Argumentation - Ungleichheit

Die Kombination zweier elementarer Probleme ist an den Problemen beteiligt, die auf Ungleichheit und codierter Ungleichheit beruhen.

Bei dieser Art von Problemen wird das Codierungsschema vollständig in der Frage selbst angegeben. Ungleichheiten in einem bestimmten Problem zu entschlüsseln, würde nicht mehr Kopfschmerzen bedeuten als ein paar zusätzliche Sekunden.

Im Wesentlichen handelt es sich um ein Problem der Ungleichheit, und dieser Aspekt sollte gemeistert werden. Daher lernen wir zuerst die Grundlagen von Ungleichheiten.

Wir kennen das Ergebnis der Multiplikation zwischen 5 und 3 und die Zahl 15 sind equal. Seit sie sindequalist es Gleichheit, aber im Fall 5 × 5 ≠ 15 ist das Produkt von 5 und 5 not equal für die Zahl 15 ist es eine Ungleichung.

Greater than- Es wird mit> bezeichnet. Zum Beispiel 5 × 5> 15

Less than- Es wird mit <bezeichnet. Zum Beispiel 5 × 2 <15

Greater than or equal to- Es wird mit ≥ bezeichnet. Wenn wir den genauen Zustand der Ungleichung zwischen zwei Zahlen nicht kennen, verwenden wir dieses Symbol. Betrachten Sie zum Beispiel zwei Zahlenx und q. Wir wissen dasx is not less than q. In diesem Fall kann x entweder gleich q oder größer als q sein. Also verwenden wir das Vorzeichen ≥.

Less than or equal to- Es wird mit ≤ bezeichnet. Wenn eine Zahl entweder kleiner als eine andere Zahl oder gleich dieser Zahl ist, wird dieses Symbol verwendet. Betrachten Sie zum Beispiel zwei ZahlenX und B wo X is not greater than B. In diesem Fall ist X kleiner oder gleich B. Es kann also als dargestellt werdenX ≤ B.

Zwei goldene Regeln zum Kombinieren von Ungleichungen lauten wie folgt:

A common term can combine two inequalities.

Example 1

Inequality - A> B, C> D.

Hier werden vier Begriffe verwendet, aber es gibt keinen gemeinsamen Begriff. Diese beiden Ungleichungen können also nicht kombiniert werden.

Example 2

Inequality - A ≤ B, X ≥ Y.

Hier fehlt also auch der gebräuchliche Begriff. Sie können also nicht kombiniert werden.

If the common term is higher than one and less than the other, both the inequalities can be combined.

Example 1

Inequality - P> X, X> C.

Hier ist der übliche Begriff X. X ist größer als C, aber kleiner als P. Die Kombination lautet also wie folgt: P> X> C oder C <X <P.

Example 2

Inequality - X <P, X ≥ C.

Hier ist X kleiner als P und höher als oder gleich Term C. Da X gemeinsam ist, ist die Kombination möglich. Das heißt - P> X ≥ C oder C ≤ X <P.

Ableiten einer Schlussfolgerung aus einer kombinierten Ungleichung -

Eine andere Regel, the third golden rulewird verwendet, um eine Schlussfolgerung aus einer kombinierten Ungleichung abzuleiten, ist wie folgt:

Fügen Sie zwei Ungleichungen hinzu und leiten Sie eine Schlussfolgerung ab, indem Sie die Mittelfrist verschwinden lassen. Die Schlussfolgerung Ungleichung hat genau dann ≥ Vorzeichen, wenn beide Vorzeichen in der kombinierten Ungleichung ≥ waren und umgekehrt.

Daher hat die Schlussfolgerung normalerweise streng ein> -Zeichen, es sei denn, das ≥-Zeichen erscheint zweimal in der kombinierten Ungleichung.

Example 1 - Schliessen Sie eine Schlussfolgerung aus folgenden kombinierten Ungleichungen.

i. x> y> z

ii. x <y <z

Solution - -

i. x> z

ii. x <z

Strategie zur Lösung von Problemen mit Ungleichheit und codierter Ungleichheit

Die zur Lösung der Probleme erforderlichen Schritte sind wie folgt:

Step 1 - Dekodieren Sie das Symbol, das sich auf die arithmetische Operation bezieht, ordentlich und schnell.

Example- Vorausgesetzt, P α Q. bedeutet P> Q. Ersetzen Sie daher α durch>. Sie sollten jeweils einen Code nehmen und durch das ursprüngliche mathematische Symbol ersetzen, bevor Sie mit dem nächsten Code fortfahren. Sie sollten dies schnell tun.

Step 2 - Nehmen Sie jeweils eine Schlussfolgerung und entscheiden Sie, welche Aussagen für die Bewertung der Schlussfolgerung relevant sind.

Dies erfordert einige Überlegungen. Was meinst du mit einer relevanten Aussage? Hier meinen wir die Aussage, die nicht nutzlos ist, um eine Schlussfolgerung abzuleiten. Wenn es eine Schlussfolgerung gibt, sagen wir x> y, dann ist eine Aussage wie a> b nutzlos, weil sie weder x noch y enthält. Daher kann uns keine Analyse etwas über diese Schlussfolgerung sagen. Die relevanten Aussagen sind diejenigen, die kombiniert werden können, um diese Schlussfolgerung zu beweisen oder zu widerlegen. Diese Aussage ist also für x> y nicht relevant.

Um zu entscheiden, welche Aussage für eine Schlussfolgerung relevant ist, nehmen Sie zwei Begriffe einer bestimmten Schlussfolgerung und prüfen Sie, ob jeder von ihnen separat mit einem einzigen gemeinsamen Begriff erscheint. Diese Aussagen sind relevante Aussagen.

Example - Angenommen, nach Ausführung von Schritt 1 haben wir folgende Aussage;

M> N, L = M, O> N, L ≤ K.

Conclusion - -

a) M <K, b) L> N.

Step 3- Verwenden Sie drei goldene Regeln, um relevante Aussagen zu kombinieren und daraus eine Schlussfolgerung zu ziehen. Goldene Regeln sind;

Rule 1 - Es muss einen gemeinsamen Begriff geben.

Rule 2 - Der gemeinsame Begriff muss kleiner oder gleich einem Begriff und größer oder gleich einem anderen sein.

Rule 3- Die Schlussfolgerung ist, dass Ungleichung erhalten wird, indem der gemeinsame Begriff verschwinden gelassen wird und er genau dann ein Vorzeichen von ≤ oder ≥ hat, wenn beide Ungleichungen im zweiten Schritt ein Vorzeichen von ≤ oder ein Vorzeichen von ≥ hatten. In allen anderen Fällen wird in der Schlussfolgerung ein <- oder> Zeichen angezeigt.

Für Schlussfolgerung a (M <K) sind die relevanten Aussagen

M = L und L ≤ K.

Durch Kombinieren erhalten wir M = L <K

Also ist M ≤ K (gemäß Schritt 3)

Nun bedeutet M ≤ K nicht, dass M <K ist, weil M ≤ K zulässt, dass M kleiner oder gleich K ist, was im Fall von M <K nicht wahr ist.

Für Schlussfolgerung b sind relevante Aussagen

M> N und L = M.

Nach dem Kombinieren erhalten wir L = M> N L> N.

Daher ist die Schlussfolgerung gut und gut bestätigt. Also L> N. Wenn nicht, führen Sie die folgenden Überprüfungen durch.

Check 1 - Überprüfen Sie, ob die Schlussfolgerung direkt aus nur einer bestimmten Aussage folgt.

Manchmal kann die Aussage in Form von A ≥ B sein und eine Schlussfolgerung kann in Form von B ≤ A sein. Natürlich sind beide völlig identisch, aber manchmal neigen wir dazu, solche kleinen Tricks des Prüfers zu ignorieren.

Example - Betrachten Sie Folgendes: (α bedeutet>, β bedeutet ≥, γ bedeutet =, δ bedeutet <, η bedeutet ≤)

Es sei die gegebene Aussage: E & ggr; F, C & dgr; D, F & dgr; g, D & bgr; F.

Conclusion - - 1. G η F.

Hier ist die Schlussfolgerung G η F oder G ≤ F und sie ist identisch mit F β G oder F ≥ G. Daher folgt sie direkt aus einer einzelnen Aussage.

Check 2 - Die Schlussfolgerung, zu der Sie nach dem dritten Schritt gelangen, ist möglicherweise identisch mit der angegebenen Schlussfolgerung, obwohl sie auf den ersten Blick möglicherweise nicht so aussieht.

Check 3 - Wenn Sie nach dem dritten Schritt eine Schlussfolgerung mit einem ≥ -Zeichen erhalten und zwei gegebene Schlussfolgerungen ein> -Zeichen und ein = -Zeichen zwischen denselben Begriffen haben, ist die Auswahl entweder 1 oder 2 richtig.

For Example- Angenommen, Sie erreichen nach dem dritten Schritt A ≥ B. Nehmen wir nun an, die gegebenen Schlussfolgerungen sind - I) A> B und II) A = B. Dann ist die Wahl „entweder I oder II folgt“ richtig.

Wenn Sie zu dem Schluss kommen, dass M ≤ N und die gegebenen Schlussfolgerungen I) M <N und II) M = N sind, folgt wiederum dieselbe Antwort.

Check 4 - Wenn zwei gegebene Schlussfolgerungen die unten angegebenen Zeichen zwischen denselben Begriffen haben

a) ≤ und> Zeichen oder

b) <und> Zeichen oder

c) > und ≤ Zeichen oder

d) ≥ und <Zeichen

und wenn keine der Schlussfolgerungen in einem der obigen Schritte akzeptiert wurde; Die Wahl einer der beiden folgenden ist richtig.

Angenommen, in einer bestimmten Frage sind die Schlussfolgerungen

a) A ≥ B b) A <B

Nehmen wir nun an, dass keiner von ihnen aufgrund vorhergehender Schritte als wahr erwiesen wurde. Da sie das gleiche Paar (A und B) haben und die Vorzeichen ≥ und <sind; Die folgende Wahl ist richtig.

Note- Check 4 zeigt lediglich an, dass eine Nummer nur drei Positionen gegenüber einer anderen Nummer haben kann. Sie kann entweder kleiner oder gleich oder größer als die andere sein.

Dies gilt universell für zwei beliebige Zahlen. Das heißt, [A ≤ B oder A> B] ist eine allgemein korrekte Aussage, da A entweder (kleiner oder gleich) oder (größer als) B sein kann.

Somit sind für zwei beliebige Zahlen A und B die folgenden immer korrekt -

I. A ≤ B oder A <B

II. A <B oder A> B.

III. A> B oder A ≤ B.

IV. A ≥ B oder A <B

Diese vier Paare heißen complementary pairs. In solchen Fällen ist immer eine von zwei Aussagen wahr. Wir wählen "entweder folgt" als Antwort. Denken Sie jedoch daran, dass wir dies nur dann als unsere Antwort wählen, wenn keine der beiden Aussagen in einem vorherigen Schritt anderweitig bewiesen wurde.