dois parâmetros de rede de portas

Os parâmetros de uma rede de duas portas são chamados de two port network parametersou simplesmente, dois parâmetros de porta. A seguir estão os tipos de parâmetros de rede de duas portas.

• Parâmetros Z
• Parâmetros Y
• Parâmetros T
• Parâmetros T '
• h-parameters
• g-parameters

Agora, vamos discutir sobre esses dois parâmetros de rede de portas, um por um.

Parâmetros Z

Obteremos o seguinte conjunto de duas equações considerando as variáveis ​​V ₁ e V ₂ como dependentes e I ₁ e I ₂ como independentes. Os coeficientes das variáveis ​​independentes, I ₁ e I ₂ são chamados deZ parameters.

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

o Z parameters está

$$Z_{11} = \frac{V_1}{I_1}, \: when \: I_2 = 0$$

$$Z_{12} = \frac{V_1}{I_2}, \: when \: I_1 = 0$$

$$Z_{21} = \frac{V_2}{I_1}, \: when \: I_2 = 0$$

$$Z_{22} = \frac{V_2}{I_2}, \: when \: I_1 = 0$$

Os parâmetros Z são chamados de impedance parametersporque essas são simplesmente as relações de tensões e correntes. As unidades dos parâmetros Z são Ohm (Ω).

Podemos calcular dois parâmetros Z, Z ₁₁ e Z ₂₁ , abrindo o circuito da porta 2. Da mesma forma, podemos calcular os outros dois parâmetros Z, Z ₁₂ e Z ₂₂ , abrindo o circuito da porta 1. Portanto, os parâmetros Z também são chamados deopen-circuit impedance parameters.

Parâmetros Y

Obteremos o seguinte conjunto de duas equações considerando as variáveis ​​I ₁ e I ₂ como dependentes e V ₁ e V ₂ como independentes. Os coeficientes das variáveis ​​independentes, V ₁ e V ₂ são chamados deY parameters.

$$I_1 = Y_{11} V_1 + Y_{12} V_2$$

$$I_2 = Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2$$

o Y parameters está

$$Y_{11} = \frac{I_1}{V_1}, \: when \: V_2 = 0$$

$$Y_{12} = \frac{I_1}{V_2}, \: when \: V_1 = 0$$

$$Y_{21} = \frac{I_2}{V_1}, \: when \: V_2 = 0$$

$$Y_{22} = \frac{I_2}{V_2}, \: when \: V_1 = 0$$

Os parâmetros Y são chamados de admittance parametersporque essas são simplesmente as relações entre correntes e tensões. As unidades dos parâmetros Y são mho.

Podemos calcular dois parâmetros Y, Y ₁₁ e Y ₂₁ , fazendo um curto-circuito na porta2. Da mesma forma, podemos calcular os outros dois parâmetros Y, Y ₁₂ e Y ₂₂ , fazendo um curto-circuito na porta 1. Portanto, os parâmetros Y também são chamados deshort-circuit admittance parameters.

Parâmetros T

Obteremos o seguinte conjunto de duas equações considerando as variáveis ​​V ₁ e I ₁ como dependentes e V ₂ e I ₂ como independentes. Os coeficientes de V ₂ e -I ₂ são chamados deT parameters.

$$V_1 = A V_2 - B I_2$$

$$I_1 = C V_2 - D I_2$$

o T parameters está

$$A = \frac{V_1}{V_2}, \: when \: I_2 = 0$$

$$B = -\frac{V_1}{I_2}, \: when \: V_2 = 0$$

$$C = \frac{I_1}{V_2}, \: when \: I_2 = 0$$

$$D = -\frac{I_1}{I_2}, \: when \: V_2 = 0$$

Os parâmetros T são chamados de parâmetros de transmissão ou ABCD parameters. Os parâmetros, A e D, não têm unidades, visto que são menores. As unidades dos parâmetros, B e C são ohm e mho, respectivamente.

Podemos calcular dois parâmetros, A e C, fazendo o circuito aberto da porta2. Da mesma forma, podemos calcular os outros dois parâmetros, B e D, fazendo um curto-circuito na porta2.

Parâmetros T '

Obteremos o seguinte conjunto de duas equações considerando as variáveis ​​V ₂ e I ₂ como dependentes e V ₁ e I ₁ como independentes. Os coeficientes de V ₁ e -I ₁ são chamados deT’ parameters.

$$V_2 = A' V_1 - B' I_1$$

$$I_2 = C' V_1 - D' I_1$$

o T’ parameters está

$$A' = \frac{V_2}{V_1}, \: when\: I_1 = 0$$

$$B' = -\frac{V_2}{I_1}, \: when\: V_1 = 0$$

$$C' = \frac{I_2}{V_1}, \: when\: I_1 = 0$$

$$D' = -\frac{I_2}{I_1}, \: when \: V_1 = 0$$

Os parâmetros T 'são chamados de parâmetros de transmissão inversa ou A’B’C’D’ parameters. Os parâmetros A 'e D' não possuem unidades, pois são menores. As unidades dos parâmetros, B 'e C', são Ohm e Mho respectivamente.

Podemos calcular dois parâmetros, A 'e C', fazendo um circuito aberto da porta1. Da mesma forma, podemos calcular os outros dois parâmetros, B 'e D', fazendo um curto-circuito na porta1.

parâmetros h

Obteremos o seguinte conjunto de duas equações considerando as variáveis ​​V ₁ e I ₂ como dependentes e I ₁ e V ₂ como independentes. Os coeficientes das variáveis ​​independentes, I ₁ e V ₂ , são chamados deh-parameters.

$$V_1 = h_{11} I_1 + h_{12} V_2$$

$$I_2 = h_{21} I_1 + h_{22} V_2$$

Os parâmetros h são

$$h_{11} = \frac{V_1}{I_1},\: when\: V_2 = 0$$

$$h_{12} = \frac{V_1}{V_2},\: when\: I_1 = 0$$

$$h_{21} = \frac{I_2}{I_1},\: when\: V_2 = 0$$

$$h_{22} = \frac{I_2}{V_2},\: when\: I_1 = 0$$

parâmetros h são chamados de hybrid parameters. Os parâmetros, h ₁₂ e h ₂₁ , não têm unidades, uma vez que não têm dimensões. As unidades dos parâmetros, h ₁₁ e h ₂₂ , são Ohm e Mho, respectivamente.

Podemos calcular dois parâmetros, h ₁₁ e h ₂₁ , fazendo um curto-circuito na porta2. Da mesma forma, podemos calcular os outros dois parâmetros, h ₁₂ e h ₂₂ , abrindo o circuito da porta1.

Os parâmetros h ou parâmetros híbridos são úteis em circuitos de modelagem de transistor (redes).

parâmetros g

Obteremos o seguinte conjunto de duas equações considerando as variáveis ​​I ₁ e V ₂ como dependentes e V ₁ e I ₂ como independentes. Os coeficientes das variáveis ​​independentes, V ₁ e I ₂ são chamados deg-parameters.

$$I_1 = g_{11} V_1 + g_{12} I_2$$

$$V_2 = g_{21} V_1 + g_{22} I_2$$

o g-parameters está

$$g_{11} = \frac{I_1}{V_1},\: when\: I_2 = 0$$

$$g_{12} = \frac{I_1}{I_2},\: when\: V_1 = 0$$

$$g_{21} = \frac{V_2}{V_1},\: when\: I_2 = 0$$

$$g_{22} = \frac{V_2}{I_2},\: when \: V_1 = 0$$

parâmetros g são chamados de inverse hybrid parameters. Os parâmetros g ₁₂ e g ₂₁ não têm unidades, visto que são menores. As unidades dos parâmetros, g ₁₁ e g ₂₂ são mho e ohm, respectivamente.

Podemos calcular dois parâmetros, g ₁₁ eg ₂₁ fazendo o circuito aberto da porta2. Da mesma forma, podemos calcular os outros dois parâmetros, g ₁₂ e g ₂₂ , fazendo um curto-circuito na porta1.

No capítulo anterior, discutimos sobre seis tipos de parâmetros de rede de duas portas. Agora, vamos converter um conjunto de parâmetros de rede de duas portas em outro conjunto de parâmetros de rede de duas portas. Esta conversão é conhecida como conversão de dois parâmetros de rede de portas ou simplesmente,two-port parameters conversion.

Às vezes, é fácil encontrar facilmente um conjunto de parâmetros de uma determinada rede elétrica. Nessas situações, podemos converter esses parâmetros no conjunto de parâmetros necessário em vez de calcular esses parâmetros diretamente com mais dificuldade.

Agora, vamos discutir sobre algumas das conversões de parâmetro de duas portas.

Procedimento de conversão de dois parâmetros de porta

Siga estas etapas, enquanto converte um conjunto de parâmetros de rede de duas portas no outro conjunto de parâmetros de rede de duas portas.

• Step 1 - Escreva as equações de uma rede de duas portas em termos de parâmetros desejados.

• Step 2 - Escreva as equações de uma rede de duas portas em termos de parâmetros dados.

• Step 3 - Reorganize as equações da Etapa 2 de forma que sejam semelhantes às equações da Etapa 1.

• Step 4- Equacionando as equações semelhantes da Etapa 1 e Etapa 3, obteremos os parâmetros desejados em termos de parâmetros dados. Podemos representar esses parâmetros em forma de matriz.

Parâmetros Z para parâmetros Y

Aqui, temos que representar os parâmetros Y em termos de parâmetros Z. Portanto, neste caso, os parâmetros Y são os parâmetros desejados e os parâmetros Z são os parâmetros dados.

Step 1 - Sabemos que o seguinte conjunto de duas equações, que representa uma rede de duas portas em termos de Y parameters.

$$I_1 = Y_{11} V_1 + Y_{12} V_2$$

$$I_2 = Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2$$

Podemos representar as duas equações acima em matrix formulário como

$\begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix}$Equation 1

Step 2 - Sabemos que o seguinte conjunto de duas equações, que representa uma rede de duas portas em termos de Z parameters.

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

Podemos representar as duas equações acima em matrix formulário como

$$\begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix}$$

Step 3 - Podemos modificá-lo como

$\begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix}$Equation 2

Step 4 - Equacionando a Equação 1 e a Equação 2, obteremos

$$\begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix}^{-1} $$

$$\Rightarrow \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} = \frac{\begin{bmatrix}Z_{22} & -Z_{12} \\-Z_{21} & Z_{11} \end{bmatrix}}{\Delta Z}$$

Onde,

$$\Delta Z = Z_{11} Z_{22} - Z_{12} Z_{21}$$

Então, apenas fazendo o inverse of Z parameters matrix, obteremos a matriz de parâmetros Y.

Parâmetros Z para parâmetros T

Aqui, temos que representar os parâmetros T em termos de parâmetros Z. Portanto, neste caso, os parâmetros T são os parâmetros desejados e os parâmetros Z são os parâmetros dados.

Step 1 - Sabemos disso, o seguinte conjunto de duas equações, que representa uma rede de duas portas em termos de T parameters.

$$V_1 = A V_2 - B I_2$$

$$I_1 = C V_2 - D I_2$$

Step 2 - Sabemos que o seguinte conjunto de duas equações, que representa uma rede de duas portas em termos de Z parameters.

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

Step 3 - Podemos modificar a equação acima como

$$\Rightarrow V_2 - Z_{22} I_2 = Z_{21} I_1$$

$$\Rightarrow I_1 = \lgroup \frac{1}{Z_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{Z_{22}}{Z_{21}} \rgroup I_2$$

Step 4 - A equação acima está na forma de $I_1 = CV_2 − DI_2$. Aqui,

$$C = \frac{1}{Z_{21}}$$

$$D = \frac{Z_{22}}{Z_{21}}$$

Step 5 - Substituto $I_1$ valor da Etapa 3 em $V_1$ equação da Etapa 2.

$$V_1 = Z_{11} \lbrace \lgroup \frac {1}{Z_{12}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac {Z_{22}}{Z_{21}} \rgroup I_2 \rbrace + Z_{12} I_2$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac {Z_{11}}{Z_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{Z_{11} Z_{22} - Z_{12} Z_{21}}{Z_{21}} \rgroup I_2$$

Step 6 - A equação acima está na forma de $V_1 = AV_2 − BI_2$. Aqui,

$$A = \frac{Z_{11}}{Z_{21}}$$

$$B = \frac{Z_{11} Z_{22} - Z_{12} Z_{21}}{Z_{21}}$$

Step 7 - Portanto, o T parameters matrix é

$$\begin{bmatrix}A & B \\C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{Z_{11}}{Z_{21}} & \frac{Z_{11}Z_{22} - Z_{12}Z_{21}}{Z_{21}} \\\frac{1}{Z_{21}} & \frac{Z_{22}}{Z_{21}} \end{bmatrix}$$

Parâmetros Y para parâmetros Z

Aqui, temos que representar os parâmetros Z em termos de parâmetros Y. Portanto, neste caso, os parâmetros Z são os parâmetros desejados e os parâmetros Y são os parâmetros dados.

Step 1 - Sabemos que, a seguinte equação da matriz de rede de duas portas em relação aos parâmetros Z como

$\begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix}$Equation 3

Step 2 - Sabemos que, a seguinte equação de matriz de rede de duas portas em relação aos parâmetros Y como

$$\begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix}$$

Step 3 - Podemos modificá-lo como

$\begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix}$Equation 4

Step 4 - Equacionando a Equação 3 e a Equação 4, obteremos

$$\begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix}^{-1}$$

$$\Rightarrow \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} = \frac{\begin{bmatrix}Y_{22} & - Y_{12} \\- Y_{21} & Y_{11} \end{bmatrix}}{\Delta Y}$$

Onde,

$$\Delta Y = Y_{11} Y_{22} - Y_{12} Y_{21}$$

Então, apenas fazendo o inverse of Y parameters matrix, obteremos a matriz de parâmetros Z.

Parâmetros Y para parâmetros T

Aqui, temos que representar os parâmetros T em termos de parâmetros Y. Portanto, neste caso, os parâmetros T são os parâmetros desejados e os parâmetros Y são os parâmetros dados.

Step 1 - Sabemos disso, o seguinte conjunto de duas equações, que representa uma rede de duas portas em termos de T parameters.

$$V_1 = A V_2 - B I_2$$

$$I_1 = C V_2 - D I_2$$

Step 2 - Sabemos que o seguinte conjunto de duas equações de rede de duas portas em relação aos parâmetros Y.

$$I_1 = Y_{11} V_1 + Y_{12} V_2$$

$$I_2 = Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2$$

Step 3 - Podemos modificar a equação acima como

$$\Rightarrow I_2 - Y_{22} V_2 = Y_{21} V_1$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac{- Y_{22}}{Y_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{-1}{Y_{21}} \rgroup I_2$$

Step 4 - A equação acima está na forma de $V_1 = AV_2 − BI_2$. Aqui,

$$A = \frac{- Y_{22}}{Y_{21}}$$

$$B = \frac{-1}{Y_{21}}$$

Step 5 - Substituto $V_1$ valor da Etapa 3 em $I_1$ equação da Etapa 2.

$$I_1 = Y_{11} \lbrace \lgroup \frac{- Y_{22}}{Y_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{-1}{Y_{21}} \rgroup I_2 \rbrace + Y_{12} V_2$$

$$\Rightarrow I_1 = \lgroup \frac {Y_{12} Y_{21} - Y_{11} Y_{22}}{Y_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{- Y_{11}} {Y_{21}} \rgroup I_2$$

Step 6 - A equação acima está na forma de $I_1 = CV_2 − DI_2$. Aqui,

$$C = \frac {Y_{12} Y_{21} - Y_{11} Y_{22}}{Y_{21}}$$

$$D = \frac{- Y_{11}} {Y_{21}}$$

Step 7 - Portanto, o T parameters matrix é

$$\begin{bmatrix}A & B \\C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{-Y_{22}}{Y_{21}} & \frac{-1}{Y_{21}} \\\frac{Y_{12}Y_{21} - Y_{11}Y_{22}}{Y_{21}} & \frac{-Y_{11}}{Y_{21}} \end{bmatrix}$$

Parâmetros T para parâmetros h

Aqui, temos que representar os parâmetros h em termos de parâmetros T. Portanto, neste caso, hparameters são os parâmetros desejados e os parâmetros T são os parâmetros dados.

Step 1 - Nós sabemos disso, o seguinte h-parameters de uma rede de duas portas.

$$h_{11} = \frac{V_1}{I_1}, \: when \: V_2 = 0$$

$$h_{12} = \frac{V_1}{V_2}, \: when \: I_1 = 0$$

$$h_{21} = \frac{I_2}{I_1}, \: when \: V_2 = 0$$

$$h_{22} = \frac{I_2}{V_2}, \: when \: I_1 = 0$$

Step 2 - Sabemos que o seguinte conjunto de duas equações de rede de duas portas em relação T parameters.

$V_1 = A V_2 - B I_2$Equation 5

$I_1 = C V_2 - D I_2$Equation 6

Step 3 - Substituto $V_2 = 0$ nas equações acima, a fim de encontrar os dois parâmetros h, $h_{11}$ e $h_{21}$.

$$\Rightarrow V_1 = -B I_2$$

$$\Rightarrow I_1 = -D I_2$$

Substituto, $V_1$ e $I_1$ valores no parâmetro h, $h_{11}$.

$$h_{11} = \frac{-B I_2}{-D I_2}$$

$$\Rightarrow h_{11} = \frac{B}{D}$$

Substituto $I_1$ valor no parâmetro h $h_{21}$.

$$h_{21} = \frac{I_2}{- D I_2}$$

$$\Rightarrow h_{21} = - \frac{1}{D}$$

Step 4 - Substituto $I_1 = 0$ na segunda equação da etapa 2, a fim de encontrar o parâmetro h $h_{22}$.

$$0 = C V_2 - D I_2$$

$$\Rightarrow C V_2 = D I_2$$

$$\Rightarrow \frac{I_2}{V_2} = \frac{C}{D}$$

$$\Rightarrow h_{22} = \frac{C}{D}$$

Step 5 - Substituto $I_2 = \lgroup \frac{C}{D} \rgroup V_2$ na primeira equação da etapa 2, a fim de encontrar o parâmetro h, $h_{12}$.

$$V_1 = A V_2 - B \lgroup \frac{C}{D} \rgroup V_2$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac{AD - BC}{D} \rgroup V_2$$

$$\Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = \frac{AD - BC}{D}$$

$$\Rightarrow h_{12} = \frac{AD - BC}{D}$$

Step 6 - Portanto, a matriz de parâmetros h é

$$\begin{bmatrix}h_{11} & h_{12} \\h_{21} & h_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{B}{D} & \frac{AD - BC}{D} \\-\frac{1}{D} & \frac{C}{D} \end{bmatrix}$$

parâmetros h para parâmetros Z

Aqui, temos que representar os parâmetros Z em termos de parâmetros h. Portanto, neste caso, os parâmetros Z são os parâmetros desejados e os parâmetros h são os parâmetros dados.

Step 1 - Sabemos disso, o seguinte conjunto de duas equações de rede de duas portas em relação Z parameters.

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

Step 2 - Sabemos disso, o seguinte conjunto de duas equações de rede de duas portas em relação h-parameters.

$$V_1 = h_{11} I_1 + h_{12} V_2$$

$$I_2 = h_{21} I_1 + h_{22} V_2$$

Step 3 - Podemos modificar a equação acima como

$$\Rightarrow I_2 - h_{21} I_1 = h_{22} V_2$$

$$\Rightarrow V_2 = \frac{I_2 - h_{21} I_1}{h_{22}}$$

$$\Rightarrow V_2 = \lgroup \frac{-h_{21}}{h_{22}} \rgroup I_1 + \lgroup \frac{1}{h_{22}} \rgroup I_2$$

A equação acima está na forma de $V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2. Here,$

$$Z_{21} = \frac{-h_{21}}{h_{22}}$$

$$Z_{22} = \frac{1}{h_{22}}$$

Step 4- Substitua o valor de V ₂ na primeira equação da etapa 2.

$$V_1 = h_{11} I_1 + h_{21} \lbrace \lgroup \frac{-h_{21}}{h_{22}} \rgroup I_1 + \lgroup \frac{1}{h_{22}} \rgroup I_2 \rbrace$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac{h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21}}{h_{22}} \rgroup I_1 + \lgroup \frac{h_{12}}{h_{22}} \rgroup I_2$$

A equação acima está na forma de $V_1 = Z_{11}I_1 + Z_{12}I_2$. Aqui,

$$Z_{11} = \frac{h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21}}{h_{22}}$$

$$Z_{12} = \frac{h_{12}}{h_{22}}$$

Step 5 - Portanto, a matriz de parâmetros Z é

$$\begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21}}{h_{22}} & \frac{h_{12}}{h_{22}} \\\frac{-h_{21}}{h_{22}} & \frac{1}{h_{22}} \end{bmatrix}$$

Desta forma, podemos converter um conjunto de parâmetros em outro conjunto de parâmetros.

Filtros como o nome sugere, eles filtram os componentes de frequência. Isso significa que eles permitem certos componentes de frequência e / ou rejeitam alguns outros componentes de frequência.

Neste capítulo, vamos discutir sobre o passive filters. Esses são os circuitos elétricos ou redes tendo elementos passivos como resistor, indutor e capacitor.

Tipos de Filtros

Os filtros são classificados principalmente em four typescom base na banda de frequências que estão permitindo e / ou na banda de frequências que estão rejeitando. A seguir estão os tipos de filtros.

• Filtro passa-baixo
• Filtro passa-altas
• Filtro de passagem de banda
• Filtro de parada de banda

Filtro passa-baixo

Filtro passa-baixo como o nome sugere, ele permite (passa) apenas low frequencycomponentes. Isso significa que ele rejeita (bloqueia) todos os outros componentes de alta frequência.

O domínio s circuit diagram (rede) do filtro passa-baixo é mostrado na figura a seguir.

Consiste em dois elementos passivos, resistor e capacitor, que são conectados em series. A tensão de entrada é aplicada em toda esta combinação e a saída é considerada como a tensão no capacitor.

Aqui, $V_i(s)$ e $V_o(s)$ são as transformadas de Laplace da tensão de entrada, $v_i(t)$ e tensão de saída, $v_o(t)$ respectivamente.

o transfer function da rede acima é

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{\frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{1 + sCR}$$

Substituto, $s = j \omega$ na equação acima.

$$H(j \omega) = \frac{1}{1 + j \omega CR}$$

A magnitude da função de transferência é

$$|H(j \omega)| = \frac{1}{\sqrt{(1 + (\omega CR)^2}}$$

• Em ω = 0, a magnitude da função de transferência é igual a 1.

• Em $\omega = \frac{1}{CR}$, a magnitude da função de transferência é igual a 0,707.

• Em ω = ∞, a magnitude da função de transferência é igual a 0.

Portanto, a magnitude da função de transferência de Low pass filterirá variar de 1 a 0 conforme ω varia de 0 a ∞.

Filtro passa-altas

Filtro passa-alta como o nome sugere, permite (passa) apenas high frequencycomponentes. Isso significa que ele rejeita (bloqueia) todos os componentes de baixa frequência.

O domínio s circuit diagram (rede) do filtro passa-alta é mostrado na figura a seguir.

Consiste em dois elementos passivos, capacitor e resistor, que são conectados em series. A tensão de entrada é aplicada em toda a combinação e a saída é considerada como a tensão no resistor.

Aqui, $V_i(s)$ e $V_o(s)$ são as transformadas de Laplace da tensão de entrada, $v_i(t)$ e tensão de saída, $v_o(t)$ respectivamente.

o transfer function da rede acima é

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{R}{R + \frac{1}{sC}}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{sCR}{1 + sCR}$$

Substituto, $s = j \omega$ na equação acima.

$$H(j \omega) = \frac{j \omega CR}{1 + j \omega CR}$$

A magnitude da função de transferência é

$$|H(j \omega)| = \frac{\omega CR}{\sqrt{(1 + (\omega CR)^2}}$$

• Em ω = 0, a magnitude da função de transferência é igual a 0.

• Em $\omega = \frac{1}{CR}$, a magnitude da função de transferência é igual a 0,707.

• Em ω = ∞, a magnitude da função de transferência é igual a 1.

Portanto, a magnitude da função de transferência de High pass filterirá variar de 0 a 1 conforme ω varia de 0 a ∞.

Filtro de passagem de banda

Filtro passa-banda como o nome sugere, allows (passes) apenas one bandde frequências. Em geral, esta banda de frequência fica entre a faixa de baixa frequência e a faixa de alta frequência. Isso significa que este filtro rejeita (bloqueia) componentes de baixa e alta frequência.

O domínio s circuit diagram (rede) do filtro passa-banda é mostrado na figura a seguir.

É composto por três elementos passivos indutor, capacitor e resistor, que são conectados em series. A tensão de entrada é aplicada em toda a combinação e a saída é considerada como a tensão no resistor.

Aqui, $V_i(s)$ e $V_o(s)$ são as transformadas de Laplace da tensão de entrada, $v_i(t)$ e tensão de saída, $v_o(t)$ respectivamente.

o transfer function da rede acima é

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{R}{R + \frac{1}{sC} + sL}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{s CR}{s^2 LC + sCR + 1}$$

Substituto $s = j \omega$ na equação acima.

$$H(j \omega) = \frac{j \omega CR}{1 - \omega^2 LC + j \omega CR}$$

A magnitude da função de transferência é

$$|H(j \omega)| = \frac{\omega CR}{\sqrt{(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega CR)^2}}$$

• Em ω = 0, a magnitude da função de transferência é igual a 0.

• Em $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$, a magnitude da função de transferência é igual a 1.

• Em ω = ∞, a magnitude da função de transferência é igual a 0.

Portanto, a magnitude da função de transferência de Band pass filterirá variar de 0 a 1 e 1 a 0 conforme ω varia de 0 a ∞.

Filtro de parada de banda

Filtro de parada de banda como o nome sugere, ele rejeita (bloqueia) apenas uma banda de frequências. Em geral, esta banda de frequência fica entre a faixa de baixa frequência e a faixa de alta frequência. Isso significa que este filtro permite (passa) componentes de baixa e alta frequência.

O s-domain (rede) de circuit diagrame parar o filtro é mostrado na figura a seguir.

Consiste em três elementos passivos, resistor, indutor e capacitor, que são conectados em series. A tensão de entrada é aplicada em toda esta combinação e a saída é considerada como a tensão na combinação de indutor e capacitor.

Aqui, $V_i(s)$ e $V_o(s)$ são as transformadas de Laplace da tensão de entrada, $v_i(t)$ e tensão de saída, $v_o(t)$ respectivamente.

o transfer function da rede acima é

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{sL + \frac{1}{sC}}{R + sL + \frac{1}{sC}}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{s^2 LC + 1}{s^2 LC + sCR + 1}$$

Substituto, $s = j \omega$ na equação acima.

$$H(j \omega) = \frac{1 - \omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC + j \omega CR}$$

A magnitude da função de transferência é

$$|H(j \omega)| = \frac{1 - \omega^2 LC}{\sqrt{(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega CR)^2}}$$

• Em ω = 0, a magnitude da função de transferência é igual a 1.

• Em $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$, a magnitude da função de transferência é igual a 0.

• Em ω = ∞, a magnitude da função de transferência é igual a 1.

Portanto, a magnitude da função de transferência de Band stop filterirá variar de 1 a 0 e 0 a 1 conforme ω varia de 0 a ∞.