Equazione di Friedmann e modelli del mondo
In questo capitolo capiremo cos'è l'equazione di Friedmann e studieremo in dettaglio i modelli del mondo per le diverse costanti di curvatura.
Equazione di Friedmann
Questa equazione ci parla dell'espansione dello spazio in modelli omogenei e isotropi dell'universo.
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {2U} {mr_c ^ 2a ^ 2} $ $
Questo è stato modificato nel contesto di General Relativity (GR) e Robertson-Walker Metric come segue.
Utilizzando le equazioni GR -
$$ \ frac {2U} {mr_c ^ 2} = -kc ^ 2 $$
Dove kè la costante di curvatura. Perciò,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $ $
Inoltre, $ \ rho $ viene sostituito dalla densità di energia che include materia, radiazione e qualsiasi altra forma di energia. Ma per scopi rappresentativi, è scritto come $ \ rho $.
Modelli del mondo per diverse costanti di curvatura
Vediamo ora le varie possibilità a seconda dei valori delle costanti di curvatura.
Caso 1: k = 1 o universo chiuso
Per un universo in espansione, $ da / dt> 0 $. Man mano che l'espansione continua, il primo termine sulla destra dell'equazione precedente diventa $ a ^ {- 3} $, mentre il secondo termine diventa $ a ^ {- 2} $. Quando i due termini diventano uguali l'universo arresta l'espansione. Quindi -
$$ \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho = \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $$
Qui, k = 1, quindi,
$$ a = \ left [\ frac {3c ^ 2} {8 \ pi G \ rho} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$
Un tale universo è finito e ha un volume finito. Questo è chiamato universo chiuso.
Caso 2: k = -1 o Open Universe
Se k < 0, l'espansione non si fermerebbe mai. Dopo un certo punto, il primo termine sull'RHS può essere trascurato rispetto al secondo termine.
Qui, k = -1. Pertanto, $ da / dt ∼ c $.
In questo caso, l'universo sta procedendo per inerzia. Un tale universo ha spazio e tempo infiniti. Questo è chiamato universo aperto.
Caso 3: k = 0 o universo piatto
In questo caso, l'universo si sta espandendo a un ritmo decrescente. Qui, k = 0. Pertanto,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho $$
Un tale universo ha spazio e tempo infiniti. Questo è chiamato un universo piatto.
Punti da ricordare
L'equazione di Friedmann ci parla dell'espansione dello spazio in modelli omogenei e isotropi dell'universo.
A seconda dei diversi valori delle costanti di curvatura, possiamo avere un universo chiuso, aperto o piatto.