DSP - Introduction à la Z-Transform
La transformée de Fourier à temps discret (DTFT) existe pour les signaux d'énergie et de puissance. La transformée en Z n'existe pas non plus pour les signaux de type énergie ou puissance (NENP), jusqu'à un certain point seulement. Le remplacement $ z = e ^ {jw} $ est utilisé pour la conversion de transformation Z en DTFT uniquement pour un signal absolument sommable.
Ainsi, la transformée en Z du signal de temps discret x (n) dans une série de puissance peut être écrite comme -
$$ X (z) = \ somme_ {n- \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $$L'équation ci-dessus représente une équation de transformation en Z à deux côtés.
Généralement, lorsqu'un signal est transformé en Z, il peut être représenté par -
$$ X (Z) = Z [x (n)] $$Ou $ x (n) \ longleftrightarrow X (Z) $
S'il s'agit d'un signal temporel continu, les transformées en Z ne sont pas nécessaires car des transformations de Laplace sont utilisées. Cependant, les signaux temporels discrets ne peuvent être analysés que par des transformées en Z.
Région de convergence
La région de convergence est la plage de la variable complexe Z dans le plan Z. La transformation en Z du signal est finie ou convergente. Ainsi, ROC représente l'ensemble des valeurs de Z, pour lesquelles X (Z) a une valeur finie.
Propriétés de ROC
- Le ROC n'inclut aucun poteau.
- Pour le signal du côté droit, ROC sera à l'extérieur du cercle dans le plan Z.
- Pour le signal du côté gauche, ROC sera à l'intérieur du cercle dans le plan Z.
- Pour la stabilité, ROC inclut le cercle unitaire dans le plan Z.
- Pour le signal bilatéral, ROC est un anneau dans le plan Z.
- Pour un signal de durée finie, ROC est le plan Z entier.
La transformée en Z est uniquement caractérisée par -
- Expression de X (Z)
- ROC de X (Z)
Signaux et leur ROC
| x (n) | X (Z) | ROC |
|---|---|---|
| $ \ delta (n) $ | 1 $ | Plan Z entier |
| $ U (n) $ | $ 1 / (1-Z ^ {- 1}) $ | Mod (Z)> 1 |
| $ a ^ nu (n) $ | $ 1 / (1-aZ ^ {- 1}) $ | Mod (Z)> Mod (a) |
| $ -a ^ nu (-n-1) $ | $ 1 / (1-aZ ^ {- 1}) $ | Mod (Z) <Mod (a) |
| $ na ^ nu (n) $ | $ aZ ^ {- 1} / (1-aZ ^ {- 1}) ^ 2 $ | Mod (Z)> Mod (a) |
| $ -a ^ nu (-n-1) $ | $ aZ ^ {- 1} / (1-aZ ^ {- 1}) ^ 2 $ | Mod (Z) <Mod (a) |
| $ U (n) \ cos \ omega n $ | $ (Z ^ 2-Z \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $ | Mod (Z)> 1 |
| $ U (n) \ sin \ omega n $ | $ (Z \ sin \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $ | Mod (Z)> 1 |
Exemple
Trouvons la transformée en Z et le ROC d'un signal donné comme $ x (n) = \ lbrace 7,3,4,9,5 \ rbrace $, où l'origine de la série est à 3.
Solution - Appliquer la formule que nous avons -
$ X (z) = \ somme_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $
$ = \ somme_ {n = -1} ^ 3 x (n) Z ^ {- n} $
$ = x (-1) Z + x (0) + x (1) Z ^ {- 1} + x (2) Z ^ {- 2} + x (3) Z ^ {- 3} $
$ = 7Z + 3 + 4Z ^ {- 1} + 9Z ^ {- 2} + 5Z ^ {- 3} $
ROC est le plan Z entier à l'exclusion de Z = 0, ∞, -∞