Tối ưu hóa lồi - Tập hợp liên kết
Một tập hợp $ A $ được cho là một tập hợp liên kết nếu đối với hai điểm phân biệt bất kỳ, đường thẳng đi qua các điểm này nằm trong tập hợp $ A $.
Note -
$ S $ là tập hợp liên kết nếu và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp liên kết các điểm của nó.
Tập rỗng và tập đơn đều là tập hợp affine và tập lồi.
Ví dụ, nghiệm của một phương trình tuyến tính là một tập hợp affine.
Bằng chứng
Gọi S là nghiệm của một phương trình tuyến tính.
Theo định nghĩa, $ S = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ n: Ax = b \ right \} $
Cho $ x_1, x_2 \ trong S \ Rightarrow Ax_1 = b $ và $ Ax_2 = b $
Để chứng minh: $ A \ left [\ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ right] = b, \ forall \ theta \ in \ left (0,1 \ right) $
$ A \ left [\ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ right] = \ theta Ax_1 + \ left (1- \ theta \ right) Ax_2 = \ theta b + \ left (1- \ theta \ right ) b = b $
Do đó S là một tập hợp affine.
Định lý
Nếu $ C $ là một tập hợp liên kết và $ x_0 \ trong C $, thì tập hợp $ V = C-x_0 = \ left \ {x-x_0: x \ in C \ right \} $ là một không gian con của C.
Bằng chứng
Cho $ x_1, x_2 \ trong V $
Để hiển thị: $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \ in V $ cho một số $ \ alpha, \ beta $
Bây giờ, $ x_1 + x_0 \ trong C $ và $ x_2 + x_0 \ trong C $ theo định nghĩa của V
Bây giờ, $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 + x_0 = \ alpha \ left (x_1 + x_0 \ right) + \ beta \ left (x_2 + x_0 \ right) + \ left (1- \ alpha - \ beta \ right) x_0 $
Nhưng $ \ alpha \ left (x_1 + x_0 \ right) + \ beta \ left (x_2 + x_0 \ right) + \ left (1- \ alpha - \ beta \ right) x_0 \ trong C $ vì C là một tập hợp liên kết .
Do đó, $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \ trong V $
Do đó đã chứng minh.