Boole İfadeleri ve İşlevleri

Boole cebri, mantığın cebiridir. İki ayrı değere sahip olabilen değişkenlerle ilgilenir, 0 (Yanlış) ve 1 (Doğru); ve mantıksal önemi olan işlemler. Sembolik mantığı manipüle etmenin en eski yöntemi George Boole tarafından icat edildi ve daha sonra Boole Cebri olarak bilinmeye başlandı.

Boole cebri, anahtarlama teorisi, temel elektronik devreleri oluşturma ve dijital bilgisayar tasarımındaki geniş uygulanabilirliği nedeniyle bilgisayar biliminde vazgeçilmez bir araç haline geldi.

Boolean İşlevleri

A Boolean functionn derecesinin $ f: X ^ n \ rightarrow X $ özel bir tür matematiksel fonksiyonudur, burada $ X = \ lbrace {0, 1} \ rbrace $ bir Boole alanıdır ve n negatif olmayan bir tamsayıdır. Boolean girdilerinden Boole çıktısının nasıl elde edileceğini açıklar.

Example- $ F (A, B) = A'B '$ olsun. Bu, Boole değişkenlerinin sıralı çiftlerinden $ \ lbrace {0, 1} \ rbrace $ kümesine, $ F (0, 0) = 1, F (0, 1) = 0 olan 2 derecesinin bir fonksiyonudur, F (1, 0) = 0 $ ve $ F (1, 1) = 0 $

Boolean İfadeler

A Boolean expressionher zaman bir Boolean değeri üretir. Bir Boole ifadesi, Boolean sabitleri (Doğru veya Yanlış), Boole değişkenleri ve mantıksal bağlantıların bir kombinasyonundan oluşur. Her Boole ifadesi bir Boole işlevini temsil eder.

Example - $ AB'C $ bir Boole ifadesidir.

Boole Kimlikleri

Çift Kompleman Yasası

$ \ sim (\ sim A) = A $

Tamamlayıcı Hukuk

$ A + \ sim A = 1 $ (VEYA Form)

A $. \ sim A = 0 $ (VE Biçim)

Idempotent Kanunu

$ A + A = A $ (VEYA Form)

A $. A = A $ (VE Formu)

Kimlik Hukuku

$ A + 0 = A $ (VEYA Form)

A $. 1 = A $ (VE Form)

Hakimiyet Hukuku

$ A + 1 = 1 $ (VEYA Form)

A $. 0 = 0 $ (VE Biçim)

Değişmeli kanun

$ A + B = B + A $ (VEYA Form)

A $. B = B. A $ (VE Form)

Federal hukuk

$ A + (B + C) = (A + B) + C $ (VEYA Form)

A $. (B. C) = (A. B). C $ (VE Form)

Soğurma Yasası

A $. (A + B) = A $

$ A + (A. B) = A $

Sadeleştirme Hukuku

A $. (\ sim A + B) = A. B $

$ A + (\ sim A. B) = A + B $

Dağıtım kanunu

$ A + (B. C) = (A + B). (A + C) $

A $. (B + C) = (A. B) + (A. C) $

De-Morgan Yasası

$ \ sim (A. B) = \ sim A + \ sim B $

$ \ sim (A + B) = \ sim A. \ sim B $

Kanonik Formlar

Bir Boole ifadesi için iki tür kanonik form vardır -

• Mintermlerin toplamı (SOM) formu
• Maxterms (POM) formunun ürünü

Minterm Toplamı (SOM) veya Ürünlerin Toplamı (SOP) formu

Bir minterm, doğrudan veya tamamlanmış formlarında alınan tüm değişkenlerin bir ürünüdür. Herhangi bir Boole fonksiyonu, 1 mintermlerinin bir toplamı olarak ifade edilebilir ve fonksiyonun tersi, 0 mintermlerinin bir toplamı olarak ifade edilebilir. Bu nedenle

F (değişkenlerin listesi) = ∑ (1-minterm indekslerinin listesi)

ve

F '(değişkenlerin listesi) = ∑ (0-minterm indekslerinin listesi)

Bir	B	C	Dönem	Minterm
0	0	0	x'y'z '	m 0
0	0	1	x'y'z	m 1
0	1	0	x'yz '	m 2
0	1	1	x'yz	m 3
1	0	0	xy'z '	m 4
1	0	1	xy'z	m 5
1	1	0	xyz '	m 6
1	1	1	xyz	m 7

Example

Let, $ F (x, y, z) = x 'y' z '+ xy' z + Xyz' + xyz $

Veya $ F (x, y, z) = m_0 + m_5 + m_6 + m_7 $

Bu nedenle

$ F (x, y, z) = \ toplamı (0, 5, 6, 7) $

Şimdi $ F (x, y, z) $ 'ın tamamlayıcısını bulacağız

$ F '(x, y, z) = x' yz + x 'y' z + x 'yz' + xy 'z' $

Veya $ F '(x, y, z) = m_3 + m_1 + m_2 + m_4 $

Bu nedenle

$ F '(x, y, z) = \ toplam (3, 1, 2, 4) = \ toplam (1, 2, 3, 4) $

Maxterms Ürünü (POM) veya Toplamların Ürünü (POS) formu

Bir maxterm, doğrudan veya tamamlanmış formlarında alınan tüm değişkenlerin toplamıdır. Herhangi bir Boole işlevi, 0-makstermlerinin bir ürünü olarak ifade edilebilir ve işlevin tersi, 1-makstermlerinin bir ürünü olarak ifade edilebilir. Bu nedenle

F (değişkenler listesi) = $ \ pi $ (0-maxterm indekslerinin listesi).

ve

F '(değişkenlerin listesi) = $ \ pi $ (1-maxterm indekslerinin listesi).

Bir	B	C	Dönem	Maxterm
0	0	0	x + y + z	M 0
0	0	1	x + y + z '	M 1
0	1	0	x + y '+ z	M 2
0	1	1	x + y '+ z'	M 3
1	0	0	x '+ y + z	M 4
1	0	1	x '+ y + z'	M 5
1	1	0	x '+ y' + z	M 6
1	1	1	x '+ y' + z '	M 7

Misal

Let $ F (x, y, z) = (x + y + z). (x + y + z '). (x + y '+ z). (x '+ y + z) $

Veya $ F (x, y, z) = M_0. M_1. M_2. M_4 $

Bu nedenle

$ F (x, y, z) = \ pi (0, 1, 2, 4) $

$ F '' (x, y, z) = (x + y '+ z'). (x '+ y + z'). (x '+ y' + z). (x '+ y' + z ') $

Veya $ F (x, y, z) = M_3. M_5. M_6. M_7 $

Bu nedenle

$ F '(x, y, z) = \ pi (3, 5, 6, 7) $

Mantık kapıları

Boole fonksiyonları, mantık kapıları kullanılarak gerçekleştirilir. Aşağıdakiler mantık kapılarıdır -

DEĞİL kapısı

NOT geçidi, tek bitlik bir girişi tek bitlik bir çıktıya çevirir.

Bir	~ A
0	1
1	0

AND Kapısı

Bir AND geçidi, yalnızca tüm girişleri yüksekse yüksek çıkış veren, aksi takdirde düşük çıkış veren bir mantık kapısıdır. AND işlemini göstermek için bir nokta (.) Kullanılır.

Bir	B	AB
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

OR Kapısı

OR geçidi, girişlerden en az birinin yüksek olması durumunda yüksek çıktı veren bir mantık geçididir. VEYA işlemini göstermek için bir artı (+) kullanılır.

Bir	B	A + B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

NAND Kapısı

Bir NAND geçidi, yalnızca tüm girişleri yüksekse düşük çıkış veren, aksi takdirde yüksek çıkış veren bir mantık geçididir.

Bir	B	~ (AB)
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

NOR Kapısı

Bir NOR geçidi, her iki girişin de düşük olması durumunda yüksek çıkış veren, aksi takdirde düşük çıkış veren bir mantık geçididir.

Bir	B	~ (A + B)
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

XOR (Özel OR) Kapısı

XOR geçidi, girişler farklıysa yüksek çıktı veren, aksi takdirde düşük çıktı veren bir mantık geçididir.

Bir	B	A⊕B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

X-NOR (Exclusive NOR) Kapısı

EX-NOR geçidi, girişler aynıysa yüksek çıkış veren, aksi takdirde düşük çıkış veren bir mantık geçididir.

Bir	B	A X-NOR B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1