Expectativa e Independência

Question

Suponha que temos três variáveis ​​aleatórias independentes X, Y e Z, onde $X$ e $Y$ são distribuídos de forma idêntica e $Z$tem uma distribuição simétrica em torno de zero. Intuitivamente, alguém acreditaria que
$$ \Pr(X\le Z |Y\le Z) = \Pr(X\le Z) $$devido à independência. No entanto, não sei por onde começar para provar isso. Se condicionarmos$Z$, então terminamos com uma integral que não é necessariamente simplificada ainda mais: $$ \int_z\Pr(X\le z ,Y\le z) dP(z) = \int_z\Pr(X\le z)\Pr(Y\le z) dP(z) $$Alguma dica? Isso é verdade?

Answer 1

Isso não é verdade em geral, considere o caso em que $Y$é uma constante. Nesse caso, condicionado ao evento de que é menor que$Z$ fornece informações sobre o valor de $Z$.