Operatörler ve Postülatlar

Grup Teorisi, bir cebirsel yapıyı tanımlayan bir matematik dalıdır ve soyut cebir group. Genel olarak, bir grup, bir takım elemanlardan ve bu küme üzerindeki herhangi iki eleman üzerinde bir işlemden oluşur ve bu küme içinde de üçüncü bir eleman oluşturur.

1854'te İngiliz Matematikçi Arthur Cayley, grubun modern tanımını ilk kez verdi -

“Bir dizi sembolün hepsi birbirinden farklı ve herhangi ikisinin ürünü (hangi sırayla olursa olsun) ya da herhangi birinin ürünü kendi içinde sete ait olacak şekilde, bir grup olduğu söyleniyor. . Bu semboller genel olarak dönüştürülebilir [değişmeli] değildir, ancak ilişkiseldir. "

Bu bölümde şunları bileceğiz operators and postulates küme teorisi, grup teorisi ve Boole cebirinin temellerini oluşturur.

Bir matematiksel sistemdeki herhangi bir öğe kümesi, bir dizi işleç ve birkaç varsayımla tanımlanabilir.

Bir binary operatorbir öğe kümesi üzerinde tanımlanan, her öğe çiftine o kümeden benzersiz bir öğe atayan bir kuraldır. Örneğin, $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5 \ rbrace $ kümesi verildiğinde, $ \ otimes $ 'ın $ c = a \ otimes b $ işlemi için bir ikili operatör olduğunu söyleyebiliriz, eğer belirtiyorsa $ (a, b) $ çifti için c'yi bulma kuralı, öyle ki A $ 'da $ a, b, c \.

postulatesMatematiksel bir sistemin, kuralların çıkarılabileceği temel varsayımları oluşturur. Postülatlar -

Kapanış

Kümedeki her öğe çifti için operatör bu kümeden benzersiz bir öğe bulursa, bir ikili operatöre göre bir küme kapatılır.

Misal

$ A = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $ olsun

Bu küme, ikili operatör altında $ (\ ast) $ ile kapatılır, çünkü $ c = a \ ast b $ işlemi için, herhangi bir $ a, b \ A $ için, A $ içindeki $ c \ ürünü.

Küme kapalı değil ikili operatörü böl $ (\ div) $ altında, çünkü $ c = a \ div b $ işlemi için, A $ içindeki herhangi bir $ a, b \ için, c ürünü kümede olmayabilir A. $ a = 7, b = 2 $ ise, $ c = 3.5 $ olur. Burada $ a, b \ A $ içinde ama $ c \ A $ içinde değil.

İlişkili Kanunlar

A kümesindeki bir ikili operatör $ \ otimes $, aşağıdaki özelliği tuttuğunda ilişkilidir -

$ (x \ otimes y) \ otimes z = x \ otimes (y \ otimes z) $, burada $ x, y, z \ A $ 'da

Misal

$ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $ olsun

$ (+) $ Operatörü artı $ (+) $ ilişkilidir, çünkü A $ 'daki herhangi üç öğe için $ x, y, z \ $ (x + y) + z = x + (y + z) $ özelliği tutar.

Eksi $ (-) $ operatörü şu tarihten beri ilişkili değildir

$$ (x - y) - z \ ne x - (y - z) $$

Değişmeli Yasalar

A kümesindeki bir ikili operatör $ \ otimes $, aşağıdaki özelliği tuttuğunda değişmeli olur -

$ x \ otimes y = y \ otimes x $, burada $ x, y \ A $ 'da

Misal

$ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $ olsun

$ (+) $ Operatörü artı $ (+) $ değişkendir çünkü A $ 'daki herhangi iki öğe için $ x, y \ $ x + y = y + x $ özelliği tutar.

Eksi $ (-) $ operatörü şu tarihten beri ilişkili değildir

$$ x - y \ ne y - x $$

Dağıtım Kanunları

Bir A kümesindeki iki ikili operatör $ \ otimes $ ve $ \ circledast $, aşağıdaki özellik tutulduğunda $ \ circledast $ operatörüne dağıtılır -

$ x \ otimes (y \ circledast z) = (x \ otimes y) \ circledast (x \ otimes z) $, burada $ x, y, z \ A $ 'da

Misal

$ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $ olsun

$ (*) $ Ve artı $ (+) $ işlevlerinin operatörleri + operatörüne dağıtılır çünkü A $ 'daki herhangi üç öğe için $ x, y, z \, $ x * (y + z) = (x * y) + (x * z) $ bekletme.

Ancak, bu operatörler şu tarihten beri $ * $ üzerinde dağıtım yapmamaktadır.

$$ x + (y * z) \ ne (x + y) * (x + z) $$

Kimlik Öğesi

Bir A kümesi, A $ üzerinde $ \ otimes $ ikili işlemine göre bir kimlik öğesine sahiptir, eğer A $ içinde bir $ e \ öğesi varsa, aşağıdaki özellik tutar -

$ e \ otimes x = x \ otimes e $, burada $ x \ A $ 'da

Misal

$ Z = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $ olsun

1. eleman, $ * $ işlemine göre bir kimlik elemanıdır çünkü Z $ içindeki herhangi bir $ x \ elemanı için,

1 $$ * x = x * 1 $$

Öte yandan, işlem için eksi $ (-) $ kimlik öğesi yoktur.

Ters

Eğer bir A kümesi, bir $ \ otimes $ ikili işlecine göre $ e $ kimlik öğesine sahipse, A $ 'daki her $ x \ öğesi için her zaman bir tersi olduğu söylenir, A $' da başka bir $ y \ öğesi vardır. , aşağıdaki mülk geçerli olacak şekilde -

$$ x \ otimes y = e $$