Các hàm Quasiconvex và Quasicon lõm

Cho $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ trong đó $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ là một tập lồi không rỗng. Hàm f được cho là lồi nếu với mỗi $ x_1, x_2 \ trong S $, chúng ta có $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

Ví dụ: $ f \ left (x \ right) = x ^ {3} $

Cho $ f: S \ rightarrow R $ trong đó $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ là một tập lồi không rỗng. Hàm f được cho là chuẩn lồi nếu với mỗi $ x_1, x_2 \ trong S $, chúng ta có $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ geq min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

Nhận xét

  • Mọi hàm lồi đều là quasiconvex nhưng điều ngược lại là không đúng.
  • Một hàm có cả mặt phẳng và mặt lõm được gọi là quasimonotone.

Định lý

Cho $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ và S là một tập lồi không rỗng trong $ \ mathbb {R} ^ n $. Hàm f là chuẩn lồi khi và chỉ khi $ S _ {\ alpha} = \ left (x \ in S: f \ left (x \ right) \ leq \ alpha \ right \} $ lồi cho mỗi số thực \ alpha $

Bằng chứng

Cho f là mặt phẳng lồi trên S.

Cho $ x_1, x_2 \ in S _ {\ alpha} $ do đó $ x_1, x_2 \ in S $ và $ max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha $

Đặt $ \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ và để $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right) , f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ Rightarrow x \ in S $

Do đó, $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha $

Do đó, $ S _ {\ alpha} $ là lồi.

ngược

Cho $ S _ {\ alpha} $ lồi với mỗi $ \ alpha $

$ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $

$ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $

Cho $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $

Đối với $ x_1, x_2 \ in S _ {\ alpha}, \ alpha = max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $

$ \ Rightarrow \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ trong S _ {\ alpha} $

$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ alpha $

Do đó đã chứng minh.

Định lý

Cho $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ và S là một tập lồi không rỗng trong $ \ mathbb {R} ^ n $. Hàm f là chuẩn xác định nếu và chỉ khi $ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ trong S: f \ left (x \ right) \ geq \ alpha \ right \} $ lồi cho mỗi số thực $ \ alpha $.

Định lý

Cho $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ và S là một tập lồi không rỗng trong $ \ mathbb {R} ^ n $. Hàm f là quasimonotone nếu và chỉ khi $ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ trong S: f \ left (x \ right) = \ alpha \ right \} $ lồi cho mỗi số thực $ \ alpha $.