DSP - Exemples résolus de Z-Transform

Exemple 1

Trouvez la réponse du système $ s (n + 2) -3s (n + 1) + 2s (n) = \ delta (n) $, lorsque toutes les conditions initiales sont nulles.

Solution - En prenant Z-transform des deux côtés de l'équation ci-dessus, nous obtenons

$$ S (z) Z ^ 2-3S (z) Z ^ 1 + 2S (z) = 1 $$

$ \ Flèche droite S (z) \ lbrace Z ^ 2-3Z + 2 \ rbrace = 1 $

$ \ Rightarrow S (z) = \ frac {1} {\ lbrace z ^ 2-3z + 2 \ rbrace} = \ frac {1} {(z-2) (z-1)} = \ frac {\ alpha _1} {z-2} + \ frac {\ alpha _2} {z-1} $

$ \ Rightarrow S (z) = \ frac {1} {z-2} - \ frac {1} {z-1} $

En prenant la transformée en Z inverse de l'équation ci-dessus, nous obtenons

$ S (n) = Z ^ {- 1} [\ frac {1} {Z-2}] - Z ^ {- 1} [\ frac {1} {Z-1}] $

$ = 2 ^ {n-1} -1 ^ {n-1} = -1 + 2 ^ {n-1} $

Exemple 2

Trouvez la fonction système H (z) et la réponse de l'échantillon unitaire h (n) du système dont l'équation de différence est décrite sous

$ y (n) = \ frac {1} {2} y (n-1) + 2x (n) $

où, y (n) et x (n) sont respectivement la sortie et l'entrée du système.

Solution - En prenant la transformée en Z de l'équation de différence ci-dessus, nous obtenons

$ y (z) = \ frac {1} {2} Z ^ {- 1} Y (Z) + 2X (z) $

$ = Y (Z) [1- \ frac {1} {2} Z ^ {- 1}] = 2X (Z) $

$ = H (Z) = \ frac {Y (Z)} {X (Z)} = \ frac {2} {[1- \ frac {1} {2} Z ^ {- 1}]} $

Ce système a un pôle à $ Z = \ frac {1} {2} $ et $ Z = 0 $ et $ H (Z) = \ frac {2} {[1- \ frac {1} {2} Z ^ {-1}]} $

Par conséquent, en prenant la transformée Z inverse de ce qui précède, nous obtenons

$ h (n) = 2 (\ frac {1} {2}) ^ nU (n) $

Exemple 3

Déterminer Y (z), n≥0 dans le cas suivant -

$ y (n) + \ frac {1} {2} y (n-1) - \ frac {1} {4} y (n-2) = 0 \ quad étant donné \ quad y (-1) = y ( -2) = 1 $

Solution - En appliquant la transformation en Z à l'équation ci-dessus, nous obtenons

$ Y (Z) + \ frac {1} {2} [Z ^ {- 1} Y (Z) + Y (-1)] - \ frac {1} {4} [Z ^ {- 2} Y ( Z) + Z ^ {- 1} Y (-1) +4 (-2)] = 0 $

$ \ Rightarrow Y (Z) + \ frac {1} {2Z} Y (Z) + \ frac {1} {2} - \ frac {1} {4Z ^ 2} Y (Z) - \ frac {1} {4Z} - \ frac {1} {4} = 0 $

$ \ Rightarrow Y (Z) [1+ \ frac {1} {2Z} - \ frac {1} {4Z ^ 2}] = \ frac {1} {4Z} - \ frac {1} {2} $

$ \ Rightarrow Y (Z) [\ frac {4Z ^ 2 + 2Z-1} {4Z ^ 2}] = \ frac {1-2Z} {4Z} $

$ \ Flèche droite Y (Z) = \ frac {Z (1-2Z)} {4Z ^ 2 + 2Z-1} $