การแปลงและความสัมพันธ์
การแปลง
การแปลงเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้เพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่างอินพุตและเอาต์พุตของระบบ LTI มันเกี่ยวข้องกับอินพุตเอาต์พุตและการตอบสนองของอิมพัลส์ของระบบ LTI เป็น
$$ y (t) = x (t) * h (t) $$
โดยที่ y (t) = ผลลัพธ์ของ LTI
x (t) = อินพุตของ LTI
h (t) = การตอบสนองของแรงกระตุ้นของ LTI
Convolutions มีสองประเภท:
Convolution ต่อเนื่อง
Convolution แบบไม่ต่อเนื่อง
การเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง
$ y (t) \, \, = x (t) * h (t) $
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $
(หรือ)
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t - \ tau) h (\ tau) d \ tau $
Convolution แบบไม่ต่อเนื่อง
$ y (n) \, \, = x (n) * h (n) $
$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (k) h (nk) $
(หรือ)
$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (nk) h (k) $
ด้วยการใช้ Convolution เราจะพบการตอบสนองสถานะเป็นศูนย์ของระบบ
Deconvolution
Deconvolution เป็นกระบวนการย้อนกลับของการแปลงสัญญาณที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในการประมวลผลสัญญาณและภาพ
คุณสมบัติของ Convolution
คุณสมบัติการสับเปลี่ยน
$ x_1 (t) * x_2 (t) = x_2 (t) * x_1 (t) $
ทรัพย์สินกระจาย
$ x_1 (t) * [x_2 (t) + x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] + [x_1 (t) * x_3 (t)] $
ทรัพย์สินที่เกี่ยวข้อง
$ x_1 (t) * [x_2 (t) * x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] * x_3 (t) $
ขยับทรัพย์สิน
$ x_1 (t) * x_2 (t) = y (t) $
$ x_1 (t) * x_2 (t-t_0) = y (t-t_0) $
$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t) = y (t-t_0) $
$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t-t_1) = y (t-t_0-t_1) $
Convolution กับ Impulse
$ x_1 (t) * \ delta (t) = x (t) $
$ x_1 (t) * \ delta (t- t_0) = x (t-t_0) $
การแปลงขั้นตอนของหน่วย
$ u (t) * u (t) = r (t) $
$ u (t-T_1) * u (t-T_2) = r (t-T_1-T_2) $
$ u (n) * u (n) = [n + 1] u (n) $
คุณสมบัติการปรับขนาด
ถ้า $ x (t) * h (t) = y (t) $
แล้ว $ x (ที่) * h (ที่) = {1 \ over | a |} y (ที่) $
ความแตกต่างของผลลัพธ์
ถ้า $ y (t) = x (t) * h (t) $
แล้ว $ {dy (t) \ over dt} = {dx (t) \ over dt} * h (t) $
หรือ
$ {dy (t) \ over dt} = x (t) * {dh (t) \ over dt} $
Note:
การรวมกันของสองลำดับสาเหตุเป็นสาเหตุ
การแปลงลำดับของการต่อต้านสาเหตุสองลำดับคือการต่อต้านสาเหตุ
การแปลงรูปสี่เหลี่ยมที่มีความยาวไม่เท่ากันสองรูปทำให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
การแปลงรูปสี่เหลี่ยมที่มีความยาวเท่ากันสองอันทำให้เกิดรูปสามเหลี่ยม
ฟังก์ชันที่ซับซ้อนจะเท่ากับการรวมฟังก์ชันนั้นเข้าด้วยกัน
Example: คุณรู้ว่า $ u (t) * u (t) = r (t) $
ตามหมายเหตุข้างต้น $ u (t) * u (t) = \ int u (t) dt = \ int 1dt = t = r (t) $
ที่นี่คุณจะได้ผลลัพธ์เพียงแค่รวม $ u (t) $
ขีด จำกัด ของสัญญาณที่ซับซ้อน
หากสัญญาณสองสัญญาณถูกทำให้สับสนสัญญาณที่ซับซ้อนที่ได้จะมีช่วงดังต่อไปนี้:
Sum of lower limits < t < sum of upper limits
เช่นค้นหาช่วงการแปลงสัญญาณที่ระบุด้านล่าง
ที่นี่เรามีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปที่มีความยาวไม่เท่ากันในการทำให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
ช่วงของสัญญาณที่ซับซ้อนคือ:
Sum of lower limits < t < sum of upper limits
$ -1 + -2 <t <2 + 2 $
$ -3 <t <4 $
ดังนั้นผลลัพธ์คือสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีคาบ 7
พื้นที่ของสัญญาณที่ซับซ้อน
พื้นที่ภายใต้สัญญาณที่ซับซ้อนจะได้รับโดย $ A_y = A_x A_h $
โดยที่ A x = พื้นที่ภายใต้สัญญาณอินพุต
H = พื้นที่ภายใต้การกระตุ้นการตอบสนอง
A y = พื้นที่ภายใต้สัญญาณเอาต์พุต
Proof: $ y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $
ใช้การบูรณาการทั้งสองด้าน
$ \ int y (t) dt \, \, \, = \ int \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau dt $
$ = \ int x (\ tau) d \ tau \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (t- \ tau) dt $
เรารู้ว่าพื้นที่ของสัญญาณใด ๆ คือการรวมสัญญาณนั้นเอง
$ \ ดังนั้น A_y = A_x \, A_h $
ส่วนประกอบ DC
ส่วนประกอบ DC ของสัญญาณใด ๆ ถูกกำหนดโดย
$ \ text {ส่วนประกอบ DC} = {\ text {พื้นที่ของสัญญาณ} \ over \ text {ระยะเวลาของสัญญาณ}} $
ตัวอย่าง: องค์ประกอบ dc ของสัญญาณ Convoluted ผลลัพธ์ที่ระบุด้านล่างคืออะไร?
นี่พื้นที่ของ x 1 (t) = ความยาว×ความกว้าง = 1 × 3 = 3
พื้นที่ x 2 (t) = ความยาว×ความกว้าง = 1 × 4 = 4
พื้นที่ของสัญญาณที่ซับซ้อน = พื้นที่ x 1 (t) ×พื้นที่ x 2 (t)
= 3 × 4 = 12
ระยะเวลาของสัญญาณที่ซับซ้อน = ผลรวมของขีด จำกัด ล่าง <t <ผลรวมของขีด จำกัด บน
= -1 + -2 <t <2 + 2
= -3 <t <4
Period=7
$ \ ดังนั้นองค์ประกอบ $ Dc ของสัญญาณที่ซับซ้อน = $ \ text {พื้นที่ของสัญญาณ} \ over \ text {ระยะเวลาของสัญญาณ} $
ส่วนประกอบ Dc = $ {12 \ over 7} $
Convolution แบบไม่ต่อเนื่อง
ให้เราดูวิธีการคำนวณ Convolution แบบไม่ต่อเนื่อง:
i. To calculate discrete linear convolution:
แปลงสองลำดับ x [n] = {a, b, c} & h [n] = [e, f, g]
เอาต์พุตที่ซับซ้อน = [ea, eb + fa, ec + fb + ga, fc + gb, gc]
Note: ถ้าสองลำดับใดมี m, n จำนวนตัวอย่างตามลำดับดังนั้นลำดับที่ซับซ้อนที่ได้จะมี [m + n-1] ตัวอย่าง
Example: แปลงสองลำดับ x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2}
เอาต์พุตที่แปรผัน y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6]
= [-1, 0, 3, 10, 6]
ที่นี่ x [n] มี 3 ตัวอย่างและ h [n] ก็มี 3 ตัวอย่างดังนั้นลำดับผลลัพธ์จึงมี 3 + 3-1 = 5 ตัวอย่าง
ii. To calculate periodic or circular convolution:
Convolution เป็นระยะใช้ได้สำหรับการแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่อง ในการคำนวณ Convolution เป็นระยะ ๆ ตัวอย่างทั้งหมดต้องเป็นของจริง Convolution แบบเป็นระยะหรือแบบวงกลมเรียกอีกอย่างว่า fast convolution
ถ้าความยาวสองลำดับ m, n ตามลำดับถูกทำให้ซับซ้อนโดยใช้การแปลงแบบวงกลมดังนั้นลำดับผลลัพธ์จะมีตัวอย่างสูงสุด [m, n]
เช่น: Convolute 2 ลำดับ x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2} โดยใช้การแปลงแบบวงกลม
เอาต์พุตที่แปลงตามปกติ y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6]
= [-1, 0, 3, 10, 6]
ที่นี่ x [n] มี 3 ตัวอย่างและ h [n] ยังมี 3 ตัวอย่าง ดังนั้นลำดับผลลัพธ์ที่ได้จากการ Convolution แบบวงกลมต้องมีสูงสุด [3,3] = 3 ตัวอย่าง
ตอนนี้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์การแปลงตามระยะเวลา 3 ตัวอย่างแรก [เนื่องจากช่วงเวลาคือ 3] ของคอนโวลูชั่นปกติจะเหมือนกันสองตัวอย่างถัดไปจะถูกเพิ่มลงในตัวอย่างที่ 1 ดังที่แสดงด้านล่าง:
$ \ ดังนั้น $ ผลลัพธ์การแปลงแบบวงกลม $ y [n] = [9 \ quad 6 \ quad 3] $
สหสัมพันธ์
สหสัมพันธ์เป็นการวัดความคล้ายคลึงกันระหว่างสัญญาณสองสัญญาณ สูตรทั่วไปสำหรับความสัมพันธ์คือ
$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) dt $$
ความสัมพันธ์มีสองประเภท:
ความสัมพันธ์อัตโนมัติ
ความสัมพันธ์ของ Cros
ฟังก์ชัน Auto Correlation
หมายถึงความสัมพันธ์ของสัญญาณกับตัวมันเอง ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติคือการวัดความคล้ายคลึงกันระหว่างสัญญาณและเวอร์ชันล่าช้าของเวลา แสดงด้วย R ($ \ tau $)
พิจารณาสัญญาณ x (t) ฟังก์ชั่นความสัมพันธ์อัตโนมัติของ x (t) กับเวอร์ชันหน่วงเวลานั้นกำหนดโดย
$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t + \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $$
โดยที่ $ \ tau $ = พารามิเตอร์การค้นหาหรือการสแกนหรือการหน่วงเวลา
หากสัญญาณมีความซับซ้อนฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติจะถูกกำหนดโดย
$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x * (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[ + ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t + \ tau) x * (t) dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift] } $$
คุณสมบัติของฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณพลังงาน
ความสัมพันธ์อัตโนมัติแสดงสมมาตรคอนจูเกตเช่น R ($ \ tau $) = R * (- $ \ tau $)
ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณพลังงานที่จุดกำเนิดเช่นที่ $ \ tau $ = 0 เท่ากับพลังงานทั้งหมดของสัญญาณนั้นซึ่งได้รับเป็น:
R (0) = E = $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | \, x (t) \, | ^ 2 \, dt $
ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติ $ \ infty {1 \ over \ tau} $,
ฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติสูงสุดที่ $ \ tau $ = 0 เช่น | R ($ \ tau $) | ≤ R (0) ∀ $ \ tau $
ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติและความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงานคือคู่การแปลงฟูเรียร์ กล่าวคือ
$ FT \, [R (\ tau)] = \ Psi (\ โอเมก้า) $
$ \ Psi (\ โอเมก้า) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $
$ R (\ tau) = x (\ tau) * x (- \ tau) $
ฟังก์ชั่นความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณไฟ
ฟังก์ชั่นสหสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณกำลังไฟฟ้าเป็นระยะกับช่วงเวลา T นั้นกำหนดโดย
$$ R (\ tau) = \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x * (t- \ tau) dt $$
คุณสมบัติ
ความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณไฟแสดงความสมมาตรผันเช่น $ R (\ tau) = R * (- \ tau) $
ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณกำลังที่ $ \ tau = 0 $ (ที่จุดกำเนิด) เท่ากับกำลังทั้งหมดของสัญญาณนั้น กล่าวคือ
$ R (0) = \ rho $
ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณไฟ $ \ infty {1 \ over \ tau} $,
ฟังก์ชั่นความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณกำลังสูงสุดที่ $ \ tau $ = 0 นั่นคือ
$ | R (\ tau) | \ leq R (0) \, \ forall \, \ tau $
ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติและความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลังเป็นคู่การแปลงฟูเรียร์ กล่าวคือ
$ FT [R (\ tau)] = s (\ โอเมก้า) $
$ s (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $
$ R (\ tau) = x (\ tau) * x (- \ tau) $
สเปกตรัมความหนาแน่น
ให้เราดูสเปกตรัมความหนาแน่น:
สเปกตรัมความหนาแน่นของพลังงาน
สเปกตรัมความหนาแน่นของพลังงานสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:
$$ E = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \, x (f) \, | ^ 2 df $$
สเปกตรัมความหนาแน่นของพลังงาน
สเปกตรัมความหนาแน่นของกำลังสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:
$$ P = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \, | \, C_n | ^ 2 $$
ฟังก์ชัน Cross Correlation
สหสัมพันธ์ข้ามคือการวัดความคล้ายคลึงกันระหว่างสัญญาณสองสัญญาณที่แตกต่างกัน
พิจารณาสองสัญญาณ x 1 (t) และ x 2 (t) ความสัมพันธ์ข้ามของสัญญาณทั้งสองนี้ $ R_ {12} (\ tau) $ ได้รับ
$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $$
หากสัญญาณมีความซับซ้อนแล้ว
$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $ $
$$ R_ {21} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t) x_1 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t + \ tau) x_1 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $ $
คุณสมบัติของฟังก์ชัน Cross Correlation ของพลังงานและสัญญาณไฟฟ้า
ความสัมพันธ์อัตโนมัติแสดงความสมมาตรแบบผันเช่น $ R_ {12} (\ tau) = R ^ * _ {21} (- \ tau) $
สหสัมพันธ์ข้ามไม่ได้สับเปลี่ยนเหมือน Convolution เช่น
$$ R_ {12} (\ tau) \ neq R_ {21} (- \ tau) $$
-
ถ้า R 12 (0) = 0 หมายถึงถ้า $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ * (t) dt = 0 $ สัญญาณทั้งสองจะบอกว่าเป็นมุมฉาก
สำหรับสัญญาณไฟถ้า $ \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x ^ * ( t) \, dt $ จากนั้นสัญญาณสองสัญญาณจะถูกบอกว่าตั้งฉากกัน
ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ข้ามสอดคล้องกับการคูณสเปกตรัมของสัญญาณหนึ่งกับคอนจูเกตที่ซับซ้อนของสเปกตรัมของสัญญาณอื่น กล่าวคือ
$$ R_ {12} (\ tau) \ leftarrow \ rightarrow X_1 (\ omega) X_2 ^ * (\ omega) $$
สิ่งนี้เรียกอีกอย่างว่าทฤษฎีบทสหสัมพันธ์
ทฤษฎีบทของ Parseval
ทฤษฎีบทของ Parseval สำหรับสัญญาณพลังงานระบุว่าพลังงานทั้งหมดในสัญญาณสามารถหาได้จากสเปกตรัมของสัญญาณเป็น
$ E = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | X (\ โอเมก้า) | ^ 2 d \ โอเมก้า $
Note: หากสัญญาณมีพลังงาน E เวลาที่ปรับขนาดของสัญญาณนั้น x (at) จะมีพลังงาน E / a