Cosmologia - Parametro di Hubble e densità
In questo capitolo discuteremo dei parametri Density e Hubble.
Parametro di Hubble
Il parametro Hubble è definito come segue:
$$ H (t) \ equiv \ frac {da / dt} {a} $$
che misura la rapidità con cui cambia il fattore di scala. Più in generale, l'evoluzione del fattore di scala è determinata dall'equazione di Friedmann.
$$ H ^ 2 (t) \ equiv \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {\ wedge} {3} $$
dove, ∧ è una costante cosmologica.
Per un universo piatto, k = 0, quindi l'equazione di Friedmann diventa -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {\ wedge} {3} $$
Per un universo dominato dalla materia, la densità varia come -
$$ \ frac {\ rho_m} {\ rho_ {m, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 3 \ Rightarrow \ rho_m = \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} $$
e, per un universo dominato dalle radiazioni, la densità varia come -
$$ \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_ {rad, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 4 \ Rightarrow \ rho_ {rad} = \ rho_ {rad, 0} a ^ {- 4} $$
Attualmente viviamo in un universo dominato dalla materia. Quindi, considerando $ \ rho ≡ \ rho_m $, otteniamo -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {\ wedge} {3} $$
La costante cosmologica e la densità di energia oscura sono correlate come segue:
$$ \ rho_ \ wedge = \ frac {\ wedge} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ wedge = 8 \ pi G \ rho_ \ wedge $$
Da questo, otteniamo -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ \ wedge $$
Inoltre, la densità critica e la costante di Hubble sono correlate come segue:
$$ \ rho_ {c, 0} = \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ frac {8 \ pi G} {3} = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} $$
Da questo, otteniamo -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ \ wedge $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 3} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0 } $$
$$ (\ dot {a}) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 1} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} \ frac {1} {a} + \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) + \ Omega _ {\ wedge, 0} \ frac {1} { (1 + z) ^ 2} $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 (1 + z) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge , 0} $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 \ frac {1} {a ^ 2} = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {\ wedge, 0} $$
$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$
Qui, $ H (z) $ è il parametro di Hubble dipendente dallo spostamento verso il rosso. Questo può essere modificato per includere il parametro di densità di radiazione $ \ Omega_ {rad} $ e il parametro di densità di curvatura $ \ Omega_k $. L'equazione modificata è -
$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4+ \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$
$$ Oppure, \: \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = E (z) $$
$$ Oppure \: H (z) = H_0E (z) ^ {\ frac {1} {2}} $$
dove,
$$ E (z) \ equiv \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4 + \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$
Questo mostra che il parametro Hubble varia nel tempo.
Per il Einstein-de Sitter Universo, $ \ Omega_m = 1, \ Omega_ \ wedge = 0, k = 0 $.
Inserendo questi valori, otteniamo:
$$ H (z) = H_0 (1 + z) ^ {\ frac {3} {2}} $$
che mostra l'evoluzione temporale del parametro di Hubble per l'universo di Einstein-de Sitter.
Parametro di densità
Il parametro di densità, $ \ Omega $, è definito come il rapporto tra la densità effettiva (o osservata) ρ e la densità critica $ \ rho_c $. Per qualsiasi quantità $ x $ il parametro di densità corrispondente, $ \ Omega_x $ può essere espresso matematicamente come -
$$ \ Omega_x = \ frac {\ rho_x} {\ rho_c} $$
Per le diverse quantità in esame, possiamo definire i seguenti parametri di densità.
| S.No. | Quantità | Parametro di densità |
|---|---|---|
| 1 | Barioni | $ \ Omega_b = \ frac {\ rho_b} {\ rho_c} $ |
| 2 | Materia (barionica + oscura) | $ \ Omega_m = \ frac {\ rho_m} {\ rho_c} $ |
| 3 | Energia oscura | $ \ Omega_ \ wedge = \ frac {\ rho_ \ wedge} {\ rho_c} $ |
| 4 | Radiazione | $ \ Omega_ {rad} = \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_c} $ |
Dove i simboli hanno il loro significato abituale.
Punti da ricordare
L'evoluzione del fattore di scala è determinata dal Friedmann Equation.
H(z) è il parametro Hubble dipendente dallo spostamento verso il rosso.
Il Hubble Parameter varia nel tempo.
Il Density Parameter è definito come il rapporto tra la densità effettiva (o osservata) e la densità critica.