Traitement numérique du signal - Systèmes linéaires

Un système linéaire suit les lois de superposition. Cette loi est une condition nécessaire et suffisante pour prouver la linéarité du système. En dehors de cela, le système est une combinaison de deux types de lois -

Loi d'additivité
Loi d'homogénéité

La loi d'homogénéité et la loi d'additivité sont illustrées dans les figures ci-dessus. Cependant, il existe d'autres conditions pour vérifier si le système est linéaire ou non.

The conditions are -

La sortie doit être zéro pour une entrée nulle.
Aucun opérateur non linéaire ne doit être présent dans le système.

Exemples d'opérateurs non linéaires -

(a) Opérateurs trigonométriques - Sin, Cos, Tan, Cot, Sec, Cosec etc.

(b) Exponentiel, logarithmique, module, carré, cube, etc.

L'entrée x ou la sortie y ne doivent pas avoir ces opérateurs non linéaires.

Exemples

Voyons si les systèmes suivants sont linéaires.

a) $y(t) = x(t)+3$

Ce système n'est pas un système linéaire car il viole la première condition. Si nous mettons l'entrée à zéro, ce qui rend x (t) = 0, alors la sortie n'est pas nulle.

b) $y(t) = \sin tx(t)$

Dans ce système, si nous donnons une entrée égale à zéro, la sortie deviendra zéro. Par conséquent, la première condition est clairement remplie. Encore une fois, il n'y a pas d'opérateur non linéaire qui a été appliqué sur x (t). Par conséquent, la deuxième condition est également remplie. Par conséquent, le système est un système linéaire.

c) $y(t) = \sin (x(t))$

Dans le système ci-dessus, la première condition est satisfaite car si nous mettons x (t) = 0, la sortie sera également sin (0) = 0. Cependant, la deuxième condition n'est pas satisfaite, car il existe un opérateur non linéaire qui opère x (t). Par conséquent, le système n'est pas linéaire.