Kosmologi - Persamaan Fluida
Pada bab ini, kita akan membahas Persamaan Fluida dan bagaimana persamaan ini memberitahu kita tentang kepadatan alam semesta yang berubah seiring waktu.
Memperkirakan ρ c dan ρ di Alam Semesta Saat Ini
Untuk alam semesta saat ini -
$$ \ rho_c \ simeq 10 ^ {11} M_ \ odot M_ {pc} ^ {- 3} \ simeq 10 \: hidrogen \: atom \: m ^ {- 3} $$
Ada berbagai macam kepadatan kritis di luar angkasa kita. Misalnya, untuk media antargalaksi $ \ rho_c $ adalah 1 atom hidrogen $ m ^ {- 3} $, sedangkan untuk awan molekul $ 10 ^ 6 $ atom hidrogen $ m ^ {- 3} $.
Kita harus mengukur $ \ rho_c $ dengan mempertimbangkan sampel ruang yang tepat. Di dalam galaksi kita, nilai $ \ rho_c $ sangat tinggi, tetapi galaksi kita bukanlah perwakilan dari seluruh alam semesta. Jadi, kita harus pergi ke luar angkasa di mana prinsip kosmologis berlaku, yaitu jarak ≈ 300 Mpc. Melihat 300 Mpc berarti melihat 1 miliar tahun yang lalu, tetapi tetaplah alam semesta saat ini.
Survei seperti SDSS dilakukan untuk menentukan kepadatan materi yang sebenarnya. Mereka mengambil volume 5 × 500 × 5 Mpc 3 , menghitung jumlah galaksi dan menambahkan semua cahaya yang datang dari galaksi-galaksi ini. Dengan asumsi bahwa 1 L ≡ 1 M, yaitu 1 Luminositas matahari ≡ 1 Massa matahari.
Kami melakukan konversi ringan ke massa dan kemudian kami mencoba memperkirakan jumlah baryon berdasarkan partikel materi terlihat yang ada dalam volume tersebut.
Sebagai contoh,
$$ 1000L_ \ odot ≡ 1000M_ \ odot / m_p $$
Dimana, m p = massa proton.
Kemudian kita mendapatkan kira-kira kepadatan bilangan baryon $ \ Omega b ∼ = 0,025 $. Ini berarti $ \ rho b = 0,25% $ dari $ \ rho_c $. Survei yang berbeda menghasilkan nilai yang sedikit berbeda. Jadi, di alam semesta lokal, kepadatan jumlah materi yang terlihat jauh lebih sedikit daripada kepadatan kritis, artinya kita hidup di alam semesta terbuka.
Massa dengan faktor 10 tidak dimasukkan dalam survei ini karena survei ini memperhitungkan radiasi elektromagnetik tetapi bukan materi gelap. Memberi, $ \ Omega_m = 0,3 - 0,4 $. Masih menyimpulkan bahwa kita hidup di alam semesta terbuka.
Materi gelap berinteraksi dengan gravitasi. Banyak materi gelap yang dapat menghentikan ekspansi. Kami belum meresmikan bagaimana $ \ rho $ berubah seiring waktu, yang karenanya kami membutuhkan kumpulan persamaan lain.
Termodinamika menyatakan bahwa -
$$ dQ = dU + dW $$
Untuk sistem yang berkembang dalam hal ukuran, $ dW = P dV $. Ekspansi alam semesta dimodelkan sebagai adiabatik yaitu $ dQ = 0 $. Jadi, perubahan volume harus terjadi dari perubahan dU energi internal.
Mari kita ambil volume alam semesta tertentu dari radius yang bergerak unit yaitu $ r_c = 1 $. Jika $ \ rho $ adalah massa jenis materi dalam volume ruang ini, maka,
$$ M = \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3r_c ^ 3 \ rho $$
$$ U = \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3 \ rho c ^ 2 $$
Dimana, Uadalah kepadatan Energi. Mari kita cari tahu perubahan energi internal seiring dengan waktu saat alam semesta berkembang.
$$ \ frac {\ mathrm {d} U} {\ mathrm {d} t} = 4 \ pi a ^ 2 \ rho c ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} + \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3 c ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t} $$
Demikian pula, perubahan volume dengan waktu diberikan oleh,
$$ \ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} t} = 4 \ pi a ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} $$
Mengganti $ dU = −P dV $. Kita mendapatkan,
$$ 4 \ pi a ^ 2 (c ^ 2 \ rho + P) \ dot {a} + \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3c ^ 2 \ dot {\ rho} = 0 $$
$$ \ dot {\ rho} +3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left (\ rho + \ frac {P} {c ^ 2} \ right) = 0 $$
Ini disebut Fluid Equation. Ini memberi tahu kita bagaimana kepadatan alam semesta berubah seiring waktu.
Tekanan turun saat alam semesta mengembang. Pada setiap tekanan instan berubah, tetapi tidak ada perbedaan tekanan antara dua titik dalam volume yang dipertimbangkan, jadi gradien tekanan adalah nol. Hanya material relativistik yang memberikan tekanan, materi tidak memiliki tekanan.
Persamaan Friedmann bersama dengan Persamaan Fluida memodelkan alam semesta.
Poin untuk Diingat
Materi gelap berinteraksi dengan gravitasi. Banyak materi gelap yang dapat menghentikan ekspansi.
Persamaan Fluida memberi tahu kita bagaimana kepadatan alam semesta berubah seiring waktu.
Persamaan Friedmann bersama dengan Persamaan Fluida memodelkan alam semesta.
Hanya material relativistik yang memberikan tekanan, materi tidak memiliki tekanan.