Kosmologi - Jarak Diameter Sudut
Dalam bab ini, kita akan memahami apa itu Jarak Diameter Sudut dan bagaimana hal itu membantu dalam Kosmologi.
Untuk alam semesta saat ini -
$ \ Omega_ {m, 0} \: = \: 0,3 $
$ \ Omega _ {\ irisan, 0} \: = \: 0,69 $
$ \ Omega_ {rad, 0} \: = \: 0,01 $
$ \ Omega_ {k, 0} \: = \: 0 $
Kami telah mempelajari dua jenis jarak sampai sekarang -
Proper distance (lp) - Jarak yang ditempuh foton dari sumber ke kita, yaitu The Instantaneous distance.
Comoving distance (lc) - Jarak antar objek dalam ruang yang tidak meluas, yaitu, distance in a comoving frame of reference.
Jarak sebagai Fungsi Pergeseran Merah
Pertimbangkan galaksi yang memancarkan foton pada suatu waktu t1 yang terdeteksi oleh pengamat di t0. Kita dapat menulis jarak yang tepat ke galaksi sebagai -
$$ l_p = \ int_ {t_1} ^ {t_0} cdt $$
Biarkan pergeseran merah galaksi terjadi z,
$$ \ Rightarrow \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t} = - \ frac {1} {a ^ 2} \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t} = - \ frac {\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t}} {a} \ frac {1} {a} $$
$$ \ karena itu \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t} = - \ frac {H (z)} {a} $$
Sekarang, galaksi bergerak jarak kapan saja t akan -
$$ l_c = \ frac {l_p} {a (t)} $$
$$ l_c = \ int_ {t_1} ^ {t_0} \ frac {cdt} {a (t)} $$
Dari segi z,
$$ l_c = \ int_ {t_0} ^ {t_1} \ frac {cdz} {H (z)} $$
Ada dua cara untuk mencari jarak, yaitu sebagai berikut -
Hubungan Fluks-Luminositas
$$ F = \ frac {L} {4 \ pi d ^ 2} $$
dimana d adalah jarak di sumbernya.
Jarak Diameter Sudut Sumber
Jika kita mengetahui ukuran sumber, lebar sudutnya akan memberi tahu kita jaraknya dari pengamat.
$$ \ theta = \ frac {D} {l} $$
dimana l adalah jarak diameter sudut dari sumber.
θ adalah ukuran sudut sumber.
D adalah ukuran sumbernya.
Pertimbangkan galaksi berukuran D dan ukuran sudut dθ.
Kami tahu itu,
$$ d \ theta = \ frac {D} {d_A} $$
$$ \ oleh karena itu D ^ 2 = a (t) ^ 2 (r ^ 2 d \ theta ^ 2) \ quad \ karena dr ^ 2 = 0; \: d \ phi ^ 2 \ sekitar 0 $$
$$ \ Rightarrow D = a (t) rd \ theta $$
Berubah r untuk rc, jarak galaksi yang sedang bergerak, kita memiliki -
$$ d \ theta = \ frac {D} {r_ca (t)} $$
Di sini, jika kita memilih t = t0, kami akhirnya mengukur jarak saat ini ke galaksi. TapiDdiukur pada saat emisi foton. Oleh karena itu, dengan menggunakant = t0, kita mendapatkan jarak yang lebih jauh ke galaksi dan karenanya meremehkan ukurannya. Oleh karena itu, kita harus memanfaatkan waktut1.
$$ \ oleh karena itu d \ theta = \ frac {D} {r_ca (t_1)} $$
Membandingkan ini dengan hasil sebelumnya, kita mendapatkan -
$$ d_ \ wedge = a (t_1) r_c $$
$$ r_c = l_c = \ frac {d_ \ wedge} {a (t_1)} = d_ \ wedge (1 + z_1) \ quad \ karena 1 + z_1 = \ frac {1} {a (t_1)} $$
Karena itu,
$$ d_ \ wedge = \ frac {c} {1 + z_1} \ int_ {0} ^ {z_1} \ frac {dz} {H (z)} $$
dA adalah Jarak Diameter Sudut untuk objek.
Poin untuk Diingat
Jika kita mengetahui ukuran sumber, lebar sudutnya akan memberi tahu kita jaraknya dari pengamat.
Jarak yang tepat adalah jarak yang ditempuh foton dari sumber ke kita.
Comoving distance adalah jarak antar objek dalam suatu ruang yang tidak meluas.