Redshift dan Recessional Velocity
Pengamatan Hubble memanfaatkan fakta bahwa kecepatan radial terkait dengan pergeseran Spectral Lines. Di sini, kita akan mengamati empat kasus dan menemukan hubungan antara Recessional Velocity ($ v_r $) dan Red Shift (z).
Kasus 1: Kasus Non-Relativistik Pemindahan Sumber
Dalam kasus ini, v jauh lebih kecil dari c. Sumber memancarkan beberapa sinyal (suara, cahaya, dll.), Yang disebarkan sebagaiWavefronts. Interval waktu antara pengiriman dua sinyal berturut-turut dalam bingkai sumber adalahΔts. Interval waktu antara penerimaan dua sinyal yang berurutan dalam bingkai pengamat adalahΔto.
Jika pengamat dan sumber tidak bergerak, maka Δts = Δto, tetapi ini tidak terjadi di sini. Sebaliknya, hubungannya adalah sebagai berikut.
$$ \ Delta t_o = \ Delta t_s + \ frac {\ Delta l} {c} $$
Sekarang, $ \ Delta l = v \ Delta t_s $
Juga, karena (kecepatan gelombang x waktu) = panjang gelombang, kita dapatkan
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s} $$
Dari persamaan di atas, kita mendapatkan hubungan berikut -
$$ \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s} = 1 + \ frac {v} {c} $$
di mana $ \ lambda _s $ adalah panjang gelombang sinyal di sumber dan $ \ lambda _o $ adalah panjang gelombang sinyal seperti yang ditafsirkan oleh pengamat.
Di sini, karena sumber menjauh dari pengamat, v positif.
Pergeseran merah -
$$ z = \ frac {\ lambda_o - \ lambda_s} {\ lambda_s} = \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s} - 1 $$
Dari persamaan di atas, kita mendapatkan pergeseran Merah sebagai berikut.
$$ z = \ frac {v} {c} $$
Kasus 2: Kasus Non-Relativistik Pemindahan Pengamat
Dalam kasus ini, v jauh lebih kecil dari c. Di sini, $ \ Delta l $ berbeda.
$$ \ Delta l = v \ Delta t_o $$
Pada penyederhanaan, kami mendapatkan -
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ kiri (1 - \ frac {v} {c} \ kanan) ^ {- 1} $$
Kami mendapatkan shift Merah sebagai berikut -
$$ z = \ frac {v / c} {1-v / c} $$
Sejak v << c, ekspresi pergeseran merah untuk Kasus I dan Kasus II kira-kira sama.
Mari kita lihat bagaimana pergeseran merah yang diperoleh dalam dua kasus di atas berbeda.
$$ z_ {II} - z_I = \ frac {v} {c} \ kiri [\ frac {1} {1 - v / c} -1 \ kanan] $$
Karenanya, $ z_ {II} - z_ {I} $ adalah angka yang sangat kecil karena faktor $ (v / c) ^ 2 $.
Ini menyiratkan bahwa, jika v << c, kita tidak dapat membedakan apakah sumber bergerak, atau pengamat bergerak.
Mari kita sekarang memahami Basics of STR (Teori Relativitas Khusus) -
Kecepatan cahaya adalah sebuah konstanta.
Ketika sumber (atau pengamat) bergerak dengan kecepatan yang sebanding dengan kecepatan cahaya, efek relativistik diamati.
Dilatasi waktu: $ \ Delta t_o = \ gamma \ Delta t_s $
Kontraksi panjang: $ \ Delta l_o = \ Delta t_s / \ gamma $
Di sini, $ \ gamma $ adalah Lorrentz factor, lebih besar dari 1.
$$ \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} $$
Kasus 3: Kasus Relativistik Pemindahan Sumber
Dalam hal ini, v sebanding dengan c. Mengacu pada gambar yang sama seperti pada Kasus I. Karena efek relativistik, dilatasi waktu diamati dan dengan demikian diperoleh hubungan berikut. (Sumber bergerak dengan kecepatan relativistik)
$$ \ Delta t_o = \ gamma \ Delta t_s + \ frac {\ Delta l} {c} $$
$$ \ Delta l = \ frac {v \ gamma \ Delta t_s} {c} $$
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {1 + v / c} {\ sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} $$
Pada penyederhanaan lebih lanjut, kami mendapatkan,
$$ 1 + z = \ sqrt {\ frac {1 + v / c} {1-v / c}} $$
Ekspresi di atas dikenal sebagai Kinematic Doppler Shift Expression.
Kasus 4: Kasus Relativistik Pemindahan Pengamat
Lihat gambar yang sama seperti pada Kasus II. Karena efek relativistik, pemendekan waktu diamati dan karenanya hubungan berikut diperoleh. (Pengamat bergerak dengan kecepatan relativistik)
$$ \ Delta t_o = \ frac {\ Delta t_s} {\ gamma} + \ frac {\ Delta l} {c} $$
$$ \ Delta l = \ frac {v \ Delta t_o} {c} $$
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {\ sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} {1-v / c} $$
Pada penyederhanaan lebih lanjut, kami mendapatkan -
$$ 1 + z = \ sqrt {\ frac {1+ v / c} {1- v / c}} $$
Ekspresi di atas sama dengan yang kita dapatkan untuk Kasus III.
Poin untuk Diingat
Kecepatan resesi dan pergeseran merah sebuah bintang adalah besaran yang terkait.
Dalam kasus non-relativistik, kita tidak dapat menentukan apakah sumbernya bergerak atau diam.
Dalam kasus relativistik, tidak ada perbedaan dalam hubungan kecepatan resesi-pergeseran merah untuk sumber atau pengamat yang bergerak.
Jam bergerak yang bergerak lebih lambat, merupakan akibat langsung dari teori relativitas.