การแปลงลาปลาซ (LT)

การแปลงฟูเรียร์ที่ซับซ้อนเรียกอีกอย่างว่าการแปลงลาปลาซทวิภาคี สิ่งนี้ใช้เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ พิจารณาระบบ LTI ออกโดยสัญญาณชี้แจงซับซ้อนของรูปแบบ x (t) = Ge เซนต์

โดยที่ s = จำนวนเชิงซ้อนใด ๆ = $ \ sigma + j \ omega $,

σ = จริงของ s และ

ω = จินตภาพของ s

การตอบสนองของ LTI สามารถหาได้จากการแปลงอินพุตด้วยการตอบสนองของอิมพัลส์เช่น

$ y (t) = x (t) \ times h (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, x (t- \ tau) d \ tau $

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, Ge ^ {s (t- \ tau)} d \ tau $

$ = Ge ^ {st} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, e ^ {(- s \ tau)} d \ tau $

$ y (t) = Ge ^ {st} .H (S) = x (t) .H (S) $

โดยที่ H (S) = Laplace transform ของ $ h (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) e ^ {- s \ tau} d \ tau $

ในทำนองเดียวกันการแปลง Laplace ของ $ x (t) = X (S) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} dt \, ... \, ... ( 1) $

ความสัมพันธ์ระหว่างการแปลงลาปลาซและฟูเรียร์

การแปลงลาปลาซของ $ x (t) = X (S) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} dt $

แทน s = σ + jωในสมการด้านบน

$ → X (\ sigma + j \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, x (t) e ^ {- (\ sigma + j \ omega) t} dt $

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [x (t) e ^ {- \ sigma t}] e ^ {- j \ omega t} dt $

$ \ ดังนั้น X (S) = FT [x (t) e ^ {- \ sigma t}] \, ... \, ... (2) $

$ X (S) = X (\ โอเมก้า) \ quad \ quad สำหรับ \, \, s = j \ omega $

การแปลง Laplace ผกผัน

คุณรู้ว่า $ X (S) = FT [x (t) e ^ {- \ sigma t}] $

$ \ to x (t) e ^ {- \ sigma t} = FT ^ {- 1} [X (S)] = FT ^ {- 1} [X (\ sigma + j \ omega)] $

$ = {1 \ over 2} \ pi \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $

$ x (t) = e ^ {\ sigma t} {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {j \ omega t} d \ โอเมก้า $

$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {(\ sigma + j \ omega) t} d \ omega \,. .. \, ... (3) $

ที่นี่ $ \ sigma + j \ omega = s $

$ jdω = ds →dω = ds / j $

$ \ ดังนั้น x (t) = {1 \ over 2 \ pi j} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (s) e ^ {st} ds \, ... \, ... ( 4) $

สมการที่ 1 และ 4 แสดงถึง Laplace และ Inverse Laplace Transform ของสัญญาณ x (t)

เงื่อนไขการดำรงอยู่ของ Laplace Transform

เงื่อนไขของ Dirichlet ถูกใช้เพื่อกำหนดการดำรงอยู่ของการแปลง Laplace กล่าวคือ

ฟังก์ชัน f (t) มีจำนวนสูงสุดของ maxima และ minima
สัญญาณ f (t) จะต้องมีจำนวน จำกัด ในช่วงเวลาที่กำหนด
จะต้องบูรณาการได้อย่างแน่นอนในช่วงเวลาที่กำหนด กล่าวคือ

$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \, f (t) | \, dt \ lt \ infty $

ทฤษฎีค่าเริ่มต้นและค่าสุดท้าย

หากทราบการแปลง Laplace ของฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก x (t) ก็เป็นไปได้ที่จะกำหนดค่าเริ่มต้นและค่าสุดท้ายของสัญญาณที่ไม่รู้จักเช่น x (t) ที่ t = 0 ⁺และ t = ∞