Kosmologi - Alam Semesta yang Didominasi Materi
Dalam bab ini, kita akan membahas Solusi Persamaan Friedmann yang berkaitan dengan Alam Semesta yang Didominasi Materi. Dalam kosmologi, karena kita melihat segala sesuatu dalam skala besar, tata surya, galaksi, segala sesuatu terjadi seperti partikel debu (itulah yang kita lihat dengan mata kita), kita bisa menyebutnya alam semesta berdebu atau alam semesta materi saja.
Dalam Fluid Equation,
$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) \ rho -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right ) \ kiri (\ frac {P} {c ^ 2} \ kanan) $$
Kita bisa lihat ada istilah tekanan. Untuk alam semesta yang berdebu,P = 0, karena rapatan energi materi akan lebih besar dari tekanan radiasi, dan materi tidak bergerak dengan kecepatan relativistik.
Jadi, Persamaan Fluida akan menjadi,
$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) \ rho $$
$$ \ Rightarrow \ dot {\ rho} + 3 \ dot {a} \ rho = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ frac {1} {a ^ 3} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (a ^ 3 \ rho) = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ rho a ^ 3 = \: konstan $$
$$ \ Rightarrow \ rho \ propto \ frac {1} {a ^ 3} $$
Tidak ada intuisi kontra dalam persamaan ini karena kepadatan harus diskalakan sebagai $ a ^ {- 3} $ karena Volume meningkat sebagai $ a ^ 3 $.
Dari hubungan terakhir, kita dapat mengatakan bahwa,
$$ \ frac {\ rho (t)} {\ rho_0} = \ kiri [\ frac {a_0} {a (t)} \ kanan] ^ 3 $$
Untuk alam semesta saat ini, a, yang sama dengan a0 seharusnya 1. Jadi,
$$ \ rho (t) = \ frac {\ rho_0} {a ^ 3} $$
Dalam materi yang didominasi alam semesta datar, k = 0. Jadi, persamaan Friedmann akan menjadi,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho} {3} $$
$$ \ dot {a} ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho a ^ 2} {3} $$
Dengan menyelesaikan persamaan ini, kita akan mendapatkan,
$$ a \ propto t ^ {2/3} $$
$$ \ frac {a (t)} {a_0} = \ kiri (\ frac {t} {t_0} \ kanan) ^ {2/3} $$
$$ a (t) = \ kiri (\ frac {t} {t_0} \ kanan) ^ {2/3} $$
Artinya, alam semesta akan terus bertambah dengan laju yang semakin berkurang. Gambar berikut menunjukkan perluasan Dusty Universe.
Bagaimana ρ Berubah dengan Waktu?
Lihatlah persamaan berikut -
$$ \ frac {\ rho (t)} {\ rho_0} = \ kiri (\ frac {t_0} {t} \ kanan) ^ 2 $$
Kita tahu bahwa faktor skala berubah seiring waktu sebagai $ t ^ {2/3} $. Begitu,
$$ a (t) = \ kiri (\ frac {t} {t_0} \ kanan) ^ {2/3} $$
Membedakannya, kita akan mendapatkan,
$$ \ frac {(da)} {dt} = \ dot {a} = \ frac {2} {3} \ left (\ frac {t ^ {- 1/3}} {t_0} \ kanan) $$
Kami tahu bahwa Hubble Constant adalah,
$$ H (t) = \ frac {\ dot {a}} {a} = \ frac {2} {3t} $$
Ini adalah persamaan untuk Einstein-de sitter Universe. Jika kita ingin menghitung usia alam semesta saat ini,
$$ t_0 = t_ {usia} = \ frac {2} {3H_0} $$
Setelah memasukkan nilai $ H_0 $ untuk jagat raya sekarang, kita akan mendapatkan nilai umur jagat raya sebagai 9 Gyrs. Ada banyakGlobular Cluster di galaksi bima sakti kita yang usianya lebih dari itu.
Itu semua tentang alam semesta yang berdebu. Sekarang, jika Anda berasumsi bahwa alam semesta didominasi oleh radiasi dan bukan oleh materi, maka kerapatan energi radiasi menjadi $ a ^ {- 4} $ bukan $ a ^ {- 3} $. Kami akan melihat lebih banyak di bab berikutnya.
Poin untuk Diingat
Dalam kosmologi, segala sesuatu terjadi seperti partikel debu, oleh karena itu, kita menyebutnya alam semesta berdebu atau alam semesta materi saja.
Jika kita mengasumsikan bahwa alam semesta didominasi oleh radiasi dan bukan oleh materi, maka kerapatan energi radiasi menjadi $ a ^ {- 4} $ bukan $ a ^ {- 3} $.