Kosmologi - Metrik Robertson-Walker
Pada bab ini, kita akan memahami secara detail tentang Metrik Robertson-Walker.
Model untuk Faktor Skala Berubah dengan Waktu
Misalkan foton dipancarkan dari galaksi yang jauh. Ruang maju untuk foton ke segala arah. Ekspansi alam semesta ke segala arah. Mari kita lihat bagaimana faktor skala berubah seiring waktu dalam langkah-langkah berikut.
Step 1 - Untuk alam semesta statis, faktor skalanya adalah 1, yaitu nilai jarak comoving adalah jarak antar benda.
Step 2- Gambar berikut adalah grafik alam semesta yang masih mengembang tetapi dengan laju yang semakin berkurang, yang artinya grafik tersebut akan dimulai di masa lalu. Itut = 0 menunjukkan bahwa alam semesta dimulai dari titik itu.
Step 3 - Gambar berikut adalah grafik alam semesta yang mengembang dengan kecepatan yang lebih cepat.
Step 4 - Gambar berikut adalah grafik alam semesta yang mulai berkontraksi dari sekarang.
Jika nilai faktor skala menjadi 0 selama kontraksi alam semesta, itu menyiratkan jarak antara objek menjadi 0, yaitu jarak yang tepat menjadi 0. Jarak tempuh yang merupakan jarak antara benda-benda di alam semesta saat ini, adalah besaran yang konstan. Di masa depan, saat faktor skala menjadi0, semuanya akan semakin dekat. Modelnya bergantung pada komponen alam semesta.
Metrik untuk datar (Euclidean: tidak ada parameter untuk kelengkungan) alam semesta mengembang diberikan sebagai -
$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) \ kiri (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ kanan) $$
Untuk ruang-waktu, elemen garis yang kita peroleh pada persamaan di atas dimodifikasi sebagai -
$$ ds ^ 2 = c ^ 2dt ^ 2 - \ kiri \ {a ^ 2 (t) \ kiri (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ kanan) \ kanan \} $$
Untuk ruang-waktu, waktu saat foton dipancarkan dan saat dideteksi berbeda. Jarak yang tepat adalah jarak sesaat ke objek yang dapat berubah seiring waktu karena perluasan alam semesta. Ini adalah jarak yang ditempuh foton dari objek yang berbeda untuk mencapai kita. Ini terkait dengan jarak comoving sebagai -
$$ d_p = a (t) \ times d_c $$
di mana $ d_p $ adalah jarak yang tepat dan $ d_c $ adalah jarak tempuh, yang tetap.
Jarak yang diukur ke benda-benda di alam semesta saat ini diambil sebagai jarak bergerak, yang berarti jarak bergerak tetap dan tidak berubah oleh pemuaian. Dahulu, faktor skala lebih kecil dari 1, yang menunjukkan bahwa jarak yang tepat lebih kecil.
Kita bisa mengukur pergeseran merah ke galaksi. Karenanya jarak yang tepat $ d_p $ sesuai dengan $ c \ times t (z) $, di mana $ t (z) $ adalah waktu lookback menuju pergeseran merah dan c adalah kecepatan cahaya dalam ruang hampa. Waktu lihat balik adalah fungsi dari pergeseran merah(z).
Berdasarkan pengertian di atas, mari kita analisis bagaimana pergeseran merah kosmologis ditafsirkan dalam skenario $ d_p = a (t) \ times d_c $ ini.
Asumsikan foton (yang terikat dengan bumi) dipancarkan oleh galaksi, G. $ t_ {em} $ sesuai dengan waktu ketika foton dipancarkan; $ a (t_ {em}) $ adalah faktor skala pada saat foton dipancarkan. Pada saat mendeteksi foton, seluruh alam semesta telah mengembang, yaitu foton bergeser merah pada saat pendeteksian. $ T_ {obs} $ berhubungan dengan waktu ketika foton terdeteksi dan faktor skala yang berhubungan adalah $ a (t_ {obs}) $.
Faktor pertumbuhan alam semesta diberikan oleh -
$$ \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} $$
Faktor yang memuai panjang gelombang adalah -
$$ \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} $$
yang sama dengan faktor pertumbuhan alam semesta. Simbol memiliki arti yang biasa. Karena itu,
$$ \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} = \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} $$
Kami tahu pergeseran merah itu (z) adalah -
$$ z = \ frac {\ lambda_ {obs} - \ lambda_ {em}} {\ lambda_ {em}} = \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} - 1 $$
$$ 1 + z = \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} $$
Nilai sekarang dari faktor skala adalah 1, maka $ a (t_ {obs}) = 1 $ dan menunjukkan faktor skala ketika foton dipancarkan di masa lalu oleh $ a (t) $.
Karena itu,
$$ 1 + z = \ frac {1} {a (t)} $$
Interpretasi Redshift dalam Kosmologi
Untuk memahami ini, mari kita ambil contoh berikut: Jika $ z = 2 $ maka $ a (t) = 1/3 $.
Ini menyiratkan bahwa alam semesta telah mengembang dengan faktor tiga sejak cahaya meninggalkan objek itu. Panjang gelombang radiasi yang diterima telah meluas dengan faktor tiga karena ruang angkasa telah mengembang dengan faktor yang sama selama transit dari objek yang memancarkannya. Perlu dicatat bahwa pada nilai yang begitu besarz, pergeseran merah terutama pergeseran merah kosmologis, dan ini bukan ukuran yang valid dari kecepatan resesi aktual objek terhadap kita.
Untuk latar belakang gelombang mikro kosmik (CMB), z = 1089, yang berarti bahwa alam semesta saat ini telah mengembang dengan faktor ∼1090. Metrik untuk alam semesta datar, Euclidean, mengembang diberikan sebagai -
$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2) $$
Kami ingin menulis metrik dalam kelengkungan apa pun.
Robertson and Walker terbukti untuk setiap alam semesta kelengkungan (yang homogen dan isotropik), metrik diberikan sebagai -
$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) \ kiri [\ frac {dr ^ 2} {1-kr ^ 2} + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ kanan] $$
Ini umumnya dikenal sebagai file Robertson–Walker Metricdan berlaku untuk topologi ruang apa pun. Harap perhatikan faktor tambahan dalam $ dr ^ 2 $. Sini adalah konstanta kelengkungan.
Geometri Semesta
Geometri Alam Semesta dijelaskan dengan bantuan Lengkungan berikut, yang meliputi -
- Lengkungan Positif
- Lengkungan Negatif
- Lengkungan Nol
Mari kita pahami masing-masing secara rinci.
Lengkungan Positif
Jika bidang singgung yang digambar pada suatu titik pada permukaan kelengkungan tidak berpotongan pada titik mana pun di permukaan, hal itu disebut permukaan dengan kelengkungan positif yaitu permukaan tetap pada satu sisi bidang singgung pada titik tersebut. Permukaan bola memiliki kelengkungan positif.
Lengkungan Negatif
Jika bidang singgung yang digambar pada suatu titik pada permukaan kelengkungan berpotongan pada titik mana pun di permukaan, hal itu disebut permukaan dengan kelengkungan negatif, yaitu kurva permukaan menjauhi bidang singgung dalam dua arah yang berbeda. Permukaan berbentuk pelana memiliki kelengkungan negatif.
Sekarang perhatikan permukaan bola. Jika sebuah segitiga dibangun di atas permukaan bola dengan menggabungkan tiga titik dengan geodesik (busur lingkaran besar), jumlah sudut interior dari segitiga bulat tersebut lebih besar dari 180 o , yaitu -
$$ \ alpha + \ beta + \ gamma> \ pi $$
Ruang seperti itu disebut ruang lengkung positif. Juga, kelengkungannya homogen dan isotropik. Secara umum, sudut pada simpul dari segitiga bulat mengikuti hubungan -
$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi + A / R ^ 2 $$
dimana A adalah luas segitiga dan Radalah jari-jari bola. Gambar berikut menggambarkan ruang yang melengkung secara positif.
Untuk kelengkungan positif, garis sejajar harus bertemu. Pertimbangkan permukaan bumi, yang merupakan ruang melengkung positif. Ambil dua titik awal di ekuator. Garis-garis yang melintasi ekuator pada sudut siku-siku dikenal sebagai garis bujur. Karena garis-garis ini melintasi ekuator dengan sudut siku-siku, garis-garis ini dapat disebut garis sejajar. Dimulai dari ekuator, mereka akhirnya berpotongan di kutub. Metode ini digunakan olehCarl Gauss dan lainnya untuk memahami topologi bumi.
Pertimbangkan ruang melengkung negatif (sadel ditunjukkan pada gambar berikut), jumlah sudut interior segitiga kurang dari 180 o , yaitu -
$$ \ alpha + \ beta + \ gamma <\ pi $$
Sudut pada simpul mengikuti relasi -
$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi - A / R ^ 2 $$
Lengkungan Nol
Permukaan bidang memiliki kelengkungan nol. Sekarang untuk ruang datar, jika sebuah bidang diambil dan sebuah segitiga dibangun dengan menggabungkan tiga titik dengan geodesik (garis lurus), jumlah sudut interiornya adalah -
$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi $$
Gambar berikut adalah ruang 2 dimensi datar.
Jika seseorang ingin suatu ruang menjadi homogen dan isotropik, hanya tiga kemungkinan yang tersisa: ruang tersebut dapat datar secara seragam atau dapat memiliki kelengkungan positif yang seragam atau dapat memiliki kelengkungan negatif yang seragam.
Konstanta kelengkungan dapat mengasumsikan salah satu dari tiga nilai berikut.
$$ k = \ begin {kasus} +1, & untuk \: a \: positif \: melengkung \: spasi; \\\ quad 0, & untuk \: a \: datar \: spasi; \\ - 1, & untuk \: a \: negatif \: melengkung \: spasi; \ end {kasus} $$
Topologi Global Semesta
Alam semesta memiliki topologi tertentu, tetapi secara lokal dapat memiliki kerutan. Bergantung pada bagaimana materi didistribusikan di dalam ruang, ada variasi yang lebih kecil dalam kelengkungannya. Mari kita asumsikan bahwa ada sebuah kelas benda yang memiliki ukuran sebenarnya yang sama di mana pun ia berada di alam semesta, yang artinya mereka seperti lilin standar. Mereka tidak memiliki kecerahan yang sama, tetapi mereka memiliki ukuran yang sama.
Jika objek berada dalam ruang melengkung positif dan foton berasal dari titik A (salah satu ujung objek) dan B (ujung objek lainnya), foton akan merambat secara paralel dalam ruang melengkung positif melalui jalur geodesik dan akhirnya akan bertemu . Bagi seorang pengamat di C, akan terlihat bahwa itu berasal dari dua titik berbeda dengan arah yang berbeda.
Jika benda tersebut berada di alam semesta lokal dan kita ukur ukuran sudutnya, tidak terpengaruh oleh kelengkungan tersebut. Jika kelas objek yang sama terlihat pada pergeseran merah yang lebih besar, ukuran sudut tidak berkorelasi dengannya.
$$ \ theta = \ frac {d} {r} $$
Dimana d adalah ukuran objek dan radalah jarak ke objek, yaitu jika ukuran lebih besar dari ukuran lokal, berarti kelengkungan positif. Gambar berikut adalah representasi dari foton yang terdeteksi dalam ruang yang melengkung secara positif.
Perlu dicatat bahwa tidak ada objek astrofisika nyata yang berukuran standar dan morfologi. Meskipun cD elips besar - galaksi dianggap sesuai dengan lilin standar, tetapi mereka juga ditemukan berevolusi seiring waktu.
Menemukan Jarak ke Galaksi
Pada bagian ini, kita akan membahas cara mencari jarak ke suatu galaksi dengan memperhatikan gambar berikut.
Pertimbangkan Bima Sakti di (r, θ,) dalam kerangka istirahat kosmologis. Satu dapat mengambil = 0; (0, θ, ϕ), yaitu pusat alam semesta dengan menggunakan asumsi homogenitas.
Pertimbangkan galaksi 'G' di (r1, θ,). Jarak (tepat) adalah jarak radial terpendek yang ditempuh oleh foton. Dari kesimetrian ruang - waktu, geodesik nol dari r = 0 hingga r = r1, memiliki arah konstan dalam ruang. Dalam propagasi radialnya, koordinat sudut tidak berubah. Jika koordinat sudut berubah, maka itu bukan jalur terpendek. Itulah alasan mengapa istilah kelengkungan ada di dr 2 .
Poin untuk Diingat
Ekspansi alam semesta ke segala arah.
Alam semesta bisa statis, mengembang atau menyusut tergantung pada evolusi faktor skala.
Galaksi cD berkembang seiring waktu dan karenanya tidak dapat digunakan sebagai candle standar.
Alam semesta memiliki topologi tertentu, tetapi secara lokal dapat memiliki kerutan.