Parameter Hubble & Faktor Skala

Pada bab ini, kita akan membahas tentang Parameter Hubble serta Faktor Skala.

• Prerequisite - Pergeseran Merah Kosmologis, Prinsip Kosmologis.

• Assumption - Alam semesta itu homogen dan isotropik.

Konstanta Hubble dengan Fractional Rate of Change of Scale Factor

Pada bagian ini, kita akan menghubungkan Konstanta Hubble dengan laju pecahan Faktor Skala Perubahan.

Kecepatan dapat dituliskan dengan cara berikut dan disederhanakan.

$$ v = \ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} $$

$$ = \ frac {d [a (t) r_c} {dt} $$

$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast (ar_c) $$

$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast r_p $$

Sini, v adalah kecepatan resesi, a adalah faktor skala dan r_p adalah jarak yang tepat antar galaksi.

Hubble’s Empirical Formula adalah dari alam -

$$ v = H \ ast r_p $$

Jadi, membandingkan dua persamaan di atas yang kita peroleh -

Hubble’s Parameter = Fractional rate of change of the scale factor

$$ H = da / dt \ ast 1 / a $$

Note- Ini bukan konstanta karena faktor skala adalah fungsi waktu. Karenanya ini disebut parameter Hubble dan bukan konstanta Hubble.

Secara empiris kami menulis -

$$ H = V / D $$

Jadi, dari persamaan ini, kita dapat menyimpulkan bahwa sejak D meningkat dan V adalah konstanta H berkurang seiring waktu dan perluasan alam semesta.

Persamaan Friedmann dalam Hubungannya dengan Model Robertson-Walker

Pada bagian ini, kita akan memahami bagaimana Persamaan Friedmann digunakan dalam hubungannya dengan model Robertson-Walker. Untuk memahami ini, mari kita ambil gambar berikut yang memiliki massa uji pada jarakr_p dari tubuh massa M sebagai contoh.

Mempertimbangkan gambar di atas, kita dapat mengekspresikan gaya sebagai -

$$ F = G \ ast M \ ast \ frac {m} {r ^ 2_p} $$

Sini, G adalah konstanta gravitasi universal dan ρ adalah kerapatan materi di dalam alam semesta teramati.

Sekarang, dengan asumsi kerapatan massa seragam dalam bola kita dapat menulis -

$$ M = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast r_p ^ 3 \ ast \ rho $$

Menggunakan ini kembali dalam persamaan gaya kita, kita dapatkan -

$$ F = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p \ ast \ rho \ ast m $$

Jadi, kita dapat menuliskan energi potensial dan energi kinetik dari massa tersebut m sebagai -

$$ V = - \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r ^ 2_p \ ast m \ ast \ rho $$

$$ KE = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ frac {\ mathrm {d} r_p ^ 2} {\ mathrm {d} t} $$

Menggunakan Virial Theorem -

$$ U = KE + V $$

$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} \ kanan) ^ 2 - \ frac {4} { 3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$

Tapi di sini, $ r_p = ar_c $. Jadi, kami mendapatkan -

$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ kanan) ^ 2 r_c ^ 2 - \ frac { 4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$

Pada penyederhanaan lebih lanjut, kita mendapatkan persamaan Friedmann,

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi} {3} \ ast G \ ast \ rho + \ frac {2U} {m} \ ast r_c ^ 2 \ ast a ^ 2 $$

Sini Uadalah sebuah konstanta. Kami juga mencatat bahwa alam semesta tempat kita tinggal saat ini didominasi oleh materi, sedangkan kepadatan energi radiasi sangat rendah.

Poin untuk Diingat

• Parameter Hubble berkurang seiring waktu dan perluasan alam semesta.

• Alam semesta tempat kita tinggal saat ini didominasi oleh materi dan kerapatan energi radiasi sangat rendah.