Z- แปลง (ZT)
การวิเคราะห์ระบบ LTI เวลาต่อเนื่องสามารถทำได้โดยใช้ z-transforms เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่มีประสิทธิภาพในการแปลงสมการเชิงอนุพันธ์เป็นสมการพีชคณิต
การแปลง z ทวิภาคี (สองด้าน) ของสัญญาณเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง x (n) ได้รับเป็น
$ ZT [x (n)] = X (Z) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} $
การแปลง z ด้านเดียว (ด้านเดียว) ของสัญญาณเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง x (n) ได้รับเป็น
$ ZT [x (n)] = X (Z) = \ Sigma_ {n = 0} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} $
Z-transform อาจมีอยู่สำหรับสัญญาณบางอย่างที่ไม่มี Discrete Time Fourier Transform (DTFT)
แนวคิดของ Z-Transform และ Inverse Z-Transform
การแปลง Z ของสัญญาณเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง x (n) สามารถแสดงด้วย X (Z) และถูกกำหนดให้เป็น
$ X (Z) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \, ... \, ... \, (1) $
ถ้า $ Z = re ^ {j \ omega} $ แล้วสมการ 1 จะกลายเป็น
$ X (re ^ {j \ omega}) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) [re ^ {j \ omega}] ^ {- n} $
$ = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) [r ^ {- n}] e ^ {- j \ omega n} $
$ X (re ^ {j \ omega}) = X (Z) = FT [x (n) r ^ {- n}] \, ... \, ... \, (2) $
สมการข้างต้นแสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างการแปลงฟูริเยร์และการแปลง Z
$ X (Z) | _ {z = e ^ {j \ omega}} = FT [x (n)] $
แปลง Z ผกผัน
$ X (re ^ {j \ omega}) = FT [x (n) r ^ {- n}] $
$ x (n) r ^ {- n} = FT ^ {- 1} [X (re ^ {j \ omega}] $
$ x (n) = r ^ n \, FT ^ {- 1} [X (อีกครั้ง ^ {j \ omega})] $
$ = r ^ n {1 \ over 2 \ pi} \ int X (อีก {^ j \ omega}) จ ^ {j \ omega n} d \ omega $
$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int X (re {^ j \ omega}) [re ^ {j \ omega}] ^ nd \ omega \, ... \, ... \, (3) $
แทนที่ $ re ^ {j \ omega} = z $
$ dz = jre ^ {j \ omega} d \ omega = jz d \ omega $
$ d \ omega = {1 \ over j} z ^ {- 1} dz $
แทนในสมการ 3
$ 3 \, \ to \, x (n) = {1 \ over 2 \ pi} \ int \, X (z) z ^ n {1 \ over j} z ^ {- 1} dz = {1 \ over 2 \ pi j} \ int \, X (z) z ^ {n-1} dz $
$$ X (Z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \, x (n) z ^ {- n} $$ $$ x (n) = {1 \ over 2 \ pi j } \ int \, X (z) z ^ {n-1} dz $$