Ayrık Matematik - Fonksiyonlar

Bir Functionbir kümenin her bir öğesine, ilişkili bir kümenin tam olarak bir öğesini atar. Fonksiyonlar, uygulamalarını, algoritmaların hesaplama karmaşıklığının temsili, nesneleri sayma, dizilerin ve dizelerin incelenmesi gibi çeşitli alanlarda bulurlar. Bu bölümün üçüncü ve son bölümü, işlevlerin önemli yönlerini vurgulamaktadır.

İşlev - Tanım

Bir işlev veya eşleme ($ f: X \ rightarrow Y $ olarak tanımlanır), bir X kümesinin öğelerinden başka bir Y kümesinin öğelerine (X ve Y boş olmayan kümelerdir) bir ilişkidir. X, Domain olarak adlandırılır ve Y, 'f' fonksiyonunun Codomain'i olarak adlandırılır.

'F' fonksiyonu, X $ 'da her $ x \ için, R $' da $ (x, y) \ olacak şekilde benzersiz bir $ y \ olacak şekilde X ve Y üzerindeki bir ilişkidir. 'x' ön görüntü olarak adlandırılır ve 'y' f işlevinin görüntüsü olarak adlandırılır.

Bir işlev bire bir veya çoktan bire olabilir ancak birden çoğa olamaz.

Enjeksiyon / Bire bir işlev

$ F: A \ rightarrow B $ işlevi enjekte veya bire bir işlevdir, eğer B $ 'da her $ b \ için, A $' da $ f (s) = t $ olacak şekilde en fazla bir $ a \ varsa .

Bu bir işlev anlamına gelir f $ a_1 \ ne a_2 $, $ f (a1) \ ne f (a2) $ anlamına geliyorsa enjekte edilir.

Misal

  • $ f: N \ rightarrow N, f (x) = 5x $ enjektedir.

  • $ f: N \ rightarrow N, f (x) = x ^ 2 $ enjektedir.

  • $ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $, $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $ olarak enjekte edilmez

Surjective / Onto işlevi

Bir $ f: A \ rightarrow B $ fonksiyonu, f'nin görüntüsü, aralığına eşitse, örtendir (üzerine). Aynı şekilde, B $ 'daki her $ b \ için, A $' da $ f (a) = b $ olacak şekilde bir $ a \ vardır. Bu, B'deki herhangi bir y için, A'da $ y = f (x) $ olacak şekilde bazı x'lerin olduğu anlamına gelir.

Misal

  • $ f: N \ rightarrow N, f (x) = x + 2 $ örtendir.

  • $ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $, karesi negatif olan bir gerçek sayı bulamadığımız için, örten değildir.

Bijective / Bire Bir Muhabir

Bir $ f: A \ rightarrow B $ fonksiyonu önyargılıdır veya bire bir karşılık gelir ancak ve ancak f hem enjekte edici hem de kuşatıcıdır.

Sorun

$ F (x) = 2x - 3 $ ile tanımlanan $ f: R \ rightarrow R $ fonksiyonunun iki amaçlı bir fonksiyon olduğunu kanıtlayın.

Explanation - Bu işlevin hem enjekte edici hem de örten olduğunu kanıtlamalıyız.

$ F (x_1) = f (x_2) $ ise, 2x_1 - 3 = 2x_2 - 3 $ ise ve bu $ x_1 = x_2 $ anlamına gelir.

Dolayısıyla, f injective.

Burada, 2x - 3 = y $

Yani, $ x = (y + 5) / 3 $ olan R ve $ f (x) = y $.

Dolayısıyla, f surjective.

Dan beri f ikiside surjective ve injective, söyleyebiliriz f dır-dir bijective.

Bir Fonksiyonun Tersi

inverse bire bir karşılık gelen fonksiyonun $ f: A \ rightarrow B $, aşağıdaki özelliği tutan $ g: B \ rightarrow A $ fonksiyonudur -

$ f (x) = y \ Leftrightarrow g (y) = x $

F fonksiyonu denir invertibleters fonksiyonu g varsa.

Misal

  • Bir $ f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x + 5 $ Fonksiyonu, $ g: Z \ rightarrow Z, g (x) = x-5 $ ters fonksiyonuna sahip olduğu için ters çevrilebilir.

  • Bir Fonksiyon $ f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x ^ 2 $, $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $ olarak bire bir olmadığından, tersine çevrilemez.

Fonksiyonların Bileşimi

$ F: A \ rightarrow B $ ve $ g: B \ rightarrow C $ adlı iki fonksiyon, $ gof $ bileşimini verecek şekilde oluşturulabilir. Bu, $ (gof) (x) = g (f (x)) $ ile tanımlanan A'dan C'ye bir işlevdir

Misal

$ F (x) = x + 2 $ ve $ g (x) = 2x + 1 $ olsun, $ (sis) (x) $ ve $ (gof) (x) $ bulun.

Çözüm

$ (sis) (x) = f (g (x)) = f (2x + 1) = 2x + 1 + 2 = 2x + 3 $

$ (gof) (x) = g (f (x)) = g (x + 2) = 2 (x + 2) + 1 = 2x + 5 $

Dolayısıyla, $ (fog) (x) \ neq (gof) (x) $

Kompozisyonla İlgili Bazı Gerçekler

  • F ve g bire bir ise, $ (gof) $ işlevi de bire birdir.

  • F ve g üstündeyse, $ (gof) $ işlevi de üzerindedir.

  • Kompozisyon her zaman birleşik özelliği taşır, ancak değişme özelliğine sahip değildir.