Các hàm Quasiconvex và Quasicon lõm

Cho $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ trong đó $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ là một tập lồi không rỗng. Hàm f được cho là lồi nếu với mỗi $ x_1, x_2 \ trong S $, chúng ta có $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

Ví dụ: $ f \ left (x \ right) = x ^ {3} $

Cho $ f: S \ rightarrow R $ trong đó $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ là một tập lồi không rỗng. Hàm f được cho là chuẩn lồi nếu với mỗi $ x_1, x_2 \ trong S $, chúng ta có $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ geq min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

Nhận xét

Mọi hàm lồi đều là quasiconvex nhưng điều ngược lại là không đúng.
Một hàm có cả mặt phẳng và mặt lõm được gọi là quasimonotone.

Định lý

Cho $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ và S là một tập lồi không rỗng trong $ \ mathbb {R} ^ n $. Hàm f là chuẩn lồi khi và chỉ khi $ S _ {\ alpha} = \ left (x \ in S: f \ left (x \ right) \ leq \ alpha \ right \} $ lồi cho mỗi số thực \ alpha $

Bằng chứng

Cho f là mặt phẳng lồi trên S.

Cho $ x_1, x_2 \ in S _ {\ alpha} $ do đó $ x_1, x_2 \ in S $ và $ max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha $

Đặt $ \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ và để $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right) , f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ Rightarrow x \ in S $

Do đó, $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha $

Do đó, $ S _ {\ alpha} $ là lồi.

ngược

Cho $ S _ {\ alpha} $ lồi với mỗi $ \ alpha $

$ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $

$ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $

Cho $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $

Đối với $ x_1, x_2 \ in S _ {\ alpha}, \ alpha = max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $

$ \ Rightarrow \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ trong S _ {\ alpha} $

$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ alpha $

Do đó đã chứng minh.

Định lý

Cho $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ và S là một tập lồi không rỗng trong $ \ mathbb {R} ^ n $. Hàm f là chuẩn xác định nếu và chỉ khi $ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ trong S: f \ left (x \ right) \ geq \ alpha \ right \} $ lồi cho mỗi số thực $ \ alpha $.

Định lý

Cho $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ và S là một tập lồi không rỗng trong $ \ mathbb {R} ^ n $. Hàm f là quasimonotone nếu và chỉ khi $ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ trong S: f \ left (x \ right) = \ alpha \ right \} $ lồi cho mỗi số thực $ \ alpha $.