Cosmologia - Universo dominato dalle radiazioni
In questo capitolo, discuteremo le soluzioni alle equazioni di Friedmann relative all'universo dominato dalle radiazioni. All'inizio confrontiamo la densità energetica della materia con quella della radiazione. Questo ci consentirà di vedere se il nostro universo è dominato dalla materia o dalle radiazioni.
Densità energetica delle radiazioni
La radiazione prevalente nell'universo attuale può essere attribuita molto poco alle sorgenti stellari, ma è principalmente dovuta al residuo CMB (Cosmic Microwave Background).
La densità di energia della radiazione, $ \ epsilon _ {\ gamma, 0} $, può essere espressa come segue:
$$ \ epsilon _ {\ gamma, 0} = aT_0 ^ 4 $$
Qui, a è la costante di radiazione che ha l'espressione $ (8 \ pi ^ 5k_B ^ 4) / (15h ^ 3c ^ 2) $ uguale a a = 7.5657 × 10−15erg\: cm−3 K−4. La Temperatura, T0, che qui consideriamo, corrisponde a quella del corpo nero corrispondente alla CMB.
Sostituendo i risultati, abbiamo,
$$ \ epsilon _ {\ gamma, 0} = aT_0 ^ 4 = 4 \ volte 10 ^ {- 13} erg \: cm ^ {- 3} $$
Densità energetica della materia
Nei calcoli seguenti, assumiamo di lavorare con un universo piatto e K = 0. Consideriamo la densità energetica della materia come $ \ epsilon = \ rho c ^ 2 $. Consideriamo quanto segue:
$$ \ rho_ {m, 0} c ^ 2 = 0,3 \ rho_ {c, 0} c ^ 2 = 0,3 \ times \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ times c ^ 2 $$
$$ \ rho_ {m, 0} c ^ 2 \ simeq 2 \ times 10 ^ {- 8} erg \: cm ^ {- 3} $$
$$ \ rho_ {b, 0} c ^ 2 = 0,03 \ rho_ {c, 0} c ^ 2 = 0,03 \ times \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ times c ^ 2 $$
$$ \ rho_ {b, 0} c ^ 2 \ simeq 2 \ times 10 ^ {- 9} erg \: cm ^ {- 3} $$
Quindi, dal calcolo di cui sopra, vediamo che viviamo in un universo dominato dalla materia. Ciò può essere supportato dal fatto che la CMB è molto fredda. Guardando indietro nel tempo, avremmo la temperatura della CMB sempre più calda e saremo in grado di concludere che potrebbe esserci stata un'epoca in cui l'universo era dominato dalle radiazioni.
Variazione di densità e fattore di scala
L'equazione del fluido ci mostra che:
$$ \ dot {\ rho} + 3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left (\ rho + \ frac {P} {c ^ 2} \ right) = 0 $$
Se consideriamo un universo polveroso, avremmo P = 0. Mettendo da parte i risultati precedenti, consideriamo l'universo dominato dalla radiazione.
$$ \ dot {\ rho} _ {rad} + 3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left (\ rho_ {rad} + \ frac {P} {c ^ 2} \ right) = 0 $$
Usando la relazione di pressione di $ P_ {rad} = \ rho c ^ {2/3} $ abbiamo -
$$ \ dot {\ rho} _ {rad} + 3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left (\ rho_ {rad} + \ frac {\ rho_ {rad}} {3} \ right) = 0 $$
$$ \ dot {\ rho} _ {rad} + 4 \ frac {\ dot {a}} {a} (\ rho_ {rad}) = 0 $$
Con un'ulteriore semplificazione, abbiamo,
$$ \ frac {1} {a ^ 4} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (\ rho_ {rad} a ^ 4) = 0 $$
$$ \ rho_ {rad} a ^ 4 = \: costante $$
$$ \ rho_ {rad} \ propto \ frac {1} {a ^ 4} $$
Il risultato mostra sopra un inverso 4 ° variazione di potenza di una con $ \ rho $.
Questo può essere interpretato fisicamente come $ a ^ {- 3} $ proveniente dalla variazione di volume man mano che aumenta. Il restante $ a ^ {- 1} $ può essere trattato come l'energia persa dal fotone a causa dell'espansione dello spazio nell'universo (spostamento verso il rosso 1 + z = a -1 ).
L'immagine seguente mostra la variazione della materia e della densità di radiazione nel tempo.
Per un universo piatto, dominato dalle radiazioni, avremmo l'equazione di Friedmann come segue:
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho} {3} $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ frac {\ rho_0} {a ^ 4} $$
Sulla semplificazione e applicando la soluzione all'equazione differenziale, abbiamo:
$$ (\ dot {a}) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho_0} {3a ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow a (t) \ propto t ^ {\ frac {1} {2}} $$
Quindi, abbiamo -
$$ a (t) = a_0 \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} $$
Dall'equazione di cui sopra, vediamo che il tasso di aumento del fattore di scala è inferiore a quello dell'universo polveroso.
Punti da ricordare
Le radiazioni prevalenti nell'universo attuale possono essere attribuite molto poco alle sorgenti stellari.
Per un universo polveroso, la pressione è zero.
CMB è molto freddo.