Dijital Devreler - K-Map Yöntemi
Önceki bölümlerde, Boolean postülatlarını ve teoremlerini kullanarak Boole fonksiyonlarını sadeleştirmiştik. Bu zaman alıcı bir süreçtir ve her adımdan sonra basitleştirilmiş ifadeleri yeniden yazmamız gerekir.
Bu zorluğun üstesinden gelmek için, KarnaughBoole işlevlerinin kolay bir şekilde basitleştirilmesi için bir yöntem sundu. Bu yöntem, Karnaugh harita yöntemi veya K-haritası yöntemi olarak bilinir. 'N' değişkenler için 2 n hücreden oluşan grafiksel bir yöntemdir . Bitişik hücreler, yalnızca tek bit konumunda farklılık gösterir.
2 ila 5 Değişken için K-Haritaları
K-Map yöntemi, 2 değişkenli Boole fonksiyonlarını 5 değişkene en aza indirmek için en uygun yöntemdir. Şimdi, 2 ila 5 değişken için K-Haritalarını tek tek tartışalım.
2 Değişken K-Haritası
Değişken sayısı iki olduğu için 2 değişken K haritasındaki hücre sayısı dörttür. Aşağıdaki şekil gösterir2 variable K-Map.
4 bitişik minimum terimi gruplamanın tek bir olasılığı vardır.
Gruplama 2'nin bitişik min terimlerinin olası kombinasyonları {(m 0 , m 1 ), (m 2 , m 3 ), (m 0 , m 2 ) ve (m 1 , m 3 )} şeklindedir.
3 Değişken K-Haritası
Değişken sayısı üç olduğu için 3 değişken K-haritasındaki hücre sayısı sekizdir. Aşağıdaki şekil gösterir3 variable K-Map.
8 bitişik minimum terimi gruplandırmanın tek bir olasılığı vardır.
Gruplama 4'ün bitişik minimum terimlerinin olası kombinasyonları {(m 0 , m 1 , m 3 , m 2 ), (m 4 , m 5 , m 7 , m 6 ), (m 0 , m 1 , m 4 , m 5 ), (m 1 , m 3 , m 5 , m 7 ), (m 3 , m 2 , m 7 , m 6 ) ve (m 2 , m 0 , m 6 , m 4 )}.
Gruplama 2'nin bitişik min terimlerinin olası kombinasyonları {(m 0 , m 1 ), (m 1 , m 3 ), (m 3 , m 2 ), (m 2 , m 0 ), (m 4 , m 5 ) , (m 5 , m 7 ), (m 7 , m 6 ), (m 6 , m 4 ), (m 0 , m 4 ), (m 1 , m 5 ), (m 3 , m 7 ) ve ( m 2 , m 6 )}.
Eğer x = 0 ise, 3 değişkenli K-haritası 2 değişken K-haritası olur.
4 Değişken K-Haritası
4 değişkenli K-haritasındaki hücre sayısı on altıdır, çünkü değişken sayısı dörttür. Aşağıdaki şekil gösterir4 variable K-Map.
16 bitişik minimum terimi gruplandırmanın yalnızca bir olasılığı vardır.
R olsun 1 , R 2 , R ' 3 ve R' 4 sırasıyla birinci sıranın, ikinci satır, üçüncü sıranın ve dördüncü sıranın dakika koşullarını temsil etmektedir. Benzer şekilde, C 1 , Cı- 2 , Cı- 3 ve C 4 sırasıyla birinci sütun, ikinci sütundaki, üçüncü sütun ve dördüncü sütun dakika koşullarını temsil etmektedir. 8 komşu dakika koşullar gruplandırma olası kombinasyonları {(R 1 , R ' 2 ), (R 2 R 3 ), (R 3 , R, 4 ), (R 4 , R' 1 ), (Cı- 1 , Cı- 2 ) (Cı- 2 , Cı- 3 ), (Cı- 3 , Cı- 4 ), (Cı- 4 , Cı- 1 )}.
Eğer w = 0 ise, 4 değişkenli K-haritası 3 değişkenli K-haritası olur.
5 Değişken K-Haritası
Değişken sayısı 5 olduğu için 5 değişken K-haritasındaki hücre sayısı otuz ikidir. Aşağıdaki şekil göstermektedir 5 variable K-Map.
32 bitişik minimum terimi gruplandırmanın yalnızca bir olasılığı vardır.
16 bitişik minimum terimi gruplandırmanın iki olasılığı vardır. yani, m 0 ila m 15 ve m 16 ila m 31 arasındaki min terimlerinin gruplandırılması .
V = 0 ise, 5 değişkenli K-haritası 4 değişken K-haritası olur.
Yukarıdaki tüm K-haritalarında, yalnızca minimum terimler gösterimini kullandık. Benzer şekilde, yalnızca Max terimleri gösterimini kullanabilirsiniz.
K-Haritalarını Kullanarak Boole Fonksiyonlarının Minimizasyonu
Boolean fonksiyonunun '1' olduğu girdilerin kombinasyonunu düşünürsek, o zaman Boolean fonksiyonunu elde ederiz. standard sum of products K-haritasını basitleştirdikten sonra formu.
Benzer şekilde, Boolean işlevinin '0' olduğu girdilerin kombinasyonunu düşünürsek, o zaman Boole işlevini elde ederiz. standard product of sums K-haritasını basitleştirdikten sonra formu.
Bunları takip et rules for simplifying K-maps standart ürün toplamı formu elde etmek için.
Boolean fonksiyonunda bulunan değişkenlerin sayısına göre ilgili K-haritasını seçin.
Boole fonksiyonu, minimum terimler formunun toplamı olarak verilirse, o zaman birleri K-haritasındaki ilgili minimum terim hücrelerine yerleştirin. Boole fonksiyonu, çarpımların toplamı formu olarak verilmişse, o zaman bunları verilen ürün terimlerinin geçerli olduğu K-haritasının olası tüm hücrelerine yerleştirin.
Maksimum sayıda bitişik olanı gruplama olasılıklarını kontrol edin. İkinin gücü olmalıdır. İkinin en yüksek gücünden ve en az ikinin gücünden başlayın. En yüksek güç, K-haritasında dikkate alınan değişkenlerin sayısına eşittir ve en az güç sıfırdır.
Her gruplama ya bir gerçek ya da bir ürün terimi verecektir. Olarak bilinirprime implicant. Asıl önemli olduğu söyleniyoressential prime implicant, eğer en az tekli '1' başka herhangi bir gruplamayla değil, sadece bu gruplamayı kapsar.
Tüm temel çıkarımları ve temel çıkarımları not edin. Basitleştirilmiş Boolean işlevi, tüm temel asal sonuçları ve yalnızca gerekli asal çıkarımları içerir.
Note 1 - Bazı giriş kombinasyonları için çıkışlar tanımlanmamışsa, bu çıkış değerleri ile temsil edilecektir. don’t care symbol ‘x’. Bu, onları '0' veya '1' olarak kabul edebileceğimiz anlamına gelir.
Note 2- Umurumda olmayan terimlerin de mevcut olması durumunda, K-haritasının ilgili hücrelerine "x" umursamayın. Yalnızca maksimum bitişik olanları gruplandırmak için yardımcı olan önemsiz 'x'i düşünün. Bu durumlarda, umursama değerini '1' olarak ele alın.
Misal
Hadi simplify aşağıdaki Boolean işlevi, f(W, X, Y, Z)= WX’Y’ + WY + W’YZ’ K-haritasını kullanarak.
Verilen Boole işlevi, ürünler formunun toplamıdır. 4 değişken W, X, Y & Z'ye sahip. Bu yüzden,4 variable K-map. 4 variable K-map verilen ürün şartlarına karşılık gelenler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Burada, 1'ler K-haritasının aşağıdaki hücrelerine yerleştirilir.
Satır 4 ile sütun 1 ve 2'nin kesişiminde ortak olan hücreler, ürün terimine karşılık gelir, WX’Y’.
Satır 3 ve 4 ile sütun 3 ve 4'ün kesişiminde ortak olan hücreler ürün terimine karşılık gelir, WY.
Satır 1 ve 2 ile sütun 4'ün kesişiminde ortak olan hücreler, ürün terimine karşılık gelir, W’YZ’.
16 bitişik veya 8 bitişik olanı gruplama imkanı yoktur. 4 bitişik olanı gruplamanın üç olasılığı vardır. Bu üç gruplamadan sonra, gruplanmamış tek bir grup kalmadı. Bu nedenle, 2 bitişik olanın gruplandırılmasını kontrol etmemize gerek yok. 4 variable K-map bu üçüyle groupings aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Burada, WX ', WY & YZ' olmak üzere üç ana etkimiz var. Tüm bu temel çıkarımlaressential aşağıdaki nedenlerden dolayı.
İki bir (m8 & m9)Dördüncü sıradaki gruplama, başka herhangi bir gruplamanın kapsamına girmez. Yalnızca dördüncü sıra gruplama bu ikisini kapsar.
Tek bir (m15)kare şeklindeki gruplandırma, başka herhangi bir gruplama kapsamına girmez. Sadece kare şekilli gruplama bunu kapsar.
İki bir (m2 & m6)Dördüncü sütun gruplamasının tümü başka herhangi bir gruplama kapsamına girmez. Yalnızca dördüncü sütun gruplaması bu ikisini kapsar.
bu yüzden simplified Boolean function dır-dir
f = WX’ + WY + YZ’
Bunları takip et rules for simplifying K-maps toplamların standart çarpımını elde etmek için formu.
Boolean fonksiyonunda bulunan değişkenlerin sayısına göre ilgili K-haritasını seçin.
Boole fonksiyonu, Max terimleri formunun çarpımı olarak verilirse, sıfırları K-haritasındaki ilgili Max terim hücrelerine yerleştirin. Boole fonksiyonu, toplamların çarpımı olarak verilirse, sıfırları verilen toplam terimlerinin geçerli olduğu K-haritasının tüm olası hücrelerine yerleştirin.
Maksimum sayıda bitişik sıfırları gruplama olasılıklarını kontrol edin. İkinin gücü olmalıdır. İkinin en yüksek gücünden ve en az ikinin gücünden başlayın. En yüksek güç, K-haritasında dikkate alınan değişkenlerin sayısına eşittir ve en az güç sıfırdır.
Her gruplama ya birebir ya da bir toplam terim verecektir. Olarak bilinirprime implicant. Asıl önemli olduğu söyleniyoressential prime implicant, eğer en az tek '0' başka herhangi bir gruplamayla değil, sadece bu gruplamayı kapsar.
Tüm temel çıkarımları ve temel çıkarımları not edin. Basitleştirilmiş Boolean işlevi, tüm temel asal sonuçları ve yalnızca gerekli asal çıkarımları içerir.
Note- Umurumda olmayan terimlerin de mevcut olması durumunda, K-haritasının ilgili hücrelerine "x" umurunda değil koyun. Yalnızca maksimum bitişik sıfır sayısını gruplamak için yararlı olan önemsiz 'x'i düşünün. Bu durumlarda, umursama değerini '0' olarak kabul edin.
Misal
Hadi simplify aşağıdaki Boolean fonksiyonu, $ f \ left (X, Y, Z \ right) = \ prod M \ left (0,1,2,4 \ right) $ K-haritası kullanılarak.
Verilen Boole işlevi, Max terimleri formunun ürünüdür. 3 değişken X, Y ve Z'ye sahip. Yani, 3 değişken K-haritasına ihtiyacımız var. Verilen Max terimleri M 0 , M 1 , M 2 ve M 4'tür . 3variable K-map Verilen Max terimlerine karşılık gelen sıfırlar aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.
8 bitişik sıfır veya 4 bitişik sıfırın gruplanması olasılığı yoktur. 2 bitişik sıfırı gruplandırmanın üç olasılığı vardır. Bu üç gruplamadan sonra, gruplanmamış olarak tek bir sıfır kalmadı. 3 variable K-map bu üçüyle groupings aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Burada, X + Y, Y + Z ve Z + X olmak üzere üç temel çarpımımız var. Tüm bu temel çıkarımlar essential çünkü her gruplamadaki bir sıfır, kendi gruplamaları dışında başka herhangi bir gruplamanın kapsamına girmez.
bu yüzden simplified Boolean function dır-dir
f = (X + Y).(Y + Z).(Z + X)
Bu şekilde, Boole işlevlerini K-haritası yöntemini kullanarak 5 değişkene kadar kolayca basitleştirebiliriz. 5'ten fazla değişken için, K-Haritalarını kullanarak işlevleri basitleştirmek zordur. Çünkü sayısıcells K-haritasında doubled yeni bir değişken ekleyerek.
Bu kontrol ve bitişik olanların (minimum terimler) veya bitişik sıfırların (Maks. Terimler) gruplandırılması nedeniyle karmaşık olacaktır. TartışacağızTabular method sonraki bölümde K-haritası yönteminin zorluklarının üstesinden gelmek için.