Persamaan Friedmann & Model Dunia
Dalam bab ini, kita akan memahami apa itu Persamaan Friedmann dan mempelajari secara rinci tentang Model Dunia untuk konstanta kelengkungan yang berbeda.
Persamaan Friedmann
Persamaan ini memberi tahu kita tentang perluasan ruang dalam model alam semesta homogen dan isotropik.
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {2U} {mr_c ^ 2a ^ 2} $ $
Ini telah diubah dalam konteks General Relativity (GR) dan Robertson-Walker Metric sebagai berikut.
Menggunakan persamaan GR -
$$ \ frac {2U} {mr_c ^ 2} = -kc ^ 2 $$
Dimana kadalah konstanta kelengkungan. Karena itu,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $ $
Juga, $ \ rho $ diganti dengan kerapatan energi yang mencakup materi, radiasi, dan bentuk energi lainnya. Tetapi untuk tujuan representasi, itu ditulis sebagai $ \ rho $.
Model Dunia untuk Konstanta Kelengkungan yang Berbeda
Sekarang mari kita lihat berbagai kemungkinan tergantung pada nilai konstanta kelengkungan.
Kasus 1: k = 1, atau Alam Semesta Tertutup
Untuk alam semesta yang mengembang, $ da / dt> 0 $. Saat ekspansi berlanjut, suku pertama di kanan persamaan di atas menjadi $ a ^ {- 3} $, sedangkan suku kedua menjadi $ a ^ {- 2} $. Ketika dua suku menjadi sama, alam semesta menghentikan ekspansi. Lalu -
$$ \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho = \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $$
Di sini, k = 1, oleh karena itu,
$$ a = \ kiri [\ frac {3c ^ 2} {8 \ pi G \ rho} \ kanan] ^ {\ frac {1} {2}} $$
Alam semesta seperti itu terbatas dan memiliki volume yang terbatas. Ini disebut Semesta Tertutup.
Kasus 2: k = -1, atau Open Universe
Jika k < 0, ekspansi tidak akan pernah berhenti. Setelah beberapa saat, istilah pertama di kanan dapat diabaikan dibandingkan dengan istilah kedua.
Di sini, k = -1. Oleh karena itu, $ da / dt ∼ c $.
Dalam hal ini, alam semesta meluncur. Alam semesta seperti itu memiliki ruang dan waktu yang tidak terbatas. Ini disebut Alam Semesta Terbuka.
Kasus 3: k = 0, atau Alam Semesta Datar
Dalam kasus ini, alam semesta mengembang dengan laju yang semakin berkurang. Di sini, k = 0. Oleh karena itu,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho $$
Alam semesta seperti itu memiliki ruang dan waktu yang tidak terbatas. Ini disebut Alam Semesta Datar.
Poin untuk Diingat
Persamaan Friedmann memberi tahu kita tentang perluasan ruang dalam model alam semesta homogen dan isotropik.
Bergantung pada nilai konstanta kelengkungan yang berbeda, kita dapat memiliki Semesta Tertutup, Terbuka atau Datar.