Hàm Quasiconvex nghiêm ngặt

Đặt $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ và S là một tập lồi không rỗng trong $ \ mathbb {R} ^ n $ thì f được cho là hàm quasicovex hoàn toàn nếu với mỗi $ x_1, x_2 \ trong S $ với $ f \ left (x_1 \ right) \ neq f \ left (x_2 \ right) $, chúng ta có $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \: \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $

Nhận xét

Mọi hàm quasiconvex đúng là lồi.
Hàm quasiconvex chính xác không có nghĩa là quasiconvexity.
Hàm quasiconvex chính xác có thể không phải là quasiconvex.
Hàm Pseudoconvex là một hàm gần như hoàn toàn lồi.

Định lý

Gọi $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ là hàm gần như hoàn toàn và S là một tập lồi không rỗng trong $ \ mathbb {R} ^ n $. Xem xét vấn đề: $ min \: f \ left (x \ right), x \ bằng S $. Nếu $ \ hat {x} $ là giải pháp tối ưu cục bộ, thì $ \ bar {x} $ là giải pháp tối ưu toàn cục.

Bằng chứng

Để tồn tại $ \ bar {x} \ trong S $ sao cho $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ leq f \ left (\ hat {x} \ right) $

Vì $ \ bar {x}, \ hat {x} \ in S $ và S là tập lồi, do đó,

$$ \ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ in S, \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $$

Vì $ \ hat {x} $ là cực tiểu cục bộ nên $ f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, \ delta \ right) $

Vì f là chuẩn tinh.

$$ f \ left (\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ right) <max \ left \ {f \ left (\ hat {x} \ right) , f \ left (\ bar {x} \ right) \ right \} = f \ left (\ hat {x} \ right) $$

Do đó, nó là mâu thuẫn.

Hàm quasicon lõm chính xác

Đặt $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ và S là một tập lồi không rỗng trong $ \ mathbb {R} ^ n $, thì f là hàm quasicovex đúng nếu với mỗi $ x_1, x_2 \ in S $ với $ f \ left (x_1 \ right) \ neq f \ left (x_2 \ right) $, chúng tôi có

$$ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $$.

Ví dụ

$ f \ left (x \ right) = x ^ 2-2 $

Đây là một hàm gần như hoàn toàn lồi vì nếu chúng ta lấy hai điểm $ x_1, x_2 $ bất kỳ trong miền thỏa mãn các ràng buộc trong định nghĩa $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $ Vì hàm đang giảm theo trục x âm và nó đang tăng theo trục x dương ( vì nó là một parabol).
$ f \ left (x \ right) = - x ^ 2 $

Đây không phải là một hàm chuẩn hoàn toàn vì nếu chúng ta lấy $ x_1 = 1 $ và $ x_2 = -1 $ và $ \ lambda = 0,5 $, thì $ f \ left (x_1 \ right) = - 1 = f \ left ( x_2 \ right) $ but $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) = 0 $ Do đó nó không thỏa mãn các điều kiện được nêu trong định nghĩa. Nhưng nó là một hàm quasicon lõm vì nếu chúng ta lấy hai điểm bất kỳ trong miền thỏa mãn các ràng buộc trong định nghĩa $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $. Khi hàm số đang tăng theo trục x âm và nó đang giảm theo trục x dương.