DSP - Transformation temps-fréquence DFT

Nous savons que lorsque $ \ omega = 2 \ pi K / N $ et $ N \ rightarrow \ infty, \ omega $ devient une variable continue et la somme des limites devient $ - \ infty $ à $ + \ infty $.

Par conséquent,

$$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {j \ omega}) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {\ frac {-j2 \ pi nk} {N}} = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j \ omega n} $$

Transformée de Fourier en temps discret (DTFT)

Nous savons que, $ X (e ^ {j \ omega}) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j \ omega n} $

Où, $ X (e ^ {j \ omega}) $ est continu et périodique en ω et de période 2π. … Éq (1)

Maintenant,

$ x_p (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $ … De la série de Fourier

$ x_p (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} \ times \ frac {2 \ pi} {N } $

ω devient continu et $ \ frac {2 \ pi} {N} \ rightarrow d \ omega $, pour les raisons citées ci-dessus.

$ x (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {n = 0} ^ {2 \ pi} X (e ^ {j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega $ … Éq (2)

Transformée de Fourier en temps discret inverse

Symboliquement,

$ x (n) \ Longleftrightarrow x (e ^ {j \ omega}) $ (La paire de transformées de Fourier)

La condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une transformation de Fourier en temps discret pour une séquence non périodique x (n) est sommable en absolu.

ie $ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty | x (n) | <\ infty $

Propriétés de DTFT

  • Linearity: $ a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n) \ Leftrightarrow a_1X_1 (e ^ {j \ omega}) + a_2X_2 (e ^ {j \ omega}) $

  • Time shifting- $ x (nk) \ Leftrightarrow e ^ {- j \ omega k} .X (e ^ {j \ omega}) $

  • Time Reversal- $ x (-n) \ Leftrightarrow X (e ^ {- j \ omega}) $

  • Frequency shifting- $ e ^ {j \ omega _0n} x (n) \ Leftrightarrow X (e ^ {j (\ omega - \ omega _0)}) $

  • Differentiation frequency domain- $ nx (n) = j \ frac {d} {d \ omega} X (e ^ {j \ omega}) $

  • Convolution- $ x_1 (n) * x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ times X_2 (e ^ {j \ omega}) $

  • Multiplication- $ x_1 (n) \ fois x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) * X_2 (e ^ {j \ omega}) $

  • Co-relation- $ y_ {x_1 \ times x_2} (l) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ times X_2 (e ^ {j \ omega}) $

  • Modulation theorem- $ x (n) \ cos \ omega _0n = \ frac {1} {2} [X_1 (e ^ {j (\ omega + \ omega _0}) * X_2 (e ^ {jw}) $

  • Symmetry- $ x ^ * (n) \ Leftrightarrow X ^ * (e ^ {- j \ omega}) $;

    $ x ^ * (- n) \ Leftrightarrow X ^ * (e ^ {j \ omega}) $;

    $ Real [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {pair} (e ^ {j \ omega}) $;

    $ Imag [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {impair} (e ^ {j \ omega}) $;

    $ x_ {pair} (n) \ Leftrightarrow Real [x (e ^ {j \ omega})] $;

    $ x_ {impair} (n) \ Leftrightarrow Imag [x (e ^ {j \ omega})] $;

  • Parseval’s theorem- $ \ sum _ {- \ infty} ^ \ infty | x_1 (n) | ^ 2 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | X_1 (e ^ {j \ omega}) | ^ 2d \ omega $

Plus tôt, nous avons étudié l'échantillonnage dans le domaine fréquentiel. Avec ces connaissances de base, nous échantillonnons $ X (e ^ {j \ omega}) $ dans le domaine fréquentiel, de sorte qu'une analyse numérique pratique puisse être effectuée à partir de ces données échantillonnées. Par conséquent, la DFT est échantillonnée à la fois dans le domaine temporel et fréquentiel. Avec l'hypothèse $ x (n) = x_p (n) $

Par conséquent, DFT est donné par -

$ X (k) = DFT [x (n)] = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) e ^ {- \ frac {j2 \ pi nk} {N}} $, k = 0,1,…., N − 1 … eq (3)

Et IDFT est donné par -

$ X (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) e ^ {\ frac {j2 \ pi nk} {N}} $, n = 0,1,…., N − 1 … éq (4)

$ \ donc x (n) \ Leftrightarrow X (k) $

Facteur Twiddle

Il est noté $ W_N $ et défini comme $ W_N = e ^ {- j2 \ pi / N} $. Son ampleur est toujours maintenue à l'unité. Phase de $ W_N = -2 \ pi / N $. C'est un vecteur sur le cercle unitaire et est utilisé pour la commodité du calcul. Mathématiquement, il peut être montré comme -

$ W_N ^ r = W_N ^ {r \ pm N} = W_N ^ {r \ pm 2N} = ... $

  • Elle est fonction de r et de la période N.

    Considérons N = 8, r = 0,1,2,3,… .14,15,16,….

    $ \ Longleftrightarrow W_8 ^ 0 = W_8 ^ 8 = W_8 ^ {16} = ... = ... = W_8 ^ {32} = ... = 1 = 1 \ angle 0 $

  • $ W_8 ^ 1 = W_8 ^ 9 = W_8 ^ {17} = ... = ... = W_8 ^ {33} = ... = \ frac {1} {\ sqrt 2} = j \ frac {1} {\ sqrt 2} = 1 \ angle- \ frac {\ pi} {4} $

Transformation linéaire

Comprenons la transformation linéaire -

Nous savons que,

$ DFT (k) = DFT [x (n)] = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) .W_n ^ { -nk}; \ quad k = 0,1,…., N − 1 $

$ x (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) .W_N ^ {- nk}; \ quad n = 0,1,…., N − 1 $

Note- Le calcul de DFT peut être effectué avec une multiplication complexe N 2 et une addition complexe N (N-1).

  • $ x_N = \ begin {bmatrix} x (0) \\ x (1) \\. \\. \\ x (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ signal quad \ quad x_N $

  • $ X_N = \ begin {bmatrix} X (0) \\ X (1) \\. \\. \\ X (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ signal quad \ quad X_N $

  • $ \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & ... & 1 \\ 1 & W_N & W_N ^ 2 & ... & ... & W_N ^ {N-1} \\. & W_N ^ 2 & W_N ^ 4 & ... & ... & W_N ^ {2 (N-1)} \\. \\ 1 & W_N ^ {N-1} & W_N ^ {2 (N-1 )} & ... & ... & W_N ^ {(N-1) (N-1)} \ end {bmatrix} $

    N - point DFT dans le terme de la matrice est donné par - $ X_N = W_Nx_N $

    $ W_N \ longmapsto $ Matrice de transformation linéaire

    $ Maintenant, \ quad x_N = W_N ^ {- 1} X_N $

    IDFT sous forme de matrice est donné par

    $$ x_N = \ frac {1} {N} W_N ^ * X_N $$

    Comparaison des deux expressions de $ x_N, \ quad W_N ^ {- 1} = \ frac {1} {N} W_N ^ * $ et $ W_N \ fois W_N ^ * = N [I] _ {N \ fois N} $

    Par conséquent, $ W_N $ est une matrice de transformation linéaire, une matrice orthogonale (unitaire).

    A partir de la propriété périodique de $ W_N $ et de sa propriété symétrique, on peut conclure que, $ W_N ^ {k + N / 2} = -W_N ^ k $

    Symétrie circulaire

    DFT à N points de durée finie x (n) de longueur N≤L, équivaut à la DFT à N points d'extension périodique de x (n), soit $ x_p (n) $ de période N. et $ x_p ( n) = \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) $. Maintenant, si nous décalons la séquence, qui est une séquence périodique de k unités vers la droite, une autre séquence périodique est obtenue. Ceci est connu sous le nom de décalage circulaire et cela est donné par,

    $$ x_p ^ \ prime (n) = x_p (nk) = \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (nk-Nl) $$

    La nouvelle séquence finie peut être représentée comme

    $$ x_p ^ \ prime (n) = \ begin {cases} x_p ^ \ prime (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0 & Sinon \ end {cases} $$

    Example - Soit x (n) = {1,2,4,3}, N = 4,

    $ x_p ^ \ prime (n) = x (nk, modulo \ quad N) \ equiv x ((nk)) _ N \ quad; ex-if \ quad k = 2i.e \ quad 2 \ quad unit \ quad right \ décalage quad \ quad et \ quad N = 4, $

    Sens horaire supposé comme direction positive.

    Nous avons, $ x \ prime (n) = x ((n-2)) _ 4 $

    $ x \ premier (0) = x ((- 2)) _ 4 = x (2) = 4 $

    $ x \ premier (1) = x ((- 1)) _ 4 = x (3) = 3 $

    $ x \ premier (2) = x ((- 2)) _ 4 = x (0) = 1 $

    $ x \ premier (3) = x ((1)) _ 4 = x (1) = 2 $

    Conclusion - Le décalage circulaire d'une séquence à N points équivaut à un décalage linéaire de son extension périodique et vice versa.

    Séquence circulairement paire - $ x (Nn) = x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $

    $ iex_p (n) = x_p (-n) = x_p (Nn) $

    Conjuguer pair - $ x_p (n) = x_p ^ * (Nn) $

    Séquence circulaire impaire - $ x (Nn) = -x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $

    $ iex_p (n) = -x_p (-n) = -x_p (Nn) $

    Conjugué impair - $ x_p (n) = -x_p ^ * (Nn) $

    Maintenant, $ x_p (n) = x_ {pe} + x_ {po} (n) $, où,

    $ x_ {pe} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) + x_p ^ * (Nn)] $

    $ x_ {po} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) -x_p ^ * (Nn)] $

    Pour tout signal réel x (n), $ X (k) = X ^ * (Nk) $

    $ X_R (k) = X_R (Nk) $

    $ X_l (k) = -X_l (Nk) $

    $ \ angle X (k) = - \ angle X (NK) $

    Time reversal- inversion de l'échantillon autour du 0 ème échantillon. Ceci est donné comme;

    $ x ((- n)) _ N = x (Nn), \ quad 0 \ leq n \ leq N-1 $

    L'inversion temporelle consiste à tracer des échantillons de séquence, dans le sens des aiguilles d'une montre, c'est-à-dire dans le sens négatif supposé.

    Quelques autres propriétés importantes

    Autres propriétés IDFT importantes $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $

    • Time reversal - $ x ((- n)) _ N = x (Nn) \ longleftrightarrow X ((- k)) _ N = X (Nk) $

    • Circular time shift - $ x ((nl)) _ N \ longleftrightarrow X (k) e ^ {j2 \ pi lk / N} $

    • Circular frequency shift - $ x (n) e ^ {j2 \ pi ln / N} \ longleftrightarrow X ((kl)) _ N $

    • Complex conjugate properties -

      $ x ^ * (n) \ longleftrightarrow X ^ * ((- k)) _ N = X ^ * (Nk) \ quad et $

      $ x ^ * ((- n)) _ N = x ^ * (Nn) \ longleftrightarrow X ^ * (- k) $

    • Multiplication of two sequence -

      $ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quad et \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (k) $

      $ \ donc x_1 (n) x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quadⓃ X_2 (k) $

    • Circular convolution - et multiplication de deux DFT

      $ x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) = \ somme_ {k = 0} ^ {N-1} x_1 (n) .x_2 ((mn)) _ n, \ quad m = 0,1,2 ,. ..., N-1 $

      $ x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) \ longleftrightarrow X_1 (k) .X_2 (k) $

    • Circular correlation - Si $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $ et $ y (n) \ longleftrightarrow Y (k) $, alors il existe une séquence de corrélation croisée notée $ \ bar Y_ {xy} $ telle que $ \ bar Y_ {xy} (l) = \ somme_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * ((nl)) _ N = X (k) .Y ^ * (k) $

    • Parseval’s Theorem - Si $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $ et $ y (n) \ longleftrightarrow Y (k) $;

      $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ { N-1} X (k) .Y ^ * (k) $