Hàm Pseudoconvex

Đặt $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ là một hàm phân biệt và S là một tập lồi không rỗng trong $ \ mathbb {R} ^ n $, thì f được cho là giả lồi nếu với mỗi $ x_1, x_2 \ in S $ với $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, chúng ta có $ f \ left (x_2 \ right) \ geq f \ left ( x_1 \ right) $ hoặc tương đương nếu $ f \ left (x_1 \ right)> f \ left (x_2 \ right) $ thì $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right ) <0 $

Chức năng giả lõm

Đặt $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ là một hàm phân biệt và S là một tập lồi không rỗng trong $ \ mathbb {R} ^ n $, thì f được cho là giả lồi nếu với mỗi $ x_1, x_2 \ in S $ với $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, chúng ta có $ f \ left (x_2 \ right) \ leq f \ left ( x_1 \ right) $ hoặc tương đương nếu $ f \ left (x_1 \ right)> f \ left (x_2 \ right) $ thì $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right )> 0 $

Nhận xét

Nếu một hàm vừa giả lồi vừa giả lõm, thì được gọi là pseudolinear.
Một hàm lồi có thể phân biệt được cũng là giả lồi.
Một hàm giả lồi có thể không lồi. Ví dụ,

$ f \ left (x \ right) = x + x ^ 3 $ không lồi. Nếu $ x_1 \ leq x_2, x_ {1} ^ {3} \ leq x_ {2} ^ {3} $

Do đó, $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) = \ left (1 + 3x_ {1} ^ {2} \ right) \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $

Và, $ f \ left (x_2 \ right) -f \ left (x_1 \ right) = \ left (x_2-x_1 \ right) + \ left (x_ {2} ^ {3} -x_ {1} ^ {3 } \ right) \ geq 0 $

$ \ Rightarrow f \ left (x_2 \ right) \ geq f \ left (x_1 \ right) $

Vì vậy, nó là giả lồi.

Một hàm giả lồi là một mặt lồi hoàn toàn. Do đó, mọi cực tiểu cục bộ của giả lồi cũng là cực tiểu toàn cục.

Hàm giả lồi chính xác

Đặt $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ là một hàm phân biệt và S là một tập lồi không rỗng trong $ \ mathbb {R} ^ n $, thì f được cho là giả lồi nếu với mỗi $ x_1, x_2 \ in S $ với $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, chúng ta có $ f \ left (x_2 \ right)> f \ left (x_1 \ right) $ hoặc tương đương nếu $ f \ left (x_1 \ right) \ geq f \ left (x_2 \ right) $ then $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right ) <0 $

Định lý

Gọi f là một hàm giả lồi và giả sử $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $ cho một số $ \ hat {x} \ trong S $, thì $ \ hat {x} $ là tối ưu toàn cục nghiệm của f trên S.

Bằng chứng

Gọi $ \ hat {x} $ là điểm tới hạn của f, tức là $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $

Vì f là hàm giả lồi nên đối với $ x \ in S, $ chúng ta có

$$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) \ left (x- \ hat {x} \ right) = 0 \ Rightarrow f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (x \ right), \ forall x \ in S $$

Do đó, $ \ hat {x} $ là giải pháp tối ưu toàn cầu.

Nhận xét

Nếu f là hàm giả lồi hoàn toàn, thì $ \ hat {x} $ là giải pháp tối ưu toàn cục duy nhất.

Định lý

Nếu f là hàm giả lồi có thể phân biệt được trên S, thì f vừa là chuẩn gần vừa là hàm chuẩn.

Nhận xét

Tổng của hai cầu lồi được xác định trên một tập hợp mở S của $ \ mathbb {R} ^ n $ có thể không phải là giả lồi.
Đặt $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ là một hàm mặt lồi và S là một tập con lồi khác rỗng của $ \ mathbb {R} ^ n $ thì f là giả lồi nếu và chỉ khi mọi điểm tới hạn là một tổng thể cực tiểu của f trên S.
Gọi S là một tập con lồi khác rỗng của $ \ mathbb {R} ^ n $ và $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ là một hàm sao cho $ \ bigtriangledown f \ left (x \ right) \ neq 0 $ cho mỗi $ x \ trong S $ thì f là giả lồi nếu và chỉ khi nó là một hàm chuẩn.