Temperatura CMB al disaccoppiamento
Dobbiamo prima capire cosa caratterizza il decoupling. Sappiamo che le energie erano molto più elevate a tal punto che la materia esisteva solo sotto forma diIonized Particles. Pertanto, in epoche di disaccoppiamento e ricombinazione, l'energia doveva diminuire per consentire la ionizzazione dell'idrogeno. È possibile effettuare un calcolo approssimativo per la stima della temperatura al momento del disaccoppiamento.
Questo è stato eseguito come segue:
Innanzitutto, considera solo la ionizzazione dell'idrogeno allo stato fondamentale.
$$ hv \ circa k_BT $$
$$ \ quindi T \ approx \ frac {hv} {k_B} $$
Per la ionizzazione dell'idrogeno allo stato fondamentale, hν è 13,6 eV e kB è il Boltzmann Constant8,61 × 10 −5 eV / K che rivela che la temperatura è 1,5 × 105 kelvin.
Questo essenzialmente ci dice che se la temperatura è inferiore a 1,5 × 10 5 K, gli atomi neutri possono iniziare a formarsi.
Sappiamo che il rapporto tra fotoni e barioni è di circa 5 × 10 10 . Quindi anche in fondo al grafico, dove il numero di fotoni si riduce, ci saranno ancora fotoni sufficienti per ionizzare gli atomi di idrogeno. Inoltre, la ricombinazione di elettroni e protoni non garantisce un atomo di idrogeno allo stato fondamentale. Gli stati eccitati richiedono minore energia per la ionizzazione. Quindi un'analisi statistica disciplinata dovrebbe essere eseguita caso per caso per ottenere un valore accurato. I calcoli impostano la temperatura intorno ai 3000 K.
Per ragioni di spiegazione, consideriamo il caso dell'eccitazione dell'idrogeno nel primo stato eccitato. L'espressione generale per il rapporto tra il numero di fotoni con energia maggiore diΔE, Nγ (> ΔE) al numero totale di fotoni Nγ è dato da -
$$ \ frac {N_ \ gamma (> \ Delta E)} {N_ \ gamma} \ propto e ^ {\ frac {- \ Delta E} {kT}} $$
Per il caso di eccitazione dell'idrogeno al primo stato eccitato, ΔEè 10,2 eV. Ora, se consideriamo un numero altamente conservativo di almeno 1 fotone con energia maggiore di 10,2 per ogni barione (tenendo presente che il rapporto è 5 × 10 10 , otteniamo la temperatura dall'equazione 3 come 4800 K (Nγ inserito (> ΔE) = Np).
Questa è la temperatura per creare una popolazione di atomi di idrogeno neutri nel primo stato eccitato. La temperatura per ionizzare questo è significativamente inferiore. Pertanto, otteniamo una stima migliore di 1,5 × 10 5 K che è più vicina al valore accettato di 3000 K.
Redshift - Rapporto di temperatura
Per comprendere la relazione tra spostamento verso il rosso e temperatura, utilizziamo i due metodi seguenti come descritto di seguito.
Metodo 1
A partire dal Wien’s Law, lo sappiamo
$$ \ lambda_mT = costante $$
Per mettere in relazione questo con il redshift, usiamo:
$$ 1 + z = \ frac {\ lambda_0} {\ lambda_e} $$
Come $ λ_oT_o = λ_eT (z) $, otteniamo -
$$ T (z) = T_0 \ frac {\ lambda_0} {\ lambda_e} = T_0 (1 + z) $$
Ambientazione To come valore corrente 3K, possiamo ottenere valori di temperatura per un dato spostamento verso il rosso.
Metodo 2
In termini di frequenza, sappiamo -
$$ v_0 = \ frac {v_e} {1 + z} $$
$$ B_vdv = \ frac {2hv ^ 3} {c ^ 2} \ frac {dv} {e ^ {hv / kT} -1} $$
Questo ci dice l'energia netta dei fotoni per un intervallo di energia e hνè l'energia di un singolo fotone. Quindi, possiamo ottenere il numero di fotoni diBνdν/hν.
Se $ n_ {νo} $ è per presente e $ n_ {νe} $ per emesso, otteniamo -
$$ \ frac {n_ {v_e}} {n_ {v_0}} = (1 + z) ^ 3 $$
Sulla semplificazione, otteniamo,
$$ n_ {v_0} = \ frac {2v_c ^ 2} {c ^ 2} \ frac {dv_c} {e ^ {hv / kT} -1} \ frac {1} {(1 + z) ^ 3} = \ frac {2v_0 ^ 2} {c ^ 2} \ frac {dv_c} {e ^ {hv / kT} -1} $$
Questo ci dà il Wien’s Law di nuovo e quindi si può concludere che -
$$ T (z) = T_0 \ frac {\ lambda_0} {\ lambda_e} = T_0 (1 + z) $$
Punti da ricordare
- L'universo primordiale era molto caldo, ∼ 3000K.
- Le misurazioni attuali rivelano che la temperatura dell'universo è vicina a 3K.
- Più si va indietro nel tempo, la temperatura aumenta proporzionalmente.