คุณสมบัติการแปลงฟูเรียร์

คุณสมบัติของ Fourier Transform มีดังนี้

คุณสมบัติเชิงเส้น

$ \ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

$ \ text {&} \, \, y (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} Y (\ omega) $

จากนั้นคุณสมบัติเชิงเส้นระบุว่า

$ ax (t) + by (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} a X (\ omega) + b Y (\ omega) $


เวลาขยับทรัพย์สิน

$ \ text {If} \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

จากนั้นคุณสมบัติการเปลี่ยนเวลาระบุว่า

$ x (t-t_0) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} e ^ {- j \ omega t_0} X (\ omega) $


คุณสมบัติการเปลี่ยนความถี่

$ \ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

จากนั้นคุณสมบัติการขยับความถี่ระบุว่า

$ e ^ {j \ omega_0 t} x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega - \ omega_0) $


คุณสมบัติการกลับรายการเวลา

$ \ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

จากนั้นคุณสมบัติการย้อนกลับของเวลาระบุว่า

$ x (-t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (- \ omega) $


คุณสมบัติการปรับเวลา

$ \ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

จากนั้นคุณสมบัติการปรับเวลาระบุว่า

$ x (ที่) {1 \ over | \, a \, |} X {\ omega \ over a} $


คุณสมบัติการสร้างความแตกต่างและการรวม

$ If \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

จากนั้นคุณสมบัติการสร้างความแตกต่างระบุว่า

$ {dx (t) \ over dt} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} j \ omega X (\ โอเมก้า) $

$ {d ^ nx (t) \ over dt ^ n} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} (j \ omega) ^ n X (\ โอเมก้า) $

และคุณสมบัติการรวมระบุว่า

$ \ int x (t) \, dt \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over j \ omega} X (\ omega) $

$ \ iiint ... \ int x (t) \, dt \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over (j \ omega) ^ n} X (\ omega) $


สมบัติการคูณและการแปลง

$ \ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

$ \ text {&} \, \, y (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} Y (\ omega) $

จากนั้นคุณสมบัติการคูณระบุว่า

$ x (t) y (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) * Y (\ omega) $

และสถานที่ให้บริการ Convolution ระบุว่า

$ x (t) * y (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over 2 \ pi} X (\ omega) .Y (\ omega) $