Tối ưu hóa lồi - Hình nón

Tập hợp C khác rỗng trong $ \ mathbb {R} ^ n $ được cho là hình nón với đỉnh 0 nếu $ x \ trong C \ Rightarrow \ lambda x \ trong C \ forall \ lambda \ geq 0 $.

Tập hợp C là một hình nón lồi nếu nó lồi cũng như hình nón.

Ví dụ: $ y = \ left | x \ right | $ không phải là hình nón lồi vì nó không lồi.

Nhưng, $ y \ geq \ left | x \ right | $ là một hình nón lồi vì nó lồi cũng như hình nón.

Note - Một hình nón C lồi khi và chỉ khi với bất kỳ $ x, y \ trong C, x + y \ trong C $.

Bằng chứng

Vì C là hình nón, cho $ x, y \ in C \ Rightarrow \ lambda x \ in C $ và $ \ mu y \ in C \: \ forall \: \ lambda, \ mu \ geq 0 $

C là lồi nếu $ \ lambda x + \ left (1- \ lambda \ right) y \ in C \: \ forall \: \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

Vì C là hình nón nên $ \ lambda x \ trong C $ và $ \ left (1- \ lambda \ right) y \ trong C \ Leftrightarrow x, y \ in C $

Do đó C là lồi nếu $ x + y \ in C $

Nói chung, nếu $ x_1, x_2 \ in C $ thì $ \ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \ in C, \ forall \ lambda_1, \ lambda_2 \ geq 0 $

Ví dụ

• Hợp số conic của tập vectơ vô hạn trong $ \ mathbb {R} ^ n $ là một hình nón lồi.

• Mọi tập hợp rỗng đều là một hình nón lồi.

• Bất kỳ hàm tuyến tính nào là một hình nón lồi.

• Vì một siêu phẳng là tuyến tính, nó cũng là một hình nón lồi.

• Các nửa không gian đóng cũng là hình nón lồi.

Note - Giao của hai hình nón lồi là một hình nón lồi nhưng hợp của chúng có thể là một hình nón lồi.