Hàm Quasiconvex mạnh mẽ
Đặt $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ và S là một tập lồi không rỗng trong $ \ mathbb {R} ^ n $ thì f là hàm chuẩn thực nếu với bất kỳ $ x_1, x_2 \ trong S $ với $ \ left (x_1 \ right) \ neq \ left (x_2 \ right) $, chúng ta có $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \: \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $
Định lý
Một hàm quasiconvex $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ trên một tập lồi không rỗng S trong $ \ mathbb {R} ^ n $ là hàm quasiconvex mạnh mẽ nếu nó không phải là hằng số trên một đoạn thẳng nối bất kỳ điểm của S.
Bằng chứng
Gọi f là hàm mặt lồi và nó không phải là hằng số trên một đoạn thẳng nối các điểm bất kỳ của S.
Giả sử f không phải là hàm mặt lồi mạnh.
Hiện có $ x_1, x_2 \ in S $ với $ x_1 \ neq x_2 $ sao cho
$$ f \ left (z \ right) \ geq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ forall z = \ lambda x_1 + \ left (1 - \ lambda \ right) x_2, \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $$
$ \ Rightarrow f \ left (x_1 \ right) \ leq f \ left (z \ right) $ và $ f \ left (x_2 \ right) \ leq f \ left (z \ right) $
Vì f không phải là hằng số nên $ \ left [x_1, z \ right] $ và $ \ left [z, x_2 \ right] $
Vì vậy, tồn tại $ u \ in \ left [x_1, z \ right] $ và $ v = \ left [z, x_2 \ right] $
$$ \ Rightarrow u = \ mu_1x_1 + \ left (1- \ mu_1 \ right) z, v = \ mu_2z + \ left (1- \ mu_2 \ right) x_2 $$
Vì f là quasiconvex,
$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (z \ right) \ right \} = f \ left (z \ right) \ : \: và \: \: f \ left (v \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (z \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $$
$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq f \ left (z \ right) \: \: và \: \: f \ left (v \ right) \ leq f \ left (z \ right) $ $
$$ \ Rightarrow max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right) $$
Nhưng z là điểm bất kỳ giữa u và v, nếu bất kỳ điểm nào trong số chúng bằng nhau thì f là hằng số.
Do đó, $ max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right) $
mâu thuẫn với độ chuẩn của f là $ z \ in \ left [u, v \ right] $.
Do đó f là hàm mặt lồi mạnh.
Định lý
Cho $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ và S là một tập lồi không rỗng trong $ \ mathbb {R} ^ n $. Nếu $ \ hat {x} $ là giải pháp tối ưu cục bộ thì $ \ hat {x} $ là giải pháp tối ưu toàn cục duy nhất.
Bằng chứng
Vì một hàm chuẩn tinh mạnh cũng là hàm chuẩn tinh, do đó giải pháp tối ưu cục bộ là giải pháp tối ưu toàn cục.
Uniqueness - Để f đạt được giải pháp tối ưu toàn cục tại hai điểm $ u, v \ in S $
$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq f \ left (x \ right). \ Forall x \ in S \: \: và \: \: f \ left (v \ right) \ leq f \ left (x \ right). \ forall x \ in S $$
Nếu u là giải pháp tối ưu chung, thì $ f \ left (u \ right) \ leq f \ left (v \ right) $ và $ f \ left (v \ right) \ leq f \ left (u \ right) \ Rightarrow f \ left (u \ right) = f \ left (v \ right) $
$$ f \ left (\ lambda u + \ left (1- \ lambda \ right) v \ right) <max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} = f \ left (u \ right) $$
đó là một mâu thuẫn.
Do đó chỉ tồn tại một giải pháp tối ưu toàn cầu.
Nhận xét
- Một hàm chuẩn tinh mạnh cũng là một hàm chuẩn tinh hoàn toàn lồi.
- Một hàm lồi hoàn toàn có thể có hoặc không phải là chuẩn tinh.
- Một lồi nghiêm ngặt có thể phân biệt được là chuẩn tinh rất lồi.