Định lý Caratheodory

Gọi S là một tập tùy ý trong $ \ mathbb {R} ^ n $. Nếu $ x \ in Co \ left (S \ right) $, thì $ x \ in Co \ left (x_1, x_2, ...., x_n, x_ {n + 1} \ right) $.

Bằng chứng

Vì $ x \ in Co \ left (S \ right) $ nên $ x $ được biểu diễn bằng tổ hợp lồi của một số hữu hạn các điểm trong S, tức là

$ x = \ displaystyle \ sum \ limit_ {j = 1} ^ k \ lambda_jx_j, \ displaystyle \ sum \ limit_ {j = 1} ^ k \ lambda_j = 1, \ lambda_j \ geq 0 $ và $ x_j \ in S, \ forall j \ in \ left (1, k \ right) $

Nếu $ k \ leq n + 1 $, kết quả nhận được hiển nhiên là true.

Nếu $ k \ geq n + 1 $ thì $ \ left (x_2-x_1 \ right) \ left (x_3-x_1 \ right), ....., \ left (x_k-x_1 \ right) $ phụ thuộc tuyến tính .

$ \ Rightarrow \ tồn tại \ mu _j \ in \ mathbb {R}, 2 \ leq j \ leq k $ (không phải tất cả đều là 0) sao cho $ \ displaystyle \ sum \ limit_ {j = 2} ^ k \ mu _j \ left (x_j-x_1 \ right) = 0 $

Xác định $ \ mu_1 = - \ displaystyle \ sum \ limit_ {j = 2} ^ k \ mu _j $, rồi đến $ \ displaystyle \ sum \ limit_ {j = 1} ^ k \ mu_j x_j = 0, \ displaystyle \ sum \ giới hạn_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $

trong đó không phải tất cả $ \ mu_j's $ đều bằng 0. Vì $ \ displaystyle \ sum \ limit_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $, nên ít nhất một trong các $ \ mu_j> 0,1 \ leq j \ leq k $

Sau đó, $ x = \ displaystyle \ sum \ limit_ {1} ^ k \ lambda_j x_j + 0 $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limit_ {1} ^ k \ lambda_j x_j- \ alpha \ displaystyle \ sum \ limit_ {1} ^ k \ mu_j x_j $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limit_ {1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) x_j $

Chọn $ \ alpha $ sao cho $ \ alpha = min \ left \ {\ frac {\ lambda_j} {\ mu_j}, \ mu_j \ geq 0 \ right \} = \ frac {\ lambda_j} {\ mu _j}, $ cho một số $ i = 1,2, ..., k $

Nếu $ \ mu_j \ leq 0, \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0 $

Nếu $ \ mu_j> 0 thì \: \ frac {\ lambda _j} {\ mu_j} \ geq \ frac {\ lambda_i} {\ mu _i} = \ alpha \ Rightarrow \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0, j = 1,2, ... k $

Cụ thể, $ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $, theo định nghĩa của $ \ alpha $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limit_ {j = 1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) x_j $, ở đâu

$ \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq0 $ và $ \ displaystyle \ sum \ limit_ {j = 1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) = 1 $ và $ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $

Do đó, x có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của nhiều nhất (k-1) điểm.

Quá trình giảm này có thể được lặp lại cho đến khi x được biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của (n + 1) phần tử.