Tối ưu hóa lồi - Định lý Weierstrass

Đặt S là một tập không rỗng, đóng và có giới hạn (còn được gọi là tập compact) trong $ \ mathbb {R} ^ n $ và đặt $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ là một hàm liên tục trên S, thì vấn đề tối thiểu $ \ left \ {f \ left (x \ right): x \ in S \ right \} $ đạt mức tối thiểu.

Bằng chứng

Vì S không rỗng và có giới hạn nên tồn tại một giới hạn dưới.

$ \ alpha = Inf \ left \ {f \ left (x \ right): x \ in S \ right \} $

Bây giờ, hãy để $ S_j = \ left \ {x \ trong S: \ alpha \ leq f \ left (x \ right) \ leq \ alpha + \ delta ^ j \ right \} \ forall j = 1,2, ... $ và $ \ delta \ in \ left (0,1 \ right) $

Theo định nghĩa của infimium, $ S_j $ là không rỗng, cho mỗi $ j $.

Chọn một số $ x_j \ trong S_j $ để nhận chuỗi $ \ left \ {x_j \ right \} $ với $ j = 1,2, ... $

Vì S bị giới hạn nên dãy cũng bị giới hạn và có một dãy con hội tụ $ \ left \ {y_j \ right \} $, hội tụ thành $ \ hat {x} $. Do đó $ \ hat {x} $ là điểm giới hạn và S bị đóng, do đó, $ \ hat {x} \ tính bằng S $. Vì f liên tục nên $ f \ left (y_i \ right) \ rightarrow f \ left (\ hat {x} \ right) $.

Vì $ \ alpha \ leq f \ left (y_i \ right) \ leq \ alpha + \ delta ^ k, \ alpha = \ displaystyle \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} f \ left (y_i \ right) = f \ left ( \ hat {x} \ right) $

Do đó, $ \ hat {x} $ là giải pháp tối thiểu hóa.

Nhận xét

Có hai điều kiện cần thiết quan trọng để Định lý Weierstrass duy trì. Những điều này như sau:

• Step 1 - Tập hợp S nên là một tập có giới hạn.

  Xét hàm f \ left (x \ right) = x $.

  Nó là một tập hợp không bị ràng buộc và nó có cực tiểu tại bất kỳ điểm nào trong miền của nó.

  Do đó, để cực tiểu thu được, S phải có giới hạn.

• Step 2 - Tập hợp S nên đóng.

  Hãy xem xét hàm $ f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} $ trong miền \ left (0,1 \ right).

  Hàm này không được đóng trong miền đã cho và cực tiểu của nó cũng không tồn tại.

  Do đó, để thu được cực tiểu, S nên đóng.