ซีรี่ส์ฟูเรียร์

Jean Baptiste Joseph Fourier,นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสและนักฟิสิกส์ เกิดที่เมืองโอแซร์ประเทศฝรั่งเศส เขาเริ่มต้นอนุกรมฟูริเยร์การแปลงฟูริเยร์และการประยุกต์ใช้กับปัญหาการถ่ายเทความร้อนและการสั่นสะเทือน อนุกรมฟูริเยร์การแปลงฟูริเยร์และกฎของฟูเรียร์ได้รับการตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา

Jean Baptiste Joseph Fourier (21 มีนาคม พ.ศ. 2311-16 พฤษภาคม พ.ศ. 2373)

อนุกรมฟูริเยร์

เพื่อแสดงสัญญาณระยะ x (t) ฟูริเยร์ได้พัฒนานิพจน์ที่เรียกว่าอนุกรมฟูริเยร์ นี่คือในรูปของผลรวมของไซน์และโคไซน์หรือเลขชี้กำลังที่ไม่มีที่สิ้นสุด อนุกรมฟูริเยร์ใช้สภาวะออร์โทแกน

อนุกรมฟูริเยร์เป็นตัวแทนของสัญญาณระยะเวลาต่อเนื่อง

สัญญาณจะบอกเป็นระยะหากเป็นไปตามเงื่อนไข x (t) = x (t + T) หรือ x (n) = x (n + N)

โดยที่ T = ช่วงเวลาพื้นฐาน

    ω 0 = ความถี่พื้นฐาน = 2π / T

มีสองสัญญาณพื้นฐานเป็นระยะ:

$ x (t) = \ cos \ omega_0t $ (รูปซายน์) &

$ x (t) = e ^ {j \ omega_0 t} $ (เลขชี้กำลังเชิงซ้อน)

สัญญาณทั้งสองนี้มีระยะเวลา $ T = 2 \ pi / \ omega_0 $

ชุดของเลขชี้กำลังเชิงซ้อนที่สัมพันธ์กันสามารถแสดงเป็น {$ \ phi_k (t) $}

$$ {\ phi_k (t)} = \ {e ^ {jk \ omega_0t} \} = \ {e ^ {jk ({2 \ pi \ over T}) t} \} \ text {where} \, k = 0 \ pm 1, \ pm 2 ..n \, \, \, ..... (1) $$

สัญญาณทั้งหมดนี้เป็นระยะโดยมีช่วง T

ตามการประมาณพื้นที่สัญญาณมุมฉากของฟังก์ชัน x (t) กับ n ฟังก์ชันที่ตั้งฉากกันจะถูกกำหนดโดย

$$ x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0t} ..... (2) $$

$$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_kk e ^ {jk \ omega_0t} $$

โดยที่ $ a_k $ = สัมประสิทธิ์ฟูเรียร์ = สัมประสิทธิ์การประมาณ

สัญญาณ x (t) นี้เป็นระยะด้วยจุด T

สมการ 2 แทนการแสดงอนุกรมฟูริเยร์ของสัญญาณคาบ x (t)

คำว่า k = 0 เป็นค่าคงที่

คำว่า $ k = \ pm1 $ ที่มีความถี่พื้นฐาน $ \ omega_0 $ เรียกว่า 1 st harmonics

คำ $ k = \ PM2 $ มีความถี่พื้นฐาน $ 2 \ omega_0 $ จะเรียกว่าเป็น 2 ครั้งดนตรี, และอื่น ๆ ...

คำว่า $ k = ± n $ ที่มีความถี่พื้นฐาน $ n \ omega0 $ เรียกว่า n th harmonics

การหาค่าสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์

เรารู้ว่า $ x (t) = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} ...... (1) $

คูณ $ e ^ {- jn \ omega_0 t} $ ทั้งสองข้าง แล้ว

$$ x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} e ^ {- jn \ omega_0 t} $$

พิจารณาอินทิกรัลทั้งสองด้าน

$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \, \, = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} . dt $$

$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k \ int_ {0} ^ {T} จ ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. \, \, ..... (2) $$

ตามสูตรของออยเลอร์

$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ int_ {0} ^ {T} \ cos (kn) \ omega_0 dt + j \ int_ {0} ^ {T} \ sin (kn) \ omega_0t \, dt $$

$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ left \ {\ begin {array} {ll} T & \ quad k = n \\ 0 & \ quad k \ neq n \ end {array} \ right $$

ดังนั้นในสมการ 2 อินทิกรัลเป็นศูนย์สำหรับค่าทั้งหมดของ k ยกเว้นที่ k = n ใส่ k = n ในสมการ 2

$$ \ Rightarrow \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt = a_n T $$

$$ \ Rightarrow a_n = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$

แทนที่ n ด้วย k

$$ \ Rightarrow a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $$

$$ \ ดังนั้น x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} $$

$$ \ text {where} a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $$