Tối ưu hóa lồi - Định mức

Chuẩn là một hàm cung cấp giá trị dương cho một vectơ hoặc một biến.

Norm là một hàm $ f: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $

Các đặc điểm cơ bản của quy phạm là -

Gọi $ X $ là một vectơ sao cho $ X \ in \ mathbb {R} ^ n $

$ \ left \ | x \ right \ | \ geq 0 $
$ \ left \ | x \ right \ | = 0 \ Left rightarrow x = 0 \ forall x \ in X $
$ \ left \ | \ alpha x \ right \ | = \ left | \ alpha \ right | \ left \ | x \ right \ | \ forall \: x \ in X và \: \ alpha \: is \: a \: vô hướng $
$ \ left \ | x + y \ right \ | \ leq \ left \ | x \ right \ | + \ left \ | y \ right \ | \ forall x, y \ in X $
$ \ left \ | xy \ right \ | \ geq \ left \ | \ left \ | x \ right \ | - \ left \ | y \ right \ | \ right \ | $

Theo định nghĩa, định mức được tính như sau:

$ \ left \ | x \ right \ | _1 = \ displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | $
$ \ left \ | x \ right \ | _2 = \ left (\ displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ 2 \ right) ^ {\ frac {1} {2}} $
$ \ left \ | x \ right \ | _p = \ left (\ displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ p \ right) ^ {\ frac {1} {p}}, 1 \ leq p \ leq \ infty $

Định mức là một hàm liên tục.

Bằng chứng

Theo định nghĩa, nếu $ x_n \ rightarrow x $ trong $ X \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $ thì $ f \ left (x \ right) $ là một hàm hằng.

Cho $ f \ left (x \ right) = \ left \ | x \ right \ | $

Vì $ x_n \ rightarrow x $ nên $ \ left \ | x_n-x \ right \ | \ rightarrow 0 $

Do đó $ \ left | f \ left (x_n \ right) -f \ left (x \ right) \ right | \ leq 0 \ Rightarrow \ left | f \ left (x_n \ right) -f \ left (x \ right) \ right | = 0 \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $

Do đó, định mức là một hàm liên tục.