Điểm cực trị của tập lồi

Cho S là một tập lồi trong $ \ mathbb {R} ^ n $. Một vectơ $ x \ trong S $ được cho là điểm cực trị của S nếu $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $ với $ x_1, x_2 \ trong S $ và $ \ lambda \ trong \ left (0, 1 \ right) \ Rightarrow x = x_1 = x_2 $.

Thí dụ

Step 1 - $ S = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 1 \ right \ } $

Điểm cực trị, $ E = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 1 \ right \} $

Step 2 - $ S = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_1 + x_2 <2, -x_1 + 2x_2 \ leq 2, x_1, x_2 \ geq 0 \ right \ } $

Điểm cực hạn, $ E = \ left \ {\ left (0, 0 \ right), \ left (2, 0 \ right), \ left (0, 1 \ right), \ left (\ frac {2} {3 }, \ frac {4} {3} \ right) \ right \} $

Step 3 - S là đa giác được tạo bởi các điểm $ \ left \ {\ left (0,0 \ right), \ left (1,1 \ right), \ left (1,3 \ right), \ left (-2, 4 \ right), \ left (0,2 \ right) \ right \} $

Điểm cực trị, $ E = \ left \ {\ left (0,0 \ right), \ left (1,1 \ right), \ left (1,3 \ right), \ left (-2,4 \ right) \ right \} $

Nhận xét

• Bất kỳ điểm nào của tập lồi S, có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của các điểm cực trị của nó.

• Nó chỉ đúng với các tập đóng và có giới hạn trong $ \ mathbb {R} ^ n $.

• Nó có thể không đúng với các tập hợp không bị ràng buộc.

k điểm cực trị

Một điểm trong tập lồi được gọi là k cực trị nếu và chỉ khi nó là điểm bên trong của tập lồi k chiều trong S và nó không phải là điểm trong của tập lồi có chiều (k + 1) trong S. Về cơ bản, đối với tập lồi S, k điểm cực trị tạo thành mặt thoáng k chiều.