Dijital Devreler - Boole Cebri

Boolean Algebraikili sayılar ve ikili değişkenlerle ilgilenen bir cebirdir. Bu nedenle, İkili Cebir veya mantıksal Cebir olarak da adlandırılır. Bu cebiri 1854 yılında George Boole adlı bir matematikçi geliştirmiştir. Bu cebirde kullanılan değişkenlere Boole değişkenleri de denmektedir.

Mantık "Yüksek" e karşılık gelen voltaj aralığı "1" ile temsil edilir ve "Düşük" mantığına karşılık gelen voltaj aralığı "0" ile temsil edilir.

Postülatlar ve Boole Cebirinin Temel Kanunları

Bu bölümde, Boole cebirinde kullanılan Boole varsayımlarını ve temel yasaları tartışalım. Bunlar, Boole işlevlerini en aza indirmede yararlıdır.

Boole Postülatları

0 ve 1 ikili sayılarını, Boole değişkenini (x) ve tamamlayıcısını (x ') düşünün. Boole değişkeni veya onun tamamlayıcısı olarak bilinirliteral. Dört olasılogical OR bu değişmezler ve ikili sayılar arasındaki işlemler aşağıda gösterilmiştir.

x + 0 = x

x + 1 = 1

x + x = x

x + x '= 1

Benzer şekilde, dört olası logical AND bu değişmez değerler ve ikili sayılar arasındaki işlemler aşağıda gösterilmiştir.

x.1 = x

x.0 = 0

xx = x

x.x '= 0

Bunlar basit Boole varsayımlarıdır. Boolean değişkenini '0' veya '1' ile değiştirerek bu varsayımları kolayca doğrulayabiliriz.

Note- Herhangi bir Boole değişkeninin tamamlayıcısı, değişkenin kendisine eşittir. yani, (x ')' = x.

Boole Cebirinin Temel Kanunları

Aşağıda Boole Cebirinin üç temel yasası bulunmaktadır.

Değişmeli kanun
Federal hukuk
Dağıtım kanunu

Değişmeli kanun

İki Boole değişkeninin herhangi bir mantıksal işlemi, bu iki değişkenin sırasına bakılmaksızın aynı sonucu verirse, bu mantıksal işlemin Commutative. İki Boole değişkeninin x ve y mantıksal OR ve mantıksal AND işlemleri aşağıda gösterilmiştir.

x + y = y + x

xy = yx

'+' Sembolü, mantıksal VEYA işlemini gösterir. Benzer şekilde, '.' Sembolü. mantıksal AND işlemini belirtir ve temsil edilmesi isteğe bağlıdır. Değişmeli yasa, mantıksal VEYA ve mantıksal AND işlemlerine uyar.

Federal hukuk

İlk olarak herhangi iki Boole değişkeninin mantıksal bir işlemi gerçekleştirilirse ve ardından aynı işlem gerçekleştirilirse kalan değişkenle aynı sonucu verirse, o zaman mantıksal işlem denir Associative. Üç Boole değişkeninin x, y ve z mantıksal OR ve mantıksal AND işlemleri aşağıda gösterilmiştir.

x + (y + z) = (x + y) + z

x. (yz) = (xy) .z

İlişkisel hukuk, mantıksal VEYA ve mantıksal AND işlemlerine uyar.

Dağıtım kanunu

Herhangi bir mantıksal işlem, Boole işlevinde bulunan tüm terimlere dağıtılabiliyorsa, bu mantıksal işlemin Distributive. Üç Boole değişkeninin x, y ve z mantıksal OR ve mantıksal AND işlemlerinin dağılımı aşağıda gösterilmiştir.

x. (y + z) = xy + xz

x + (yz) = (x + y). (x + z)

Dağıtım yasası, mantıksal VEYA ve mantıksal AND işlemlerine uyar.

Bunlar Boole cebirinin Temel yasalarıdır. Boole değişkenlerini '0' veya '1' ile değiştirerek bu yasaları kolayca doğrulayabiliriz.

Boole Cebri Teoremleri

Aşağıdaki iki teorem Boole cebirinde kullanılır.

Dualite teoremi
DeMorgan teoremi

Dualite Teoremi

Bu teorem, dualBoolean işlevinin değeri, mantıksal AND işlecini mantıksal OR operatörüyle ve sıfırları birlerle değiştirerek elde edilir. Her Boole işlevi için karşılık gelen bir Dual işlevi olacaktır.

Boole varsayımları ve temel yasalar bölümünde tartıştığımız Boole denklemlerini (ilişkileri) iki gruba ayıralım. Aşağıdaki tablo bu iki grubu göstermektedir.

Grup 1	Grup2
x + 0 = x	x.1 = x
x + 1 = 1	x.0 = 0
x + x = x	xx = x
x + x '= 1	x.x '= 0
x + y = y + x	xy = yx
x + (y + z) = (x + y) + z	x. (yz) = (xy) .z
x. (y + z) = xy + xz	x + (yz) = (x + y). (x + z)

Her satırda iki Boole denklemi vardır ve bunlar birbirine çifttir. Dualite teoremini kullanarak Group1 ve Group2'nin tüm bu Boole denklemlerini doğrulayabiliriz.

DeMorgan Teoremi

Bu teorem, complement of Boolean function. En az iki Boole değişkeninin mantıksal VEYA tamamlayıcısının, tamamlanan her değişkenin mantıksal VE'sine eşit olduğunu belirtir.

DeMorgan'ın 2 Boole değişkenli x ve y teoremi şu şekilde temsil edilebilir:

(x + y) '= x'.y'

Yukarıdaki Boole işlevinin ikilisi

(xy) '= x' + y '

Bu nedenle, iki Boole değişkeninin mantıksal AND tamamlayıcısı, tamamlanan her değişkenin mantıksal VEYA'sına eşittir. Benzer şekilde, DeMorgan teoremini 2'den fazla Boole değişkeni için de uygulayabiliriz.

Boolean İşlevlerinin Basitleştirilmesi

Şimdiye kadar, Boole cebirinin postülalarını, temel yasalarını ve teoremlerini tartıştık. Şimdi bazı Boole işlevlerini basitleştirelim.

örnek 1

Hadi simplify Boole işlevi, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr

Bu işlevi iki yöntemle basitleştirebiliriz.

Method 1

Boole fonksiyonu verildiğinde, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr.

Step 1- Birinci ve ikinci terimlerde r yaygındır ve üçüncü ve dördüncü terimlerde pq yaygındır. Bu nedenle, ortak terimleri kullanarakDistributive law.

⇒ f = (p'q + pq ') r + pq (r' + r)

Step 2- İlk parantezde bulunan terimler, Ex-OR işlemi için basitleştirilebilir. İkinci parantezde bulunan terimler kullanılarak '1' olarak basitleştirilebilirBoolean postulate

⇒ f = (p ⊕q) r + pq (1)

Step 3- İlk terim daha fazla basitleştirilemez. Ancak, ikinci terim kullanılarak pq olarak basitleştirilebilir.Boolean postulate.

⇒ f = (p ⊕q) r + pq

Bu nedenle, basitleştirilmiş Boole işlevi şu şekildedir: f = (p⊕q)r + pq

Method 2

Boole fonksiyonu verildiğinde, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr.

Step 1 - Kullan Boolean postulate, x + x = x. Bu, herhangi bir Boolean değişkeni 'n' kez olan Mantıksal VEYA işleminin aynı değişkene eşit olacağı anlamına gelir. Yani son terim pqr'yi iki kez daha yazabiliriz.

⇒ f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr + pqr + pqr

Step 2 - Kullanım Distributive law1 ^st ve 4 ^th açısından, 2 ^nd ve 5 ^inci terimler, 3 ^rd ve 6 ^inci terimler.

⇒ f = qr (p '+ p) + pr (q' + q) + pq (r '+ r)

Step 3 - Kullanım Boolean postulateHer parantezde bulunan terimleri basitleştirmek için x + x '= 1.

⇒ f = qr (1) + pr (1) + pq (1)

Step 4 - Kullanım Boolean postulateYukarıdaki üç terimi basitleştirmek için x.1 = x.

⇒ f = qr + pr + pq

⇒ f = pq + qr + pr

Bu nedenle, basitleştirilmiş Boole işlevi şu şekildedir: f = pq + qr + pr.

Dolayısıyla, her yöntemde verilen Boole işlevini basitleştirdikten sonra iki farklı Boole işlevi elde ettik. İşlevsel olarak, bu iki Boole işlevi aynıdır. Dolayısıyla, gereksinime bağlı olarak, bu iki Boole işlevinden birini seçebiliriz.