Ayrık Matematik - Kümeler

Alman matematikçi G. CantorKümeler kavramını tanıttı. Kümeyi, belirli kurallar veya tanımlarla seçilen belirli ve ayırt edilebilir nesnelerin bir koleksiyonu olarak tanımlamıştı.

Setteori, sayma teorisi, ilişkiler, grafik teorisi ve sonlu durum makineleri gibi diğer birçok çalışma alanının temelini oluşturur. Bu bölümde, farklı yönlerini ele alacağızSet Theory.

Küme - Tanım

Bir küme, farklı öğelerin sıralanmamış bir koleksiyonudur. Bir küme, elemanlarını küme paranteziyle listeleyerek açıkça yazılabilir. Elemanların sırası değiştirilirse veya bir kümenin herhangi bir elemanı tekrarlanırsa, kümede herhangi bir değişiklik yapmaz.

Bazı Set Örnekleri

Tüm pozitif tam sayılar kümesi
Güneş sistemindeki tüm gezegenlerin bir kümesi
Hindistan'daki tüm eyaletlerden oluşan bir set
Alfabenin tüm küçük harflerinden oluşan bir set

Bir Kümenin Temsili

Setler iki şekilde temsil edilebilir -

Kadro veya Tablo Form
Oluşturucu Gösterimini Ayarla

Kadro veya Tablo Form

Set, onu oluşturan tüm unsurların listelenmesiyle temsil edilir. Öğeler kaşlı ayraç içine alınır ve virgülle ayrılır.

Example 1 - İngiliz alfabesinde ünlüler kümesi, $ A = \ lbrace a, e, i, o, u \ rbrace $

Example 2 - 10'dan küçük tek sayılar kümesi, $ B = \ lbrace 1,3,5,7,9 \ rbrace $

Oluşturucu Gösterimini Ayarla

Küme, kümenin elemanlarının ortak olarak sahip olduğu bir özellik belirtilerek tanımlanır. Küme $ A = \ lbrace x: p (x) \ rbrace $ olarak tanımlanır

Example 1 - $ \ lbrace a, e, i, o, u \ rbrace $ kümesi şu şekilde yazılır -

$ A = \ lbrace x: \ text {x, İngilizce alfabede bir sesli harftir} \ rbrace $

Example 2 - $ \ lbrace 1,3,5,7,9 \ rbrace $ kümesi şu şekilde yazılır -

$ B = \ lbrace x: 1 \ le x \ lt 10 \ ve \ (x \% 2) \ ne 0 \ rbrace $

Bir x öğesi herhangi bir S kümesinin üyesiyse, S $ 'da $ x \ ile gösterilir ve eğer bir y öğesi S kümesinin bir üyesi değilse, $ y \ not içinde S $ ile gösterilir.

Example- $ S = \ lbrace1, 1.2, 1.7, 2 \ rbrace, 1 \ S $ içinde ancak $ 1.5 \ notin S $ ise

Bazı Önemli Setler

N - tüm doğal sayılar kümesi = $ \ lbrace1, 2, 3, 4, ..... \ rbrace $

Z - tüm tamsayılar kümesi = $ \ lbrace ....., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..... \ rbrace $

Z⁺ - tüm pozitif tam sayılar kümesi

Q - tüm rasyonel sayılar kümesi

R - tüm gerçek sayılar kümesi

W - tüm tam sayılar kümesi

Bir Kümenin Asalitesi

$ | S | $ ile gösterilen bir S kümesinin önemi, kümenin elemanlarının sayısıdır. Sayı aynı zamanda kardinal sayı olarak da adlandırılır. Bir kümenin sonsuz sayıda elemanı varsa, onun önemi $ \ infty $ 'dır.

Example- $ | \ lbrace 1, 4, 3, 5 \ rbrace | = 4, | \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace | = \ infty $

X ve Y olmak üzere iki küme varsa,

$ | X | = | Y | $ aynı kardinaliteye sahip iki X ve Y kümesini gösterir. X'teki öğelerin sayısı Y'deki öğelerin sayısına tam olarak eşit olduğunda ortaya çıkar. Bu durumda, X'ten Y'ye bir "f" önyargılı işlevi vardır.
$ | X | \ le | Y | $, X'in kardinalitesinin ayarlanan Y'nin kardinalitesine eşit veya daha az olduğunu belirtir. X'teki elemanların sayısı Y'ninkinden az veya ona eşit olduğunda oluşur. Burada, X'ten Y'ye bir 'f' enjeksiyon fonksiyonu vardır.
$ | X | \ lt | Y | $, X'in kardinalitesinin ayarlanan Y'nin kardinalitesinden daha az olduğunu belirtir. X'teki elemanların sayısı Y'ninkinden daha az olduğunda ortaya çıkar. Burada, X'den Y'ye 'f' işlevi enjeksiyon işlevidir, ancak önyargılı değildir.
$ Eğer \ | X | \ le | Y | $ ve $ | X | \ ge | Y | $ sonra $ | X | = | Y | $. X ve Y kümeleri genellikle eşdeğer kümeler olarak adlandırılır.

Set Türleri

Setler birçok türe ayrılabilir. Bazıları sonlu, sonsuz, alt küme, evrensel, uygun, tekli küme vb.

Sınırlı set

Belirli sayıda eleman içeren bir küme, sonlu küme olarak adlandırılır.

Example- $ S = \ lbrace x \: | \: x \ N $ ve 70 $ \ gt x \ gt 50 \ rbrace $

Sonsuz Küme

Sonsuz sayıda eleman içeren bir kümeye sonsuz küme denir.

Example- $ S = \ lbrace x \: | \: x \ in N $ ve $ x \ gt 10 \ rbrace $

Alt küme

X'in her bir öğesi, Y kümesinin bir öğesi ise, X kümesi Y kümesinin bir alt kümesidir ($ X \ subseteq Y $ olarak yazılır).

Example 1- $ X = \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6 \ rbrace $ ve $ Y = \ lbrace 1, 2 \ rbrace $ olsun. Burada Y kümesi, Y kümesinin tüm elemanları X kümesinde olduğundan, X kümesinin bir alt kümesidir. Dolayısıyla, $ Y \ subseteq X $ yazabiliriz.

Example 2- $ X = \ lbrace 1, 2, 3 \ rbrace $ ve $ Y = \ lbrace 1, 2, 3 \ rbrace $ olsun. Burada Y kümesi, X kümesinin bir alt kümesidir (uygun bir alt küme değildir), çünkü Y kümesinin tüm elemanları X kümesinde yer alır. Dolayısıyla, $ Y \ subseteq X $ yazabiliriz.

Uygun altküme

"Uygun alt küme" terimi "alt küme" olarak tanımlanabilir ancak eşit değildir. Bir X Kümesi, X'in her bir elemanı Y kümesinin bir elemanıysa ve $ | X | \ lt | Y | $.

Example- $ X = \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6 \ rbrace $ ve $ Y = \ lbrace 1, 2 \ rbrace $ olsun. $ Y $ içindeki tüm öğeler de $ X $ içinde yer aldığından ve $ X $ en az bir öğesi $ Y $ kümesinden daha fazla olduğundan $ Y \ subset X $ ayarlayın.

Evrensel set

Belirli bir bağlam veya uygulamadaki tüm öğelerin bir koleksiyonudur. Bu bağlamdaki veya uygulamadaki tüm kümeler, esasen bu evrensel kümenin alt kümeleridir. Evrensel kümeler $ U $ olarak temsil edilir.

Example- $ U $ 'ı dünyadaki tüm hayvanların kümesi olarak tanımlayabiliriz. Bu durumda, tüm memeliler kümesi $ U $ 'ın bir alt kümesidir, tüm balıkların kümesi $ U $' ın bir alt kümesidir, tüm böcekler kümesi $ U $ 'ın bir alt kümesidir vb.

Boş Küme veya Boş Küme

Boş bir küme hiçbir öğe içermez. $ \ Emptyset $ ile gösterilir. Boş bir kümedeki eleman sayısı sonlu olduğundan, boş küme sonlu bir kümedir. Boş küme veya boş kümenin önem derecesi sıfırdır.

Example- $ S = \ lbrace x \: | \: x \ in N $ ve $ 7 \ lt x \ lt 8 \ rbrace = \ emptyset $

Tekli Set veya Birim Seti

Tekli set veya birim seti yalnızca bir öğe içerir. Bir tekil küme $ \ lbrace s \ rbrace $ ile gösterilir.

Example- $ S = \ lbrace x \: | \: x \ in N, \ 7 \ lt x \ lt 9 \ rbrace $ = $ \ lbrace 8 \ rbrace $

Eşit Küme

İki set aynı öğeleri içeriyorsa, eşit oldukları söylenir.

Example - $ A = \ lbrace 1, 2, 6 \ rbrace $ ve $ B = \ lbrace 6, 1, 2 \ rbrace $ ise, bunlar eşittir, çünkü A kümesinin her öğesi B kümesinin bir öğesi ve kümenin her öğesi B, A kümesinin bir öğesidir.

Eşdeğer Set

İki kümenin kardinaliteleri aynıysa, bunlara eşdeğer kümeler denir.

Example- $ A = \ lbrace 1, 2, 6 \ rbrace $ ve $ B = \ lbrace 16, 17, 22 \ rbrace $ ise, bunlar A'nın kardinalitesi B'nin kardinalitesine eşit olduğu için eşdeğerdir, yani $ | A | = | B | = 3 $

Çakışan Küme

En az bir ortak öğesi olan iki kümeye örtüşen kümeler denir.

Örtüşen kümeler durumunda -

$ n (A \ cup B) = n (A) + n (B) - n (A \ cap B) $
$ n (A \ cup B) = n (A - B) + n (B - A) + n (A \ cap B) $
$ n (A) = n (A - B) + n (A \ cap B) $
$ n (B) = n (B - A) + n (A \ cap B) $

Example- $ A = \ lbrace 1, 2, 6 \ rbrace $ ve $ B = \ lbrace 6, 12, 42 \ rbrace $ olsun. Ortak bir '6' öğesi vardır, dolayısıyla bu kümeler örtüşen kümelerdir.

Ayrık Set

Ortak bir öğeye sahip değillerse, iki A ve B kümesine ayrık kümeler denir. Bu nedenle, ayrık kümeler aşağıdaki özelliklere sahiptir -

$ n (A \ cap B) = \ emptyset $
$ n (A \ cup B) = n (A) + n (B) $

Example - $ A = \ lbrace 1, 2, 6 \ rbrace $ ve $ B = \ lbrace 7, 9, 14 \ rbrace $ olsun, tek bir ortak eleman yoktur, dolayısıyla bu kümeler örtüşen kümelerdir.

Venn şemaları

1880'de John Venn tarafından icat edilen Venn diyagramı, farklı matematiksel kümeler arasındaki tüm olası mantıksal ilişkileri gösteren şematik bir diyagramdır.

Examples

İşlemleri Ayarla

Set İşlemleri arasında Set Union, Set Intersection, Set Difference, Complement of Set ve Cartesian Product bulunur.

Set Birliği

A ve B kümelerinin birleşimi ($ A \ cup B $ ile gösterilir), A'da, B'de veya hem A hem de B'de bulunan öğeler kümesidir. Dolayısıyla, $ A \ cup B = \ lbrace x \: | \: x \ A \ VEYA \ x \ B \ rbrace $ içinde.

Example- $ A = \ lbrace 10, 11, 12, 13 \ rbrace $ ve B = $ \ lbrace 13, 14, 15 \ rbrace $ ise, $ A \ cup B = \ lbrace 10, 11, 12, 13, 14 , 15 \ rbrace $. (Ortak öğe yalnızca bir kez oluşur)

Kesişimi Ayarla

A ve B kümelerinin kesişimi ($ A \ cap B $ ile gösterilir), hem A hem de B'de bulunan öğeler kümesidir. Dolayısıyla, A'da $ A \ cap B = \ lbrace x \: | \: x \ B \ rbrace $ içinde \ VE \ x \.

Example - $ A = \ lbrace 11, 12, 13 \ rbrace $ ve $ B = \ lbrace 13, 14, 15 \ rbrace $ ise, $ A \ cap B = \ lbrace 13 \ rbrace $.

Farkı Ayarla / Göreli Tamamlayıcı

A ve B kümelerinin küme farkı ($ A - B $ ile gösterilir), yalnızca A'da olan ancak B'de olmayan öğeler kümesidir. Dolayısıyla, $ A - B = \ lbrace x \: | \: x \ A \ VE \ x \ B \ rbrace $ içinde değil.

Example- $ A = \ lbrace 10, 11, 12, 13 \ rbrace $ ve $ B = \ lbrace 13, 14, 15 \ rbrace $ ise, $ (A - B) = \ lbrace 10, 11, 12 \ rbrace $ ve $ (B - A) = \ lbrace 14, 15 \ rbrace $. Burada $ (A - B) \ ne (B - A) $ görüyoruz

Bir Setin Tamamlayıcısı

Bir A kümesinin tamamlayıcısı ($ A '$ ile gösterilir), A kümesinde olmayan öğeler kümesidir. Dolayısıyla, $ A' = \ lbrace x | x \ notin A \ rbrace $.

Daha spesifik olarak, $ A '= (U - A) $, burada $ U $ tüm nesneleri içeren evrensel bir kümedir.

Example- Eğer $ A = \ lbrace x \: | \: x \ \: {aittir \: küme \: kümesine \: tek \: tamsayılar} \ rbrace $ sonra $ A '= \ lbrace y \: | \: y \ \: {değil \: değil \: ait \: küme \: /: tek \: tamsayılar} \ rbrace $

Kartezyen Ürün / Çapraz Ürün

$ A_1, A_2, \ noktalar A_n $, $ A_1 \ times A_2 \ dots \ times A_n $ olarak gösterilen n sayıda kümenin Kartezyen çarpımı, tüm olası sıralı çiftler $ (x_1, x_2, \ dots x_n) $ olarak tanımlanabilir burada A_1'de $ x_1 \, A_2'de x_2 \, A_n $'da \ nokta x_n \

Example - İki set $ A = \ lbrace a, b \ rbrace $ ve $ B = \ lbrace 1, 2 \ rbrace $,

A ve B'nin Kartezyen çarpımı - $ A \ times B = \ lbrace (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2) \ rbrace $ şeklinde yazılır.

B ve A'nın Kartezyen çarpımı - $ B \ times A = \ lbrace (1, a), (1, b), (2, a), (2, b) \ rbrace $ şeklinde yazılır.

Gücü ayarla

Bir S kümesinin güç kümesi, boş küme dahil tüm S alt kümelerinin kümesidir. Kardinalite n'nin bir S kümesinin güç kümesinin kardinalitesi $ 2 ^ n $ 'dır. Güç seti $ P (S) $ olarak belirtilmiştir.

Example −

Bir $ S = \ lbrace a, b, c, d \ rbrace $ kümesi için alt kümeleri hesaplayalım -

0 öğeli alt kümeler - $ \ lbrace \ emptyset \ rbrace $ (boş küme)
1 elemanlı alt kümeler - $ \ lbrace a \ rbrace, \ lbrace b \ rbrace, \ lbrace c \ rbrace, \ lbrace d \ rbrace $
2 öğeli alt kümeler - $ \ lbrace a, b \ rbrace, \ lbrace a, c \ rbrace, \ lbrace a, d \ rbrace, \ lbrace b, c \ rbrace, \ lbrace b, d \ rbrace, \ lbrace c, d \ rbrace $
3 öğeli alt kümeler - $ \ lbrace a, b, c \ rbrace, \ lbrace a, b, d \ rbrace, \ lbrace a, c, d \ rbrace, \ lbrace b, c, d \ rbrace $
4 öğeli alt kümeler - $ \ lbrace a, b, c, d \ rbrace $

Dolayısıyla, $ P (S) = $

$ \ lbrace \ quad \ lbrace \ emptyset \ rbrace, \ lbrace a \ rbrace, \ lbrace b \ rbrace, \ lbrace c \ rbrace, \ lbrace d \ rbrace, \ lbrace a, b \ rbrace, \ lbrace a, c \ rbrace, \ lbrace a, d \ rbrace, \ lbrace b, c \ rbrace, \ lbrace b, d \ rbrace, \ lbrace c, d \ rbrace, \ lbrace a, b, c \ rbrace, \ lbrace a, b, d \ rbrace, \ lbrace a, c, d \ rbrace, \ lbrace b, c, d \ rbrace, \ lbrace a, b, c, d \ rbrace \ quad \ rbrace $

$ | P (S) | = 2 ^ 4 = 16 $

Note - Boş bir setin güç seti de boş bir settir.

$ | P (\ lbrace \ emptyset \ rbrace) | = 2 ^ 0 = 1 $

Bir Setin Bölümlenmesi

Bir kümenin bölümlenmesi, örneğin S , n ayrık alt kümeden oluşan bir koleksiyondur , örneğin $ P_1, P_2, \ noktalar P_n $ aşağıdaki üç koşulu karşılayan -

$ P_i $ boş küme içermiyor.

$ \ lbrack P_i \ ne \ lbrace \ emptyset \ rbrace \ for \ all \ 0 \ lt i \ le n \ rbrack $
Alt kümelerin birleşimi tüm orijinal kümeye eşit olmalıdır.

$ \ lbrack P_1 \ cup P_2 \ cup \ dots \ cup P_n = S \ rbrack $
Herhangi iki farklı kümenin kesişimi boştur.

$ \ lbrack P_a \ cap P_b = \ lbrace \ emptyset \ rbrace, \ for \ a \ ne b \ nerede \ n \ ge a, \: b \ ge 0 \ rbrack $

Example

$ S = \ lbrace a, b, c, d, e, f, g, h \ rbrace $ olsun

Olası bir bölümleme $ \ lbrace a \ rbrace, \ lbrace b, c, d \ rbrace, \ lbrace e, f, g, h \ rbrace $ şeklindedir

Başka bir olası bölümleme $ \ lbrace a, b \ rbrace, \ lbrace c, d \ rbrace, \ lbrace e, f, g, h \ rbrace $ 'dır