Dijital Devreler - Kanonik ve Standart Formlar
İki değişken x ve y'yi mantıksal AND işlemi ile birleştirerek dört Boole çarpımı terimi elde edeceğiz. Bu Boolean ürün terimlerine şu şekilde denir:min terms veya standard product terms. Minimum terimler x'y ', x'y, xy' ve xy'dir.
Benzer şekilde, iki değişken x ve y'yi mantıksal OR işlemiyle birleştirerek dört Boole toplamı terimi elde edeceğiz. Bu Boolean toplam terimleri şöyle adlandırılırMax terms veya standard sum terms. Maks terimler, x + y, x + y ', x' + y ve x '+ y' şeklindedir.
Aşağıdaki tablo, 2 değişken için minimum terimlerin ve MAX terimlerinin temsilini gösterir.
| x | y | Min terimler | Maksimum terimler |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | m 0 = x'y ' | M 0 = x + y |
| 0 | 1 | m 1 = x'y | M 1 = x + y ' |
| 1 | 0 | m 2 = xy ' | M 2 = x '+ y |
| 1 | 1 | m 3 = xy | M 3 x = '+ y' |
İkili değişken '0' ise, min terimde değişkenin tamamlayıcısı olarak ve Max teriminde değişkenin kendisi olarak temsil edilir. Benzer şekilde, ikili değişken '1' ise, Max teriminde değişkenin tamamlayıcısı olarak ve min teriminde değişkenin kendisi olarak temsil edilir.
Yukarıdaki tablodan, minimum terimlerin ve Max terimlerinin birbirini tamamladığını kolayca görebiliriz. 'N' Boole değişkenleri varsa, 2 n min terimleri ve 2 n Maks terimleri olacaktır.
Canonical SoP ve PoS formları
Doğruluk tablosu, bir dizi girdi ve çıktıdan oluşur. 'N' giriş değişkeni varsa, sıfırlar ve birler ile 2 n olası kombinasyon olacaktır . Dolayısıyla, her çıktı değişkeninin değeri, girdi değişkenlerinin kombinasyonuna bağlıdır. Dolayısıyla, her çıktı değişkeni, bazı girdi değişkenleri kombinasyonu için '1' ve diğer bazı girdi değişkenleri kombinasyonu için '0' olacaktır.
Bu nedenle, her bir çıktı değişkenini aşağıdaki iki şekilde ifade edebiliriz.
- Kanonik SOP formu
- Kanonik PoS formu
Kanonik SOP formu
Canonical SoP formu, Canonical Sum of Products formu anlamına gelir. Bu formda, her ürün terimi tüm değişmezleri içerir. Dolayısıyla, bu ürün terimleri minimum terimlerden başka bir şey değildir. Bu nedenle, kanonik SOP formu aynı zamandasum of min terms form.
İlk olarak, çıkış değişkeninin bir olduğu minimum terimleri tanımlayın ve ardından bu çıkış değişkenine karşılık gelen Boole ifadesini (fonksiyon) elde etmek için bu minimum terimlerin mantıksal VEYA'sını yapın. Bu Boole işlevi, minimum terimlerin toplamı biçiminde olacaktır.
Birden fazla çıktı değişkeni varsa, diğer çıktı değişkenleri için de aynı prosedürü izleyin.
Misal
Aşağıdakileri göz önünde bulundur truth table.
| Girişler | Çıktı | ||
|---|---|---|---|
| p | q | r | f |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Burada, çıkış (f) dört giriş kombinasyonu için '1'dir. Karşılık gelen min terimler, p'qr, pq'r, pqr ', pqr'dir. Bu dört dakikalık terimin mantıksal VEYA'sını yaparak, çıktının (f) Boole fonksiyonunu elde edeceğiz.
Bu nedenle, çıktının Boole fonksiyonu, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr'dir. Bucanonical SoP formçıktı, f. Bu işlevi aşağıdaki iki gösterimde de temsil edebiliriz.
$$ f = m_ {3} + m_ {5} + m_ {6} + m_ {7} $$
$$ f = \ toplam m \ left (3,5,6,7 \ right) $$
Bir denklemde, fonksiyonu ilgili minimum terimlerin toplamı olarak gösterdik. Diğer denklemde, bu minimum terimlerin toplamı için sembolü kullandık.
Kanonik PoS formu
Kanonik PoS formu Kanonik Toplam Ürünü formu anlamına gelir. Bu formda, her toplam terim tüm değişmez değerleri içerir. Yani, bu toplam terimler, Max terimlerinden başka bir şey değildir. Bu nedenle, kanonik PoS formu aynı zamandaproduct of Max terms form.
İlk olarak, çıkış değişkeninin sıfır olduğu Max terimlerini tanımlayın ve ardından bu çıkış değişkenine karşılık gelen Boole ifadesini (fonksiyon) elde etmek için bu Max terimlerinin mantıksal AND'sini yapın. Bu Boole işlevi, Max terimlerinin çarpımı biçiminde olacaktır.
Birden fazla çıktı değişkeni varsa, diğer çıktı değişkenleri için de aynı prosedürü izleyin.
Example
Önceki örnekle aynı doğruluk tablosunu düşünün. Burada, çıkış (f) dört giriş kombinasyonu için '0'dır. Karşılık gelen Max terimleri p + q + r, p + q + r ', p + q' + r, p '+ q + r'dir. Bu dört Max teriminden mantıksal AND yaparak, çıktının (f) Boole fonksiyonunu elde edeceğiz.
Bu nedenle çıktının Boole fonksiyonu, f = (p + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r). Bucanonical PoS formçıktı, f. Bu işlevi aşağıdaki iki gösterimde de temsil edebiliriz.
$$ f = M_ {0} .M_ {1} .M_ {2} .M_ {4} $$
$$ f = \ prod M \ left (0,1,2,4 \ right) $$
Bir denklemde, fonksiyonu ilgili Max terimlerinin ürünü olarak gösterdik. Diğer denklemde, bu Max terimlerinin çarpımı için sembolü kullandık.
Boole fonksiyonu, f = (p + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r) Boole fonksiyonunun ikilisidir, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr.
Bu nedenle, hem kanonik SOP hem de kanonik PoS formları Dualbirbirlerine. İşlevsel olarak bu iki form aynıdır. İhtiyaca göre bu iki formdan birini kullanabiliriz.
Standart SoP ve PoS formları
Boolean çıktılarını temsil etmenin iki kanonik biçimini tartıştık. Benzer şekilde, Boolean çıktılarını temsil etmenin iki standart biçimi vardır. Bunlar, kanonik formların basitleştirilmiş versiyonlarıdır.
- Standart SOP formu
- Standart PoS formu
Daha sonraki bölümlerde Mantık kapıları hakkında tartışacağız. Anaadvantagestandart formlardan biri, mantık kapılarına uygulanan girdi sayısının en aza indirilebilmesidir. Bazen, gerekli olan toplam mantık kapısı sayısında azalma olacaktır.
Standart SOP formu
Standart SoP formu anlamına gelir Standard Sum of Productsform. Bu formda, her bir ürün teriminin tüm değişmezleri içermesi gerekmez. Bu nedenle, ürün şartları minimum şartlar olabilir veya olmayabilir. Bu nedenle, Standart SOP formu, kanonik SOP formunun basitleştirilmiş formudur.
İki adımda Standart SoP çıkış değişkenini alacağız.
- Çıktı değişkeninin kanonik SoP formunu alın
- Kanonik SoP biçiminde olan yukarıdaki Boole işlevini basitleştirin.
Birden fazla çıktı değişkeni varsa, diğer çıktı değişkenleri için de aynı prosedürü izleyin. Bazen standart SOP formunu basitleştirmek mümkün olmayabilir. Bu durumda hem kanonik hem de standart SoP formları aynıdır.
Example
Aşağıdaki Boolean işlevini Standart SoP formuna dönüştürün.
f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr
Verilen Boole işlevi kanonik SoP biçimindedir. Şimdi, standart SoP formunu elde etmek için bu Boole işlevini basitleştirmemiz gerekiyor.
Step 1 - Kullan Boolean postulate, x + x = x. Bu, herhangi bir Boolean değişkeni 'n' kez olan Mantıksal VEYA işleminin aynı değişkene eşit olacağı anlamına gelir. Yani son terim pqr'yi iki kez daha yazabiliriz.
⇒ f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr + pqr + pqr
Step 2 - Kullanım Distributive law1 st ve 4 th açısından, 2 nd ve 5 inci terimler, 3 rd ve 6 inci terimler.
⇒ f = qr (p '+ p) + pr (q' + q) + pq (r '+ r)
Step 3 - Kullanım Boolean postulateHer parantezde bulunan terimleri basitleştirmek için x + x '= 1.
⇒ f = qr (1) + pr (1) + pq (1)
Step 4 - Kullanım Boolean postulateYukarıdaki üç terimi basitleştirmek için x.1 = x.
⇒ f = qr + pr + pq
⇒ f = pq + qr + pr
Bu basitleştirilmiş Boole işlevidir. bu yüzdenstandard SoP form standart SOP formuna karşılık gelen f = pq + qr + pr
Standart PoS formu
Standart PoS formu anlamına gelir Standard Product of Sumsform. Bu formda, her toplam terimin tüm değişmezleri içermesi gerekmez. Bu nedenle, toplam şartları Max şartları olabilir veya olmayabilir. Bu nedenle, Standart PoS formu, kanonik PoS formunun basitleştirilmiş formudur.
Standart PoS çıkış değişkenini iki adımda alacağız.
- Çıktı değişkeninin kanonik PoS biçimini alın
- Kanonik PoS biçiminde olan yukarıdaki Boole işlevini basitleştirin.
Birden fazla çıktı değişkeni varsa, diğer çıktı değişkenleri için de aynı prosedürü izleyin. Bazen standart PoS formunu basitleştirmek mümkün olmayabilir. Bu durumda hem kanonik hem de standart PoS formları aynıdır.
Example
Aşağıdaki Boole işlevini Standart PoS biçimine dönüştürün.
f = (p + q + r). (p + q + r '). (p + q' + r). (p '+ q + r)
Verilen Boole işlevi kanonik PoS biçimindedir. Şimdi, standart PoS formunu elde etmek için bu Boole işlevini basitleştirmemiz gerekiyor.
Step 1 - Kullan Boolean postulate, xx = x. Bu, herhangi bir Boolean değişkeni 'n' kez olan Mantıksal AND işleminin aynı değişkene eşit olacağı anlamına gelir. Böylece ilk terim olan p + q + r'yi iki kez daha yazabiliriz.
⇒ f = (p + q + r). (P + q + r). (P + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r)
Step 2 - Kullanım Distributive law,x + (y-Zp) = (x + y). (x + z) 1 st ve 4 inci parantez, 2 nci ve 5 inci parantez, 3 üncü , 6 inci parantez.
⇒ f = (p + q + rr '). (P + r + qq'). (Q + r + pp ')
Step 3 - Kullanım Boolean postulateHer parantezde bulunan terimleri basitleştirmek için x.x '= 0.
⇒ f = (p + q + 0). (P + r + 0). (Q + r + 0)
Step 4 - Kullanım Boolean postulate, x + 0 = x her parantezde bulunan terimleri basitleştirmek için
⇒ f = (p + q). (P + r). (Q + r)
⇒ f = (p + q). (Q + r). (P + r)
Bu basitleştirilmiş Boole işlevidir. bu yüzdenstandard PoS form verilen kanonik PoS formuna karşılık gelen f = (p + q).(q + r).(p + r). Budual Boole işlevinin f = pq + qr + pr.
Bu nedenle, hem Standart SoP hem de Standart PoS formları birbirine İkilidir.