การแปลงฟูเรียร์

ข้อเสียเปรียบหลักของอนุกรมฟูริเยร์คือใช้ได้กับสัญญาณเป็นระยะเท่านั้น มีสัญญาณบางอย่างที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติเช่น nonperiodic หรือ aperiodic ซึ่งเราไม่สามารถแสดงโดยใช้อนุกรมฟูริเยร์ได้ เพื่อเอาชนะข้อบกพร่องนี้ Fourier ได้พัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่อแปลงสัญญาณระหว่างโดเมนเวลา (หรือเชิงพื้นที่) เป็นโดเมนความถี่และในทางกลับกันซึ่งเรียกว่า 'การแปลงฟูริเยร์'

การแปลงฟูเรียร์มีการใช้งานมากมายในฟิสิกส์และวิศวกรรมเช่นการวิเคราะห์ระบบ LTI เรดาร์ดาราศาสตร์การประมวลผลสัญญาณเป็นต้น

รับการแปลงฟูเรียร์จากอนุกรมฟูริเยร์

พิจารณาสัญญาณเป็นระยะ f (t) พร้อมคาบ T การแทนอนุกรมฟูเรียร์เชิงซ้อนของ f (t) ถูกกำหนดเป็น

$$ f (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j {2 \ pi \ over T_0} kt} ... (1 ) $$

ให้ $ {1 \ over T_0} = \ Delta f $ จากนั้นสมการ 1 จะกลายเป็น

$ f (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j2 \ pi k \ Delta ฟุต} ... (2) $

แต่คุณรู้ไหมว่า

    $ a_k = {1 \ over T_0} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $

แทนในสมการ 2.

(2) $ \ Rightarrow f (t) = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {1 \ over T_0} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jk \ omega_0 t} dt \, e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft} $

ให้ $ t_0 = {T \ over2} $

$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {- T \ over2} ^ {T \ over2} f (t) e ^ {- j2 \ pi k \ Delta ft} dt] \ , e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft}. \ Delta f $

ในขีด จำกัด เป็น $ T \ ถึง \ infty, \ Delta f $ เข้าใกล้ดิฟเฟอเรนเชียล $ df, k \ Delta f $ กลายเป็นตัวแปรต่อเนื่อง $ f $ และ summation กลายเป็นการรวม

$$ f (t) = lim_ {T \ to \ infty} ⁡ \ left \ {\ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {- T \ over2} ^ {T \ over2} f (t) e ^ {- j2 \ pi k \ Delta ft} dt] \, e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft}. \ Delta f \ right \} $$

$$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, f (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt] e ^ {j2 \ pi ft} df $$

$$ f (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, F [\ omega] e ^ {j \ omega t} d \ omega $$

$ \ text {Where} \, F [\ omega] = [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, f (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt] $

การแปลงฟูเรียร์ของสัญญาณ $$ f (t) = F [\ omega] = [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, f (t) e ^ {- j \ omega t} dt] $$

การแปลงฟูเรียร์ผกผันคือ $$ f (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, F [\ omega] e ^ {j \ omega t} d \ omega $$

การแปลงฟูเรียร์ของฟังก์ชันพื้นฐาน

ให้เราผ่าน Fourier Transform ของฟังก์ชันพื้นฐาน:

FT ของฟังก์ชัน GATE

$$ F [\ omega] = AT Sa ({\ omega T \ over 2}) $$


FT ของฟังก์ชัน Impulse

$ FT [\ omega (t)] = [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e ^ {- j \ omega t} dt] $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad = e ^ {- j \ โอเมก้า t} \, | \, t = 0 $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad = e ^ {0} = 1 $

$ \ quad \ ดังนั้น \ delta (\ omega) = 1 $


FT ของฟังก์ชันขั้นตอนหน่วย:

$ U (\ omega) = \ pi \ delta (\ โอเมก้า) + 1 / j \ omega $


FT ของเลขชี้กำลัง

$ e ^ {- at} u (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} 1 / (a ​​+ jω) $

$ e ^ {- at} u (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} 1 / (a ​​+ j \ omega) $

$ e ^ {- a \, | \, t \, |} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {2a \ over {a ^ 2 + ω ^ 2}} $

$ e ^ {j \ omega_0 t} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} \ delta (\ omega - \ omega_0) $


FT ของฟังก์ชัน Signum

$ sgn (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {2 \ over j \ omega} $

เงื่อนไขการดำรงอยู่ของการแปลงฟูเรียร์

ฟังก์ชัน f (t) ใด ๆ สามารถแสดงได้โดยใช้การแปลงฟูริเยร์ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันตรงตามเงื่อนไขของ Dirichlet กล่าวคือ

  • ฟังก์ชัน f (t) มีจำนวนสูงสุดของ maxima และ minima

  • สัญญาณ f (t) จะต้องมีจำนวน จำกัด ในช่วงเวลาที่กำหนด

  • จะต้องบูรณาการได้อย่างแน่นอนในช่วงเวลาที่กำหนดเช่น

    $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | \, f (t) | \, dt <\ infty $

การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DTFT)

การแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องเวลา (DTFT) หรือการแปลงฟูเรียร์ของลำดับเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง x [n] เป็นการแสดงลำดับในรูปของลำดับเลขชี้กำลังที่ซับซ้อน $ e ^ {j \ omega n} $

ลำดับ DTFT x [n] ถูกกำหนดโดย

$$ X (\ โอเมก้า) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) e ^ {- j \ omega n} \, \, ... \, ... (1) $$

ในที่นี้ X (ω) เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปรความถี่จริงωและสามารถเขียนเป็น

$$ X (\ omega) = X_ {re} (\ omega) + jX_ {img} (\ โอเมก้า) $$

โดยที่ X re (ω), X img (ω) เป็นส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ X (ω) ตามลำดับ

$$ X_ {re} (\ omega) = | \, X (\ omega) | \ cos \ theta (\ โอเมก้า) $$

$$ X_ {img} (\ โอเมก้า) = | \, X (\ โอเมก้า) | \ sin \ theta (\ โอเมก้า) $$

$$ | X (\ โอเมก้า) | ^ 2 = | \, X_ {re} (\ omega) | ^ 2 + | \, X_ {im} (\ omega) | ^ 2 $$

และ X (ω) สามารถแสดงเป็น $ X (\ omega) = | \, X (\ omega) | จ ^ {j \ theta (ω)} $

โดยที่ $ \ theta (\ omega) = arg {X (\ omega)} $

$ | \, X (\ omega) |, \ theta (\ omega) $ เรียกว่าขนาดและเฟสสเปกตรัมของ X (ω)

การแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องเวลาผกผัน

$$ x (n) = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} X (\ โอเมก้า) e ^ {j \ omega n} d \ omega \, \, ... \, ... (2) $$

เงื่อนไขการบรรจบกัน:

อนุกรมอนันต์ในสมการ 1 อาจบรรจบกันหรือไม่ก็ได้ x (n) สามารถสรุปได้อย่างแน่นอน

$$ \ text {when} \, \, \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | \, x (n) | \, <\ infty $$

ลำดับที่สรุปได้อย่างแน่นอนมีพลังงาน จำกัด เสมอ แต่ลำดับพลังงาน จำกัด ไม่จำเป็นต้องสรุปได้อย่างแน่นอน